Геометрия
Именная карта банка для детей
с крутым дизайном, +200 бонусов
Закажи свою собственную карту банка и получи бонусы
План урока:
Теорема Пифагора
Попытаемся установить связь между гипотенузой и катетами прямоугольного треугольника. Пусть в некотором прямоугольном треуг-ке катеты имеют длины а и b, а гипотенуза равна с. Пусть один из острых углов треуг-ка составляет α, тогда другой острый угол должен равняться 90 – α:
Далее возьмем 4 таких треуг-ка и расположим их следующим образом:
Здесь мы прикладываем треуг-ки так, чтобы их разные катеты образовали одну сторону четырехугольника. В результате получается большой квадрат со стороной a + b. Квадратом он является по определению, ведь все его стороны одинаковы, а углы – прямые.
Изучим центральную фигуру, чью площадь мы обозначили как S2. Это четырехуг-к, причем все его стороны равны с, то есть длине гипотенузы треугольника. С другой стороны, каждый его угол можно найти, вычтя из 180° величины α и 90° – α:
Получается, что всего его углы прямые, то есть он является квадратом. Найдем его площадь:
Вернемся к большому квадрату. С одной стороны, его площадь можно записать как сумму площадей фигур, его составляющих:
Cдругой стороны, эту же площадь можно найти, просто возведя в квадрат его сторону:
Получили формулу, в которой и заключен смысл теоремы Пифагора:
Изучим несколько простейших примеров использования теоремы Пифагора.
Задание. Длины катетов прямоугольного треугольника составляют 5 и 12. Определите длину гипотенузы.
Решение. Запишем теорему Пифагора:
Задание. Длина катета треугольника составляет 3, а гипотенузы – 5. Какова длина другого катета?
Решение: На это раз нам известен один из катетов а = 3 и гипотенуза с = 5. Подставим в теорему Пифагора эти числа:
Теорема Пифагора имеет огромное значение для геометрии и смежных дисциплин. Приведенное здесь ее доказательство является одним из простейших, но отнюдь не единственным. Сегодня человечеству известно 367 различных доказательств теоремы Пифагора, что лишь показывает ее огромную значимость.
На самом деле Пифагор, известный древнегреческий математик, не был первым, кто обнаружил это равенство. Пифагор родился примерно в 570 г. до н. э., однако ещё египтяне знали про прямоугольный треуг-к со сторонами 3, 4 и 5. Поэтому его часто именуют египетским треугольником.
Также вычислять стороны прямоугольного треуг-ка умели и в Вавилоне уже за 1000 лет до рождения Пифагора. Вероятно, Пифагор узнал о формуле от вавилонян, а сам лишь вывел ее доказательство (вавилоняне не утруждали себя необходимостью доказывать теоремы геометрии). Утверждается, что Пифагор принес сделал жертвоприношение в размере 100 быков после того, как смог доказать теорему.
Задание. Вычислите гипотенузу равнобедренного прямоугольного треуг-ка, чьи катеты имеют единичную длину.
Решение. В теорему Пифагора вместо букв a и b подставим единицу:
Обратите внимание, что в данной задаче в качестве длины гипотенузы прямоугольного треугольника получилось иррациональное число. Исторически именно при решении подобной задачи люди (это были ученики Пифагора) впервые столкнулись с иррациональными числами. Перед дальнейшим изучением темы есть смысл вспомнить основные правила вычислений с квадратными корнями.
Задание. На рисунке построен произвольный квадрат. Предложите способ, как построить квадрат с вдвое большей площадью.
Решение. Проведем в исходном квадрате диагональ. Далее построим новый квадрат со стороной, равной этой гипотенузе:
Запишем для одного из них теорему Пифагора:
Но площадь квадрата равна его стороне, возведенной во вторую степень, поэтому величина с 2 – это площадь большого (на рисунке – синего)квадрата, а х 2 – площадь маленького:
Подставим эти выражения в формулу, выведенную из теоремы Пифагора, и получим, что площадь большего квадрата ровно вдвое больше:
Задание. Найдите площадь равнобедренного прямоугольного треуг-ка, гипотенуза которого имеет длину 10.
Решение. Обозначим катеты переменной х, тогда теорема Пифагора будет выглядеть как уравнение:
Задание. Один из острых углов прямоугольного треугольника составляет 30°, а его гипотенуза равна 10. Найдите оба катета.
