Инструменты пользователя
Инструменты сайта
Боковая панель
Стереометрия:
Контакты
Содержание
Вписанные шары
Шар и пирамида
Центр вписанного шара — точка пересечения биссекторных плоскостей, построенных для всех имеющихся в пирамиде двугранных углов; если эти биссекторные плоскости не имеют общей точки, то шар вписать нельзя.
Частный случай: боковые грани пирамиды равнонаклонены к плоскости основания.
Тогда:
Шар и прямая призма
В прямую призму можно вписать шар тогда и только тогда, когда:
Центром шара служит середина отрезка, соединяющего центры вписанных в основания окружностей.
Шар и цилиндр
В цилиндр можно вписать шар тогда и только тогда, когда осевое сечение цилиндра — квадрат (такой цилиндр иногда называют равносторонним). Центром шара служит центр симметрии осевого сечения цилиндра.
Шар вписан в цилиндр
Объем шара в полтора раза меньше объема описанного вокруг него цилиндра, а площадь поверхности шара — в полтора раза меньше площади полной поверхности того же цилиндра ( теорема Архимеда ).
Шар и конус
В конус можно вписать шар всегда. Центром шара служит центр окружности, вписанной в осевое сечение конуса.
Шар и усечённый конус
Центром шара служит середина отрезка, соединяющего центры оснований.
Шар и сфера. Вписанные и описанные шары
Шаром называется тело, которое состоит из всех точек пространства, находящихся на расстоянии, не большем данного, от данной точки.
Поверхность шара называется сферой. Сфера − это геометрическое место точек в пространстве, равноудаленных от некоторой заданной точки (центра сферы).
Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая плоскостью.
Шаровым слоем называется часть шара, заключенная между двумя параллельными плоскостями.
Шаровым сектором называется часть шара, состоящая из шарового сегмента и конуса с вершиной в центре шара и основанием, совпадающим с основанием шарового сегмента. Здесь подразумевается, что шаровой сегмент меньше полушара.
В геометрии часто рассматриваются разные комбинации геометрических тел с шаром. Для успешного решения таких задач важно сделать правильный чертеж, определить центр и радиус шара.
Шар и куб
Шар является описанным около куба, если все вершины куба находятся на поверхности шара.
Центр шара O − точка пересечения диагоналей куба.
Около любого куба можно описать шар.
Общие точки шара и куба − восемь вершин куба.
Чертится диагональное сечение.
Радиус шара равен половине диагонали куба.
Шар является вписанным в куб, если он касается всех его граней.
Центр шара O находится в точке пересечения диагоналей куба. В любой куб можно вписать шар. Общие точки шара и куба − центры шести граней куба (точки касания шара и куба).
Чертится сечение плоскостью, которая параллельна грани куба и проходит через центр шара.
Радиус шара − половина стороны куба.
Шар и цилиндр
Шар является описанным около цилиндра, если окружности оснований цилиндра лежат на поверхности шара.
Центр шара O находится в середине высоты цилиндра.
Общие элементы − две окружности.
Около любого цилиндра можно описать шар.
Чертится осевое сечение.
Радиус шара − половина диагонали осевого сечения цилиндра.
Шар является вписанным в цилиндр, если касается оснований цилиндра и всех его образующих.
Центр шара O − середина высоты цилиндра.
Шар можно вписать только в такой цилиндр, в котором диаметр основания равен высоте.
Шар и конус
Шар является описанным около конуса, если вершина конуса и окружность его основания находятся на поверхности шара.
Около любого конуса можно описать шар.
Чертится осевое сечение.
В общем случае осевым сечением является равнобедренный треугольник.
Центр шара O находится в точке пересечения высоты конуса и серединного перпендикуляра образующей конуса.
Шар является вписанным в конус, если касается основания конуса и всех его образующих.
В любой конус можно вписать шар.
Чертится осевое сечение.
В общем случае осевым сечением является равнобедренный треугольник.
Центр шара O находится в точке пересечения высоты конуса и биссектрисы угла образующей конуса с основанием конуса.
Площадь большого круга шара равна 1. Найдите площадь поверхности шара.
Объем прямоугольного параллелепипеда, описанного около сферы, равен 10648. Найдите радиус сферы.
Цилиндр описан около шара. Объем цилиндра равен 6. Найдите объем шара.
Объем одного шара в 27 раз больше объема второго. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?
