Кривая Лоренца
Кривая Лоренца (Lorenz curve) — график, демонстрирующий степень неравенства в распределении дохода в обществе, отрасли, а также степени неравенства в распределении богатства. Если обратиться к кривой Лоренца показывающей степень неравенства в распределении дохода в обществе, то график или кривая Лоренца будет отражать долю дохода, приходящуюся на различные группы населения сформированные на основании размера дохода, который они получают.
Неравенство доходов в конце XIX — начале XX века стало объектом изучения многих экономистов США и Западной Европы. Центральной проблемой изучения является оценка справедливости и эффективности сложившегося в рыночной экономике распределения доходов и богатства. В 1905 году американский статистик Макс Лоренц разработал метод оценки распределения доходов, получивший название кривой Лоренца.
На оси абсцисс откладывается доля населения, а на оси ординат — доля доходов в обществе в процентном отношении. Как видно из графика, в обществе всегда имеет место быть неравенство в распределении доходов, что отражает кривая \mathrm
Если бы в обществе было бы равное распредение дохода, то кривая Лоренца приняла бы вид прямой (биссектриса на графике), называемая линией абсолютного равенства, и, наконец, если бы в обществе весь доход получали только 1% населения, то на графике это выразилось бы вертикальной прямой линией, называемой линией абсолютного неравенства.
На основании кривой Лоренца можно вывести коэффициент Джинни.
Кривая Лоренца
Каждая точка на кривой Лоренца соответствует утверждению вроде «20 самых бедных процентов населения получают всего 7 % дохода». В случае равного распределения каждая группа населения имеет доход, пропорциональный своей численности. Такой случай описывается кривой равенства (line of perfect equality), являющейся прямой, соединяющей начало координат и точку (1;1). В случае полного неравенства (когда лишь один член общества имеет доход) кривая (line of perfect inequality) сначала «прилипает» к оси абсцисс, а потом из точки (1;0) «взмывает» к точке (1;1). Кривая Лоренца заключена между кривыми равенства и полного неравенства.
Кривые Лоренца применяют для распределений не только доходов, но и имущества домохозяйств, долей рынка для фирм в отрасли, природных ресурсов по государствам. Встретить кривую Лоренца можно и за пределами экономической науки.
Связанные понятия
Для определения средних или наиболее типичных значений совокупности используются показатели центра распределения. Основные из них — математическое ожидание, среднее арифметическое, среднее геометрическое, среднее гармоническое, среднее степенное, взвешенные средние, центр сгиба, медиана, мода.
В настоящее время отсутствует единое определение точно решаемой задачи для всех разделов математики. Это обусловлено особенностями самих задач и методов поиска их решения. Вместе с тем базовые теоремы, определяющие наличие и единственность решений, строятся на общих принципах, что будет показано ниже.
Центра́льные преде́льные теоре́мы (Ц. П. Т.) — класс теорем в теории вероятностей, утверждающих, что сумма достаточно большого количества слабо зависимых случайных величин, имеющих примерно одинаковые масштабы (ни одно из слагаемых не доминирует, не вносит в сумму определяющего вклада), имеет распределение, близкое к нормальному.