Решение. Мы знаем, что в прямоугольном треуг-ке с острым углом 30° гипотенуза вдвое длиннее меньшего катета (он как раз лежит против угла 30°), мы можем найти этот катет:
Другой катет находим с помощью теоремы Пифагора:
Задачи на применение теоремы Пифагора
Теорема Пифагора используется в огромном количестве геометрических задач. С ее помощью можно находить диагонали некоторых четырехуг-ков, длины высот, вычислять площади.
Задание. Стороны прямоуг-ка имеют длину 8 и 15 см. Найдите длину его диагонали.
Решение. Рассмотрим произвольный прямоугольник АВСD. Если в нем провести диагональ ВD, то получится прямоугольный треуг-к АВD. Пусть АВ = 15, АD = 8. Запишем теорему Пифагора для ∆АВD:
Задание. В равнобедренном треуг-ке основание имеет длину 16 см, а боковые стороны составляют 17 см. Найдите длину высоты, проведенной к основанию этого треуг-ка, а также площадь треуг-ка.
Решение. Напомним, что высота, опущенная к основанию равнобедренного треуг-ка, одновременно является и медианой, и биссектрисой. Это значит, что Н – середина АВ. Тогда можно найти длину отрезков АН и НВ:
Теперь можно рассмотреть ∆АСН. Он прямоугольный, и нам известно его гипотенуза (она является боковой стороной ∆АВС и по условию равна 17 см) и катет АН. Тогда можно найти и второй катет, то есть высоту СН:
Задание. Высота равностороннего треуг-ка составляет 4 см. Найдите его сторону.
Решение. Напомним, что в равностороннем треуг-ке все углы равны 60°. Также учтем, что высота в равностороннем треуг-ке является также и биссектрисой и медианой:
Рассмотрим ∆АСН. Он прямоугольный, и один из его углов составляет 60°. Значит, другой угол составляет 30°. Но в таком треуг-ке гипотенуза вдвое больше катета, лежащего против ∠30°:
Обратите внимание, мы специально домножили дробь на корень из 3, чтобы корень оказался в числителе, а не знаменателе. Т.к. в таком виде проще работать с квадратными корнями.
Итак, мы нашли АН. Теперь можно найти сторону АС, которая вдвое длиннее:
Задание. Составьте формулу для нахождения площади равностороннего треуг-ка, если известна только его сторона.
Решение. Обозначим сторону треуг-ка буквой а. Для вычисления площади необходимо найти высоту:
Как и в предыдущей задаче, отрезок АС вдвое длиннее АН:
Высоту мы нашли. Осталось найти площадь:
Задание. В прямоугольном треуг-ке, катеты которого имеют длину 60 и 80, проведена высота к гипотенузе. Найдите высоту гипотенузы, а также длину отрезков, на которые эта высота разбивает гипотенузу.
Решение. Найдем длину гипотенузы ВС:
Осталось найти длины отрезков СН и НВ. Для этого необходимо записать теорему Пифагора для ∆АСН и ∆АНВ, которые являются прямоугольными. Начнем с ∆АСН:
Аналогично работаем и с ∆АНВ:
Можно проверить себя. Отрезки НВ и СН вместе составляют отрезок СВ, поэтому должно выполняться равенство:
Задание. Диагонали ромба равны 10 и 24 см. Чему равна его сторона?
Пусть в ромбе АВСD диагонали пересекаются в точке О, причем АС = 24 см, а ВD = 10 см.Напомним, что диагонали ромба пересекаются под углом 90° и делятся при этом на одинаковые отрезки. Следовательно, ∆АВО прямоугольный. Найдем его катеты:
Задание. Основания равнобедренной трапеции имеют длину 20 и 10, а боковая сторона имеет длину 13. Найдите площадь трапеции.
Решение. Опустим на большее основание две высоты:
В итоге получили прямоуг-к АВКН. Его противоположные стороны одинаковы, поэтому
∆АНD и ∆ВКС равны друг другу, ведь это прямоугольные треуг-ки с одинаковой гипотенузой (АD = ВС, ведь это равнобедренная трапеция) и равным катетом (АН = ВК как стороны прямоуг-ка). Это значит, что DH = КС. Но эти отрезки вместе с НК составляют CD. Это позволяет найти DH и KC:
Зная высоту трапеции и ее основания, легко найдем и ее площадь:
Пифагоровы тройки
Возможно, вы уже заметили, что в большинстве школьных задач на применение теоремы Пифагора используются треуг-ки с одними и теми же сторонами. Это треуг-к, чьи стороны имеют длины
Их использование обусловлено тем, что все их стороны выражаются целыми числами. В задачах же, например, с равнобедренным прямоугольным треуг-ком хотя бы одна из сторон обязательно оказывается иррациональным числом.