В правильную четырехугольную пирамиду с высотой 16 см вписан шар с радиусом 6 см. Определите объем пирамиды.
В шар вписана правильная четырехугольная пирамида, все ребра которой равны 12 см. Вычислите радиус шара.
В конус с образующей, равной 39 см, и площадью основания 225 \(\pi\) см \(^2\) вписан цилиндр с высотой, равной 24 см. Определите объем цилиндра.
Комбинация шара с другими телами
Разделы: Математика
Тема “Разные задачи на многогранники, цилиндр, конус и шар” является одной из самых сложных в курсе геометрии 11 класса. Перед тем, как решать геометрические задачи, обычно изучают соответствующие разделы теории, на которые ссылаются при решении задач. В учебнике С.Атанасяна и др. по данной теме (стр. 138) можно найти только определения многогранника, описанного около сферы, многогранника, вписанного в сферу, сферы, вписанной в многогранник, и сферы, описанной около многогранника. В методических рекомендациях к этому учебнику (см. книгу “Изучение геометрии в 10–11-х классах” С.М.Саакяна и В.Ф.Бутузова, стр.159) сказано, какие комбинации тел рассматриваются при решении задач № 629–646, и обращается внимание на то, что “при решении той или иной задачи прежде всего нужно добиться того, чтобы учащиеся хорошо представляли взаимное расположение указанных в условии тел”. Далее приводится решение задач №638(а) и №640.
Учитывая все выше сказанное, и то, что наиболее трудными для учащихся являются задачи на комбинацию шара с другими телами, необходимо систематизировать соответствующие теоретические положения и сообщить их учащимся.
1. Шар называется вписанным в многогранник, а многогранник описанным около шара, если поверхность шара касается всех граней многогранника.
2. Шар называется описанным около многогранника, а многогранник вписанным в шар, если поверхность шара проходит через все вершины многогранника.
3. Шар называется вписанным в цилиндр, усеченный конус (конус), а цилиндр, усеченный конус (конус) – описанным около шара, если поверхность шара касается оснований (основания) и всех образующих цилиндра, усеченного конуса (конуса).
(Из этого определения следует, что в любое осевое сечение этих тел может быть вписана окружность большого круга шара).
4. Шар называется описанным около цилиндра, усеченного конуса (конуса), если окружности оснований (окружность основания и вершина) принадлежат поверхности шара.
(Из этого определения следует, что около любого осевого сечения этих тел может быть описана окружность большего круга шара).
Общие замечания о положении центра шара.
1. Центр шара, вписанного в многогранник, лежит в точке пересечения биссекторных плоскостей всех двугранных углов многогранника. Он расположен только внутри многогранника.
2. Центр шара, описанного около многогранника, лежит в точке пересечения плоскостей, перпендикулярных ко всем ребрам многогранника и проходящих через их середины. Он может быть расположен внутри, на поверхности и вне многогранника.
Комбинация шара с призмой.
1. Шар, вписанный в прямую призму.
Теорема 1. Шар можно вписать в прямую призму в том и только в том случае, если в основание призмы можно вписать окружность, а высота призмы равна диаметру этой окружности.
Следствие 1. Центр шара, вписанного в прямую призму, лежит в середине высоты призмы, проходящей через центр окружности, вписанной в основание.
Следствие 2. Шар, в частности, можно вписать в прямые: треугольную, правильную, четырехугольную (у которой суммы противоположных сторон основания равны между собой) при условии Н = 2r, где Н – высота призмы, r – радиус круга, вписанного в основание.
2. Шар, описанный около призмы.
Теорема 2. Шар можно описать около призмы в том и только в том случае, если призма прямая и около ее основания можно описать окружность.
Следствие 1. Центр шара, описанного около прямой призмы, лежит на середине высоты призмы, проведенной через центр круга, описанного около основания.
Следствие 2. Шар, в частности, можно описать: около прямой треугольной призмы, около правильной призмы, около прямоугольного параллелепипеда, около прямой четырехугольной призмы, у которой сумма противоположных углов основания равна 180 градусов.
Из учебника Л.С.Атанасяна на комбинацию шара с призмой можно предложить задачи № 632, 633, 634, 637(а), 639(а,б).
Комбинация шара с пирамидой.
1. Шар, описанный около пирамиды.
Теорема 3. Около пирамиды можно описать шар в том и только в том случае, если около ее основания можно описать окружность.