Что характеризует кривая лоренца
КОЭФФИЦИЕНТ КОНЦЕНТРАЦИИ ДОХОДОВ (Индекс Джини) — показатель, характеризующий уровень неравенства доходов устанавливает величину отклонения фактического распределения доходов населения (кривая Лоренца) от линии их равномерного распределения. [c.145]
КРИВАЯ ЛОРЕНЦА — графический показатель, характеризующий реальное распределение доходов в условиях рыночной экономики. [c.146]
Кривая Лоренца представляет собой кумулятивное распределение численности населения и соответствующих этой численности доходов. Она показывает соотношение процентов всех доходов и процентов всех их получателей. Если бы доходы распределялись равномерно, т.е. 10% получателей имели бы десятую часть доходов, 50% — половину и т.д., то такое распределение имело бы вид диагонали квадрата со сторонами от 0% до 100%. Неравномерное же распределение характеризуется кривой, отстоящей от прямой тем дальше, чем больше дифференциация. [c.662]
По горизонтали указаны процентные группы населения, а по вертикали — проценты дохода, получаемые этими группами. Если бы существовало абсолютное равенство, то 20% населения получали бы 20% всего дохода общества, 30% населения — 30% всего дохода, 40% населения — 40% дохода и т.д. Появилась бы линия ОА, которая означала бы абсолютное равенство в распределении доходов. В жизни распределение осуществляется иначе. Например, 10% населения получают 50% всех доходов, 50% населения — 20% и т.д. В этой ситуации на графике возникает кривая ОСА, которая называется кривой Лоренца. Чем дальше эта кривая от прямой ОА, тем больше различие в доходах членов общества. Степень дифференциации дохода определяется с помощью коэффициента Джини. Чем больше величина этого показателя, тем больше отклонение фактического распределения доходов от идеального равенства. Рассчитывается он путем деления площади ОСА на площадь треугольника ОАВ. [c.188]
Нанеся на график данные за 1993 г. из табл. 34-2, мы получим кривую Лоренца, демонстрирующую фактическое распределение доходов. Как показывает точка а, 20% всех семей с самыми низкими доходами получили 4,1% дохода точка Ь показывает, что 40% семей с низкими доходами получи- [c.748]
Кривая Лоренца I [фактическое распределение) [c.748]
| Рисунок 34-1. Кривая Лоренца |  |
Кривая Лоренца наглядно показывает степень неравенства распределения доходов. Точнее область между линией, обозначающей абсолютное равенство, и кривой Лоренца как раз отражает уровень неравенства доходов. [c.748]
На границе рисунка, противоположной началу системы координат, показана ситуация абсолютного неравенства, когда 1% семей имеет 100% дохода, а остальные не имеют ничего. В этом случае кривая Лоренца совпадет с осями координат, образуя прямой угол с вершиной в точке / Треугольник, образуемый биссектрисой и осями координат, характеризует крайнюю степень неравенства (площадь Qef). [c.748]
Кривую Лоренца можно использовать для сравнения распределения доходов в различные периоды времени, в различных странах или между различными группами населения (например, между чернокожими и белыми), принимая во внимание доходы до и после вычета налогов и трансфертные платежи. Как уже отмечалось ранее, данные табл. 34-2 свидетельствуют о том, что между 1947 и 1969 г. кривая Лоренца слегка сместилась к биссектрисе, а с 1969 по 1993 г. — в обратном направлении. Сравнение с другими странами показывает, что в США доход распределяется менее равномерно, чем в большинстве других промышленно развитых стран. (Ключевой вопрос 2.) [c.748]
Кривая Лоренца графически отражает неравенство доходов. [c.752]
Для Соединенных Штатов характерно значительное неравенство в распределении личного дохода. Кривая Лоренца графически показывает степень этого неравенства. [c.763]