Прямоугольные треуг-ки, у которых все стороны являются целыми, называют пифагоровыми треугольниками, а длины их сторон именуются пифагоровыми тройками. Получается, что пифагоровыми называются такие тройки натуральных чисел а, b и с, которые при подстановке в уравнение
обращают его в справедливое равенство.
Для удобства такие тройки иногда записывают в скобках.
Например, тройка чисел (3; 4; 5)– пифагорова, так как
Задание. Определите, какие из следующих троек чисел являются пифагоровыми:
Несложно догадаться, что пифагоровых троек существует бесконечно много. Действительно, возьмем тройку (3; 4; 5). Далее умножим все числа, составляющие ее, на два, и получим новую тройку (6; 8; 10), которая также пифагорова. Умножив исходную тройку на 3, получим тройку (9; 12; 15), и она снова пифагорова. Вообще, умножая числа пифагоровой тройки на любое натуральное число, всегда будем получать новую пифагорову тройку. А так как натуральных чисел бесконечно много, то и троек Пифагора также бесконечное количество.
Отдельно выделяют понятие примитивной пифагоровой тройки. Эта такая тройка, числа которой являются взаимно простыми, то есть не имеют общих делителей. Другими словами, примитивная тройка НЕ может быть получена из другой тройки простым умножением ее чисел на натуральное число. В частности, тройка (3; 4; 5)является примитивной, а «производные» от нее тройки (6; 8; 10) и (9; 12; 15) уже не примитивные.
Интересно, что примитивных троек также бесконечно много. Ещё Евклид предложил алгоритм для их поиска, который, однако, не изучается в рамках школьного курса геометрии.
Задание. Докажите, что у любого прямоугольного треуг-ка с целыми длинами сторон все эти длины не могут быть нечетными числами.
Предположим, что такой треуг-к существует. Пусть его стороны равны a, b и c, и эти числа нечетны. Тогда должно выполняться уравнение:
не может быть верным, ведь его левая часть четна, а правая – нечетна. Поэтому пифагоров треуг-к с тремя нечетными сторонами существовать не может.
Обратная теорема Пифагора
По теореме Пифагора из того факта, что в треуг-ке есть прямой угол, следует следующее соотношение между длинами его сторон:
Оказывается, верно и обратное: если в произвольном треуг-ке одна сторона (очевидно, большая из них) равна сумме квадратов двух других сторон, то из этого следует, что такой треуг-к является прямоугольным.
Это утверждение называют обратной теоремой Пифагора. Докажем её. Пусть есть некоторый ∆АВС, для сторон которого выполняется равенство
Так как ∆А1В1С1 прямоугольный, то для него справедлива теорема Пифагора. Найдем с ее помощью гипотенузу:
а именно это мы и доказываем.
Уточним разницу между собственно теоремой Пифагора и только что доказанной обратной ей теореме. В каждой теореме есть две ключевые части:
1) некоторое условие, которое описывает какое-то геометрическое построение;
2) вывод (или заключение), который делается для условия.
В самой теореме Пифагора в качестве условия описывается прямоугольный треугольник. Для него делается вывод – катеты, возведенные в квадрат, в сумме дадут квадрат гипотенузы.
В обратной же теореме условие и вывод меняются местами. В роли условия описывается треугольник, у которого большая сторона, возведенная во 2-ую степень, равна сумме двух других сторон, также возведенная в квадрат. Для этого описания делается вывод – такой треугольник обязательно должен быть прямоугольным.
Заметим, что не всякая обратная теорема является справедливой. Например, одна из простейших теорем гласит – если углы вертикальные, то они равны. Сформулируем обратную теорему – если углы равны, то они вертикальные. Понятно, что это неверное утверждение.
Задание. Выясните, является ли треуг-к прямоугольным, если его стороны имеют длины:
Решение. Здесь надо просто проверить, являются ли эти числа пифагоровыми тройками. Если являются, то соответствующий треуг-к окажется прямоугольным.
Задание. В ∆КМР проведена биссектриса МН. Её длина 12. КМ = 13 и КН = 5. Найдите МР.