Следствие 1. Центр шара, описанного около пирамиды лежит в точке пересечения прямой, перпендикулярной основанию пирамиды, проходящей через центр окружности, описанной около этого основания, и плоскости, перпендикулярной любому боковому ребру, проведенной через сере дину этого ребра.
Следствие 2. Если боковые ребра пирамиды равны между собой (или равно наклонены к плоскости основания), то около такой пирамиды можно описать шар.Центр этого шара в этом случае лежит в точке пересечения высоты пирамиды (или ее продолжения) с осью симметрии бокового ребра, лежащей в плоскости бокового ребра и высоты.
Следствие 3. Шар, в частности, можно описать: около треугольной пирамиды, около правильной пирамиды, около четырехугольной пирамиды, у которой сумма противоположных углов равна 180 градусов.
2. Шар, вписанный в пирамиду.
Теорема 4. Если боковые грани пирамиды одинаково наклонены к основанию, то в такую пирамиду можно вписать шар.
Следствие 1. Центр шара, вписанного в пирамиду, у которой боковые грани одинаково наклонены к основанию, лежит в точке пересечения высоты пирамиды с биссектрисой линейного угла любого двугранного угла при основании пирамиды, стороной которого служит высота боковой грани, проведенная из вершины пирамиды.
Следствие 2. В правильную пирамиду можно вписать шар.
Из учебника Л.С.Атанасяна на комбинацию шара с пирамидой можно предложить задачи № 635, 637(б), 638, 639(в),640, 641.
Комбинация шара с усеченной пирамидой.
1. Шар, описанный около правильной усеченной пирамиды.
Теорема 5. Около любой правильной усеченной пирамиды можно описать шар. (Это условие является достаточным, но не является необходимым)
2. Шар, вписанный в правильную усеченную пирамиду.
Теорема 6. В правильную усеченную пирамиду можно вписать шар в том и только в том случае, если апофема пирамиды равна сумме апофем оснований.
На комбинацию шара с усеченной пирамидой в учебнике Л.С.Атанасяна есть всего лишь одна задача (№ 636).
Комбинация шара с круглыми телами.
Теорема 7. Около цилиндра, усеченного конуса (прямых круговых), конуса можно описать шар.
Теорема 8. В цилиндр (прямой круговой) можно вписать шар в том и только в том случае, если цилиндр равносторонний.
Теорема 9. В любой конус (прямой круговой) можно вписать шар.
Теорема 10. В усеченный конус (прямой круговой) можно вписать шар в том и только в том случае, если его образующая равна сумме радиусов оснований.
Из учебника Л.С.Атанасяна на комбинацию шара с круглыми телами можно предложить задачи № 642, 643, 644, 645, 646.
Для более успешного изучения материала данной темы необходимо включать в ход уроков устные задачи:
1. Ребро куба равно а. Найти радиусы шаров: вписанного в куб и описанного около него. (r = a/2, R = a
3).
2. Можно ли описать сферу (шар) около: а) куба; б) прямоугольного параллелепипеда; в) наклонного параллелепипеда, в основании которого лежит прямоугольник; г) прямого параллелепипеда; д) наклонного параллелепипеда? (а) да; б) да; в) нет; г) нет; д) нет)
3. Справедливо ли утверждение, что около любой треугольной пирамиды можно описать сферу? (Да)
4. Можно ли описать сферу около любой четырехугольной пирамиды? (Нет, не около любой четырёхугольной пирамиды)
5. Какими свойствами должна обладать пирамида, чтобы около нее можно было описать сферу? (В её основании должен лежать многоугольник, около которого можно описать окружность)
6. В сферу вписана пирамида, боковое ребро которой перпендикулярно основанию. Как найти центр сферы? (Центр сферы – точка пересечения двух геометрических мест точек в пространстве. Первое – перпендикуляр, проведённый к плоскости основания пирамиды, через центр окружности, описанной около него. Второе – плоскость перпендикулярная данному боковому ребру и проведённая через его середину)
7. При каких условиях можно описать сферу около призмы, в основании которой – трапеция? (Во-первых, призма должна быть прямой, и, во-вторых, трапеция должна быть равнобедренной, чтобы около неё можно было описать окружность)
8. Каким условиям должна удовлетворять призма, чтобы около нее можно было описать сферу? (Призма должна быть прямой, и её основанием должен являться многоугольник, около которого можно описать окружность)