Ключевой вопрос. Предположим, что Ал, Бети, Кэрол, Дэвид и Эд получают доходы в размере 500, 250, 125, 75 и 50 дол. соответственно. Постройте кривую Лоренца для экономики, состоящей из пяти человек, и дайте необходимые пояснения. Какую долю общих доходов получают самые бедные и самые богатые [c.764]
Неравенство в распределении графически изображается с помощью кривой Лоренца (рис. 17.5.) [c.456]
Кривая Лоренца характеризует степень реально достигнутого неравенства в распределении дохода среди семей (40% семей получает 20% дохода, 60% семей — 40% всего дохода и т.д.). [c.457]
Интерес представляет также изучение распределения общей суммы доходов между различными группами населения. Например, можно поставить вопрос о том, какова доля определенной группы населения в общей сумме доходов, или о том, какая часть населения обладает некоторой заданной долей суммарных доходов. Такая постановка задачи позволяет проанализировать степень концентрации доходов у различных групп населения и количественно оценить неравномерность их распределения. Инструментом анализа является кривая Лоренца и исчисляемые на ее основе индекс концентрации доходов (коэффициент Джини) и коэффициент фондов. [c.361]
Кривая Лоренца устанавливает соответствие между численностью населения и объемом получаемого суммарного дохода. Для ее построения население разбивается на группы, равные по численности и отличающиеся уровнем среднедушевого дохода. Группы ранжируются по величине среднедушевого дохода. Для каждой выделенной группы определяются частости — доли в общей численности населения и в общей сумме доходов, а на их основе — накопленные частости. В прямоугольной системе координат на оси абсцисс откладывают накопленные частости групп по численности населения, а на оси ординат — исчисленные нарастающим итогом доли суммарного дохода. При равномерном распределении доходов десятая часть населения с самыми низкими доходами будет иметь 10% общей суммы доходов, двадцатая часть населения — 20% общей суммы доходов и т.д. На рис. 22.2 равномерное распределение доходов представлено прямой, которая соединяет начало координат А и точку С, [c.361]
Пример 22.4. Используя данные предыдущего примера, построим кривую Лоренца. Для этого выделим пять групп, равных по численности, и определим их долю в суммарном доходе. Результаты вспомогательных расчетов представим в табл. 22.6. [c.362]
Построим кривую Лоренца, дающую наглядное представление о неравномерности распределения доходов в обществе (рис. 22.2) [c.364]
Поданным задачи 21 постройте кривую Лоренца. [c.373]
Исходя из распределения дохода по его величине, можно построить кривую, которую называют кривой Лоренца, позволяющую судить об уровне неравенства. Рассмотрим построение указанной кривой. С этой целью отложим по горизонтальной оси процент семей, располагающих определенным уровнем дохода, а по вертикальной — долю совокупного дохода, приходящегося на соответствующую часть семей. [c.293]
Каждая точка кривой Лоренца показывает, какую долю в суммарном доходе имеет то или иное число семей с определенным уровнем дохода. Например, на долю 50% населения с наименьшим уровнем дохода приходилось 23% совокупного дохода. Если бы в распределении дохода наблюдалось равенство, то 20% семей с низшим уровнем дохода, получали бы 20% совокупного дохода, а каждая последующая группа семей располагала (1/5) совокупного дохода. В атом случае кривая Лоренца совпала бы с прямой (К). Заштрихованная область (М) между кривыми (L) и прямой (К) отражает уровень неравенства в распределении дохода. Чем дальше кривая (L) отстоит от прямой (К), то есть чем больше заштрихованная область, тем выше неравенство. [c.294]
Воспроизводящая сила природы Закон Оукена Инфляция предложения Инфляция спроса Кривая Лоренца [c.306]
Проиллюстрируйте графически наиболее важные точки кривой Лоренца. [c.307]