Решение. Рассмотрим ∆МНК. Его стороны равны 5, 12 и 13. Но это одна из пифагоровых троек:
Отсюда следует, что треуг-к прямоугольный, причем МК – гипотенуза (гипотенуза – это длиннейшая сторона). Тогда ∠Н = 90°. Но это означает, что биссектриса МН ещё и высота. Но если в треугольнике одна линия одновременно и медиана, и высота, то это равнобедренный треуг-к, причем КР – его основание. Тогда
Формула Герона
Невозможно построить два треугольника с тремя одинаковыми сторонами. Это значит, что теоретически знания трех сторон треугольника достаточно, чтобы найти его площадь. Но как это сделать? Здесь может помочь формула Герона, которая выводится с помощью теоремы Пифагора.
Пусть стороны треуг-ка равны а, b и с, причем с не меньше, чем а и b. В любом треуг-ке есть хотя бы два острых угла, а тупой угол, если он есть, лежит против большей стороны. Это значит, что оба прилегающих кс угла – острые. Отсюда следует, что высота, опущенная нас, будет лежать внутри треуг-ка. Обозначим длину этой высоты как h. Пусть она разобьет сторону сна два отрезка длиной х и у:
По рисунку можно записать три уравнения:
Левая часть одинакова в обоих уравнениях, значит, равны и правые:
С учетом этого выразим h 2 :
Мы уже выразили высоту (точнее, ее квадрат) через длины сторон. Однако обычно в этой формуле производят замену и вводят число р, равное полупериметру треуг-ка, то есть
Площадь треуг-ка вычисляется по формуле:
Запоминать вывод формулы Герона не надо. Саму формулу всегда можно найти в любом справочнике по геометрии или в Интернете. Достаточно запомнить, что площадь любого треуг-ка можно вычислить, если известны все его стороны.
Задание. Стороны треуг-ка имеют длину 9, 7 и 8 см. Какова его площадь?
Решение. Пусть а = 9; b = 8; с = 7. Для использования формулы Герона сначала вычислим половину периметра треуг-ка:
Итак, сегодня мы узнали о теореме Пифагора. Она представляет собой соотношение, которое связывает катеты и гипотенузу в прямоугольном треуг-ке. Это соотношение помогает в исследованиях других фигур – квадратов, параллелограммов, трапеций. Также с его помощью выведена формула Герона, которая позволяет вычислять площадь треуг-ка, зная только длины его сторон.
Пару слов о Пифагоровых тройках
Теорему Пифагора?
—Квадрат длины гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов.
— Книга рекордов Гиннеса называет теорему Пифагора теоремой с максимальным числом доказательств. И поясняет: в 1940 году была опубликована книга, которая содержала триста семьдесят доказательств теоремы Пифагора. Электроник – мальчик из чемоданчика в книге Евгения Велтистова знал целых двенадцать способов, среди них «метод укладки паркета» и «стул невесты». Кто-нибудь смотрел фильм приключения Электроника? Советую посмотреть…
Это замечательный фильм о дружбе и ссоре, о правде и лжи, о порядочности и преданности. А какое музыкальное сопровождение!
Теорема Пифагора занимала умы математиков с древнейших времен.
В этом с ней не может тягаться ни одна другая теорема. Всё это говорит о чрезвычайной важности этой теоремы для математики.
Для самого простого доказательства теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника нужно задать идеальные условия: пусть треугольник будет не только прямоугольным, но и равнобедренным. Есть основания полагать, что именно такой треугольник первоначально рассматривали математики древности.
Посмотрите на равнобедренный прямоугольный треугольник ABC.
На гипотенузе АС можно построить квадрат, состоящий из четырех треугольников, равных исходному треугольнику АВС.
А на катетах АВ и ВС построим по квадрату, каждый из которых содержит по два аналогичных треугольника.
То есть «квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах»
Кстати, этот чертеж лег в основу многочисленных анекдотов и карикатур, посвященных теореме Пифагора. Самый знаменитый, пожалуй, это «Пифагоровы штаны во все стороны равны»:
Пару слов о Пифагоровых тройках
Этот вопрос мало или вообще не изучается в школьной программе. А между тем он является очень интересным и имеет большое значение в геометрии. Пифагоровы тройки применяются для решения многих математических задач. Представление о них может пригодиться вам в дальнейшем.
Так что же такое Пифагоровы тройки? Так называют натуральные числа, собранные по трое, сумма квадратов двух из которых равна третьему числу в квадрате.
Пифагоровы тройки могут быть:
· примитивными (все три числа – взаимно простые);
· не примитивными (если каждое число тройки умножить на одно и то же число, получится новая тройка, которая не является примитивной).
Еще до нашей эры древних египтян завораживала мания чисел Пифагоровых троек: в задачах они рассматривали прямоугольный треугольник со сторонами 3,4 и 5 единиц. К слову, любой треугольник, стороны которого равны числам из пифагоровой тройки, по умолчанию является прямоугольным.