9. Около треугольной призмы описана сфера, центр которой лежит вне призмы. Какой треугольник является основанием призмы? (Тупоугольный треугольник)
10. Можно ли описать сферу около наклонной призмы? (Нет, нельзя)
11. При каком условии центр сферы, описанной около прямой треугольной призмы, будет находится на одной из боковых граней призмы? (В основании лежит прямоугольный треугольник)
13. Около правильной пирамиды описана сфера. Как расположен ее центр относительно элементов пирамиды? (Центр сферы находится на перпендикуляре, проведенном к плоскости основания через его центр)
14. При каком условии центр сферы, описанной около прямой треугольной призмы, лежит: а) внутри призмы; б) вне призмы? (В основании призмы: а) остроугольный треугольник; б) тупоугольный треугольник)
15. Около прямоугольного параллелепипеда, ребра которого равны 1 дм, 2 дм и 2 дм, описана сфера. Вычислите радиус сферы. (1,5 дм)
16. В какой усеченный конус можно вписать сферу? (В усечённый конус, в осевое сечение которого можно вписать окружность. Осевым сечением конуса является равнобедренная трапеция, сумма её оснований должна равняться сумме её боковых сторон. Другими словами, у конуса сумма радиусов оснований должна равняться образующей)
17. В усеченный конус вписана сфера. Под каким углом образующая конуса видна из центра сферы? (90 градусов)
18. Каким свойством должна обладать прямая призма, чтобы в нее можно было вписать сферу? (Во-первых, в основании прямой призмы должен лежать многоугольник, в который можно вписать окружность, и, во-вторых, высота призмы должна равняться диаметру вписанной в основание окружности)
19. Приведите пример пирамиды, в которую нельзя вписать сферу? (Например, четырёхугольная пирамида, в основании которой лежит прямоугольник или параллелограмм)
20. В основании прямой призмы лежит ромб. Можно ли в эту призму вписать сферу? (Нет, нельзя, так как около ромба в общем случае нельзя описать окружность)
21. При каком условии в прямую треугольную призму можно вписать сферу? (Если высота призмы в два раза больше радиуса окружности, вписанной в основание)
22. При каком условии в правильную четырехугольную усеченную пирамиду можно вписать сферу? (Если сечением данной пирамиды плоскостью, проходящей через середину стороны основания перпендикулярно ей, является равнобедренная трапеция, в которую можно вписать окружность)
23. В треугольную усеченную пирамиду вписана сфера. Какая точка пирамиды является центром сферы? (Центр вписанной в данную пирамиду сферы находится на пересечении трёх биссектральных плоскостей углов, образованных боковыми гранями пирамиды с основанием)
24. Можно ли описать сферу около цилиндра (прямого кругового)? (Да, можно)
25. Можно ли описать сферу около конуса, усеченного конуса (прямых круговых)? (Да, можно, в обоих случаях)
26. Во всякий ли цилиндр можно вписать сферу? Какими свойствами должен обладать цилиндр, чтобы в него можно было вписать сферу? (Нет, не во всякий: осевое сечение цилиндра должно быть квадратом)
27. Во всякий ли конус можно вписать сферу? Как определить положение центра сферы, вписанной в конус? (Да, во всякий. Центр вписанной сферы находится на пересечении высоты конуса и биссектрисы угла наклона образующей к плоскости основания)
Автор считает, что из трех уроков, которые отводятся по планированию на тему “Разные задачи на многогранники, цилиндр, конус и шар”, два урока целесообразно отвести на решение задач на комбинацию шара с другими телами. Теоремы, приведенные выше, из-за недостаточного количества времени на уроках доказывать не рекомендуется. Можно предложить учащимся, которые владеют достаточными для этого навыками, доказать их, указав (по усморению учителя) ход или план доказательства.
Автор надеется, что материал этой статьи поможет молодым коллегам при подготовке к урокам по данной теме.
Что нельзя вписать в шар
2. Центр шара, описанного около многогранника, лежит в точке пересечения плоскостей, перпендикулярных ко всем ребрам многогранника и проходящих через их середины. Он может быть расположен внутри, на поверхности и вне многогранника.
1. Шар, вписанный в прямую призму.
Теорема 1. Шар можно вписать в прямую призму в том и только в том случае, если в основание призмы можно вписать окружность, а высота призмы равна диаметру этой окружности.