Кривая Лоренца для чистых активов [c.164]
| Рис. 8. Сдвиг кривой Лоренца в России с 1991 по 1999 г. |  |
Консалтинг 109 Консигнация 109 Консорциум 109 Конституционный иыбор 110 Консюмеризм 110 Контингентирование 110 Контрагент 111 Контракт 111 Контрактация 112 Контрольный пакет акций 112 Концентрация рынка 112 Концерн 112 Концессия 113 Кон ьюнктурные исследования 113 Кооператив 113 Кооператив потребительский 113 Кооператив производственный 114 Коршна валют 115 Корнер 115 Корпорация 115 Корпорация, или общество с ограниченной ответственностью 115 Корреспондент 117 Котировка 118 Коэффициент концентрации 118 Коэффициент ликвидности 118 Краткосрочный временной интервал 118 Кредит 118 Кредит технический 119 Кредитор 119 Кредитная карточка 120 Кредитный риск 120 Кредиторская задолженность 120 Крестьянское (фермерское) хозяйство 120 Кривая безразличия 121 Кривая Лоренца 121 Кривая предложения 121 Кривая спроса 121 Кривая Филлипса 121 Крупье 121 Кулиса 12 Купонный лист 121 Купюра 122 Курс акции 122 Курс валюты 122 Курс плавающий 122 Курс ценных бумаг 122 Курсовая разница 122 Курсовой маклер 122 Куртаж 122 [c.295]
Кривая Лоренца после вычета напогов и трансфертных платежей [c.750]
Кривая Лоренца (Lorenz urve) — кривая, которую можно использовать для иллюстрации распределения дохода в экономике когда данную кривую используют с этой целью, суммарный процент семей (получателей доходов) измеряется по оси абсцисс, а суммарный процент доходов — по оси ординат. [c.945]
На основе данных кривой Лоренца определяется так называемый децильный (лат. de em — десять) коэффициент. Этот коэффициент показывает, во сколько раз 10% самых богатых семей превосходят по уровню дохода 10% самых бедных. [c.457]
Линия фактического распределеня доходов (кривая Лоренца) [c.362]
Смотреть страницы где упоминается термин Кривая Лоренца
Смотреть главы в:
Как рассчитывать коэффициент Джини
Автор: Игорь Святославович Демин · Опубликовано 21.11.2017 · Обновлено 19.01.2021
Что такое кривая Лоренца, коэффициент Джини (индекс Джини) и как их рисовать и считать?
Начнем с кривой Лоренца.
Кривая Лоренца
Кривая Лоренца — это график, демонстрирующий степень неравенства в распределении дохода или богатства в обществе. Ее придумал в 1905 году американский статистик Макс Лоренц.
Собственно говоря, эта кривая может отражать неравенство в распределении самых разных величин, но вначале она предназначалась именно для отражения экономического неравенства в обществе.
Кривая выглядит следующим образом:
По горизонтальной оси указана накопленная доля населения (причем население отсортировано от беднейших, то есть получающих наименьший доход, до богатейших), а по вертикальной — доля получаемого дохода.
Это лучше понять на примере:
Предположим, мы разбили все население страны на 4 группы, в каждой из которых по 25% населения. При этом первая, «бедная» группа получает 10% общего дохода страны, вторая, «ниже среднего» — 20%, третья, «выше среднего» — 30% и четвертая, «богатая» — 40%.
| Группа | Доля населения | Доля от общего дохода |
| бедная | 25% | 10% |
| ниже среднего | 25% | 20% |
| выше среднего | 25% | 30% |
| богатая | 25% | 40% |
Теперь переведем это в накопленные доли: 25% населения будут получать 10%, 50% населения (это «бедная» и «ниже среднего» группы) суммарно получают 10%+20%=30%, 75% населения («бедная», «ниже среднего» и «выше среднего» группы) получат 10%+20%+30%=60% всего дохода, и, разумеется, 100% населения получат 100% дохода.
| Накопленная доля населения | Накопленная доля общего дохода |
| 25% | 10% |
| 50% | 30% |
| 75% | 60% |
| 100% | 100% |
Теперь можно построить график.
Обратите внимание, что кривая всегда исходит из точки (0%;0%) и приходит в точку (100%;100%), так как ясно, что 0% населения получают 0% дохода, а 100% населения получают 100% дохода.