Следствие 1. Центр шара, вписанного в прямую призму, лежит в середине высоты призмы,проходящей через центр окружности, вписанной в основание.
Следствие 2. Шар, в частности, можно вписать в прямые: треугольную, правильную,четырехугольную (у которой суммы противоположных сторон основания равны между собой) при условии Н = 2r, где Н – высота призмы, r –радиус круга, вписанного в основание.Комбинация шара с пирамидой.
Теорема 3. Около пирамиды можно описать шар в том и только в том случае, если около ее основания можно описать окружность.
Следствие 1. Центр шара, описанного около пирамиды лежит в точке пересечения прямой,перпендикулярной основанию пирамиды, проходящей через центр окружности, описанной около этого основания, и плоскости, перпендикулярной любому боковому ребру, проведенной через сере дину этого ребра.
Следствие 2. Если боковые ребра пирамиды равны между собой (или равно наклонены к плоскости основания), то около такой пирамиды можно описать шар.Центр этого шара в этом случае лежит в точке пересечения высоты пирамиды (или ее продолжения) с осью симметрии бокового ребра,лежащей в плоскости бокового ребра и высоты.
Следствие 3. Шар, в частности, можно описать:около треугольной пирамиды, около правильной пирамиды, около четырехугольной пирамиды, у которой сумма противоположных углов равна 180градусов.
Теорема 4. Если боковые грани пирамиды одинаково наклонены к основанию, то в такую пирамиду можно вписать шар.
Следствие 1. Центр шара, вписанного в пирамиду, у которой боковые грани одинаково наклонены к основанию, лежит в точке пересечения высоты пирамиды с биссектрисой линейного угла любого двугранного угла при основании пирамиды,стороной которого служит высота боковой грани,проведенная из вершины пирамиды.
Следствие 2. В правильную пирамиду можно вписать шар.
1. Шар, описанный около правильной усеченной пирамиды.
Теорема 5. Около любой правильной усеченной пирамиды можно описать шар. (Это условие является достаточным, но не является необходимым)
2. Шар, вписанный в правильную усеченную пирамиду.
Теорема 6. В правильную усеченную пирамиду можно вписать шар в том и только в том случае, если апофема пирамиды равна сумме апофем оснований.
Комбинация шара с круглыми телами.
Теорема 7. Около цилиндра, усеченного конуса (прямых круговых), конуса можно описать шар.
Теорема 8. В цилиндр (прямой круговой)можно вписать шар в том и только в том случае,если цилиндр равносторонний.
Теорема 9. В любой конус (прямой круговой) можно вписать шар.
Теорема 10. В усеченный конус (прямой круговой) можно вписать шар в том и только в том случае, если его образующая равна сумме радиусов оснований.
Что нельзя вписать в шар
Центр вписанного шара — точка пересечения биссекторных плоскостей, построенных для всех имеющихся в пирамиде двугранных углов; если эти биссекторные плоскости не имеют общей точки, то шар вписать нельзя.
Частный случай: боковые грани пирамиды равнонаклонены к плоскости основания. Тогда:
центр О шара лежит на высоте пирамиды, конкретнее — это точка пересечения высоты с биссектрисой угла между апофемой и проекцией этой апофемы на плоскость основания.
6.2. Шар и прямая призма
В прямую призму можно вписать шар тогда и только тогда, когда:
в основание призмы можно вписать окружность,
диаметр этой окружности равен высоте призмы.
Центром шара служит середина отрезка, соединяющего центры вписанных в основания окружностей.
где 
— радиус вписанного шара; 
— радиус вписанной в основание окружности; Н — высота призмы.
6.3. Шар и цилиндр
В цилиндр можно вписать шар тогда и только тогда, когда осевое сечение цилиндра — квадрат (такой цилиндр иногда называют равносторонним). Центром шара служит центр симметрии осевого сечения цилиндра.
6.4. Шар и конус
В конус можно вписать шар всегда. Центром шара служит центр окружности, вписанной в осевое сечение конуса.
6.5. Шар и усеченный конус
В усеченный конус можно вписать шар тогда и только тогда, когда 
где 
— радиусы оснований; 
— образующая.
Центром шара служит середина отрезка, соединяющего центры оснований.
где 
— радиус вписанного шара; 
— высота усеченного конуса.