Необязательно, чтобы группы были равными. Например, возьмем такие данные:
| Доля населения | Доля от общего дохода | Накопленная доля населения | Накопленная доля общего дохода |
| 20% | 10% | 20% | 10% |
| 40% | 30% | 60% | 40% |
| 30% | 30% | 90% | 70% |
| 10% | 30% | 100% | 100% |
Обратите внимание, что группы нужно распределить от бедных к богатым. Если группы одинаковые, то они сортируются просто по столбцу «Доля от общего дохода» — от маленьких значений к большим (см. прошлый пример). Но у нас группы разного размера, поэтому нужно учитывать отношение второго столбца к первому (доли дохода к доле населения). Например, у нас вторая и третья группы получают одинаковую долю дохода. Но во второй группе населения больше, а значит, в расчете на одного человека они беднее. То же с третьей и четвертой группой. Вообще говоря, случай с разными группами редкий и встречается только в условных задачах. Но если будут такие условия, то нужно делить долю дохода на долю населения. Для наших групп получим:
Это значит, что в третьей группе население получает именно средний по стране доход на человека. В первой группе доход в два раза ниже среднего, во второй — 75% от среднего, а в четвертой — три средних дохода на человека. Вот в таком порядке их и нужно расположить для построения кривой Лоренца.
Получим такой график:
И, конечно, количество групп может быть любым. Желательно, чтобы их было побольше, тогда кривая будет построена по большему числу точек, станет более гладкой и точной.
Можно представить себе кривую абсолютно равного распределения: это будет просто диагональ, так как любые N% населения получают N% дохода:
И кривую абсолютного неравенства, когда все работают бесплатно, а один-единственный человек получает весь доход:
(Не думайте, что это совершенно умозрительная кривая: например, если у единственного человека в стране есть, скажем, говорящий еж, то кривая распределения говорящих ежей будет именно такой!)
Коэффициент Джини
К 1912 году итальянский статистик Коррадо Джини разработал алгебраическую интерпретацию кривой Лоренца: коэффициент, призванный указывать, насколько неравным является экономическое распределение.
Все очень просто. Коэффициент этот равен отношению площади фигуры между диагональю и кривой Лоренца:
К площади треугольника под диагональю (а она всегда равна 0,5):
Таким образом, при полном равенстве площадь первой фигуры равна нулю, и коэффициент тоже равен нулю. При полном неравенстве эта фигура займет весь треугольник и коэффициент будет равен единице.
Чем ниже коэффициент, тем более равным является распределение.
Как его считать?
Считать коэффициент Джини можно графическим или алгебраическим способом. Посмотрим, как это можно сделать.
Графический способ
Вертикальными линиями можно разделить фигуру над кривой Лоренца на два треугольника и несколько трапеций.
Площадь треугольника — половина основания на высоту, а трапеции — полусумма оснований на высоту (поверните голову на 90º, высоты расположены горизонтально, а основания — вертикально). Высоты равны размерам групп, а основания легко посчитать. В нашем случае площадь фигуры будет такой:
| фигура | расчет площади | площадь |
| треугольник a | 10%*20%/2=0,1*0,2/2 | 0,01 |
| трапеция b | (10%+20%)/2*40%=0,3/2*0,4 | 0,06 |
| трапеция c | (20%+20%)/2*30%=0,4/2*0,3 | 0,06 |
| треугольник d | 20%*10%/2=0,2*0,1/2 | 0,01 |
| Всего площадь фигуры (a+b+c+d) | 0,14 |
Теперь разделим ее на площадь треугольника под диагональю (а он, напоминаю, всегда равен 0,5) и получим: 0,14/0,5=0,28
Таким образом, 0,28 или 28% и есть значение коэффициента Джини.
Другой графический способ: посчитать площадь фигур под кривой Лоренца, а затем вычесть их из площади треугольника под диагональю (0,5) и получить площадь над кривой. И ее уже разделить на 0,5.
Этот случай удобнее, когда цифры не такие круглые и ширина оснований трапеций над кривой неочевидна.
| фигура | расчет площади | площадь |
| треугольник a | 10%*20%/2=0,1*0,2/2 | 0,01 |
| трапеция b | (10%+40%)/2*40%=0,5/2*0,4 | 0,1 |
| трапеция c | (40%+70%)/2*30%=1,1/2*0,3 | 0,165 |
| трапеция d | (70%+100)%/2*10%=1,7/2*0,1 | 0,085 |
| Всего площадь фигуры (a+b+c+d) | 0,36 |
Отнимаем 0,36 от 0,5 и получаем 0,14 — площадь фигуры над кривой
Далее, как и в первом способе, делим эту площадь на 0,5 (площадь треугольника под диагональю) и получаем: 0,14/0,5=0,28
Алгебраический способ
Наиболее проста в употреблении формула:
-доля i-ой группы в составе населения
-доля i-ой группы в объеме доходов
-кумулированная (накопленная) доля i-ой группы в составе населения
Составим таблицу на основе данных предыдущего примера:
| Доля населения ( ) | Доля от общего дохода ( ) | Накопленная доля общего дохода ( ) |  |  |
| 20% | 10% | 10% | 0,02 | 0,02 |
| 40% | 30% | 40% | 0,12 | 0,16 |
| 30% | 30% | 70% | 0,09 | 0,21 |
| 10% | 30% | 100% | 0,03 | 0,1 |
| Итого | 0,26 | 0,49 |
Если вы не понимаете, как построена эта таблица, откройте спойлер:
Как построена эта таблица
Первый и второй столбцы — это исходные данные, они такие же, как и в разделе «Графический способ».
Третий столбец получается из второго путем накопления значений из второго столбца: берем значение из ячейки слева и всех ячеек выше нее и складываем.
Четвертый столбец — произведение первого и второго.Чтобы не запутаться в процентах, переведите их в доли, например для первой строки: 20%10%=0,20,1=0,02.
Пятый столбец — произведение первого и третьего.
Далее подсчитываем суммы по четвертому и пятому столбцу.
Теперь можно подставить полученные суммы в формулу, которая приведена выше:
Мы получили ответ 0,28 — такой же, как и графическим методом.
Это самая простая в применении формула. Советую ее запомнить. А если вдруг хочется понять, как она выведена, откройте этот спойлер (объяснение довольно длинное!):
Как выведена эта формула?
В основе этой формулы лежит уже известная вам идея: чтобы посчитать площадь фигуры над кривой Лоренца:
можно сперва посчитать площадь фигуры под кривой Лоренца
а потом вычесть ее из площади диагонального треугольника, которая равна 0,5, и получим искомое. Саму же площадь под кривой будем считать по группам. Можно видеть, что над каждой группой образуется треугольник или четырехугольник — они выделены разными цветами.
Рассмотрим, например, вторую группу (зеленый четырехугольник).
Площадь четырехугольника ABDE равна площади прямоугольника ACDE минус площадь прямоугольного треугольника BCD. При этом площадь прямоугольника ACDE равна AEDE, а площадь прямоугольного треугольника BCD равна CDBC/2. Таким образом, площадь ABDE равна
При этом можно увидеть на графике, что ВС — доля дохода по группе (y), DE — накопленная доля дохода по группе (cum y), а AE или CD — доля группы в численности населения (x). Тогда формула принимает вид
Можно видеть, что такая формула (прямоугольник минус прямоугольный треугольник) пригодна для всех цветных фигур, включая и левый розовый треугольник.
Тогда сумма всех фигур под кривой Лоренца будет равна
Эту сумму, как вы помните, нужно вычесть из 0,5, чтобы получить площадь фигуры над кривой
И наконец, разделив все это на площадь диагонального треугольника (то есть опять же на 0,5), получим формулу коэффициента Джини:
Есть и другие формулы, расчет по одной из них приведен, например, вот тут. Мне кажется, что в ней проще запутаться, а получается ровно то же самое.
Чтобы проверить себя, решите задачу. Ответ и решение под спойлерами:
Задача
Предположим, что в некоторой стране N проживают три группы населения: бедные, средний класс и богатые. Группы равны по численности жителей, но различаются по уровню дохода: средний класс зарабатывает в два раза больше, чем бедные, а богатые зарабатывают в два раза больше, чем средний класс. Внутри групп доходы распределены равномерно. Нарисуйте график кривой Лоренца и рассчитайте коэффициент Джини.\