Примеры Пифагоровых троек: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), (14, 48, 50), (30, 40, 50) и т.д.
Теорема Пифагора находит применение не только в математике, но и в архитектуре и строительстве, астрономии и даже литературе.
С помощью теоремы можно вычислить длину стропила для двускатной крыши. Определить, какой высоты вышка мобильной связи нужна, чтобы сигнал достигал определенного населенного пункта. И даже устойчиво установить новогоднюю елку на городской площади. Как видите, эта теорема живёт не только на страницах учебников, но и часто бывает полезна в реальной жизни.
Что касается литературы, то теорема Пифагора вдохновляла писателей со времен античности и продолжает это делать в наше время. Например, немецкого писателя девятнадцатого века Адельберта фон Шамиссо она вдохновила на написание сонета:
….
И в заключении хочу добавить:
Пифагор жил в шестом веке до нашей эры, имел красивую внешность, длинную бороду, а на голове золотую диадему.
Пифагор- это не имя, а прозвище, которое философ получил за то, что говорил верно и убедительно, как греческий оракул.
Своими речами приобрёл 2000 учеников, которые образовали свою школу- государство, где действовали законы и правила Пифагора.
Слово “ философ”, как и слово “ космос” достались нам от Пифагора. Он утверждал, что для понимания Бога, человека и природы надо изучить алгебру с геометрией, музыку и астрономию.
Кстати, треугольник- это “ключ” ко всем зашифрованным явлениям нашей жизни. Всё в природе разделено на три части.
Когда в задаче просят найти отрезок или угол, я ищу треугольник, в котором они расположены. И именно благодаря этому действию, я научился решать задачи по геометрии. Чего и вам желаю.
Пифагоровы числа
Пифагоровы числа
В математике пифагоровыми числами (пифагоровой тройкой) называется кортеж из трёх целых чисел 
удовлетворяющих соотношению Пифагора:
Содержание
Свойства
Треугольник, стороны которого равны пифагоровым числам, является прямоугольным. Кроме того, любой такой треугольник является героновым, то есть таким, у которого все стороны и площадь являются целочисленными. Простейший из них — египетский треугольник со сторонами 3, 4 и 5 ( 3 2 + 4 2 = 5 2 ).
Примеры
Некоторые пифагоровы тройки (отсортированы по возрастанию максимального числа, выделены примитивные):
(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (14, 48, 50), (30, 40, 50)…
Основываясь на свойствах чисел Фибоначчи, можно составить из них, например, такие пифагоровы тройки:
.
История
Пифагоровы тройки известны очень давно. В архитектуре древнемесопотамских надгробий встречается равнобедренный треугольник, составленный из двух прямоугольных со сторонами 9, 12 и 15 локтей. Пирамиды фараона Снофру (XXVII век до н. э.) построены с использованием треугольников со сторонами 20, 21 и 29, а также 18, 24 и 30 десятков египетских локтей.
Что такое пифагора тройка
Обычно математики известны своей требовательностью к строгости своих формулировок. Но, в данной цитате такой строгости не наблюдается. Так что именно: найти или представить? Очевидно, что это совершенно разные вещи. Вот ниже приводится строчка «свежеиспеченных» троек (получены методом, описываемым ниже):
12, 35, 37; 20, 21, 29; 44, 117, 125; 103, 5304, 5305.
Не вызывает сомнений, что каждую из этих троек можно представить в виде соотношения (2) и вычислить после этого значения l, m, n. Но, это уже после того, как все значения троек были найдены. А как быть до того?
Нельзя исключить того, что ответы на эти вопросы давно известны. Но их почему-то найти, пока не удалось. Таким образом, целью настоящей работы является системный анализ совокупности известных примеров пифагоровых троек, поиск системообразующих отношений в различных группах троек и выявление системных признаков характерных для этих групп и, затем – разработка простых эффективных алгоритмов расчёта троек с предварительно заданной конфигурацией. Под конфигурацией будем понимать отношения между величинами, входящими в состав тройки.
В качестве инструментария будет использован математический аппарат на уровне, не выходящем за рамки математики, преподаваемой в средней школе, и системный анализ на базе методов, изложенных в [3].
С позиций системного анализа любая пифагорова тройка является системой, образованной объектами, которыми являются три числа и их свойствами. Их совокупность, в которой объекты поставлены в определённые отношения и образуют систему, обладающую новыми свойствами, не присущими ни отдельным объектам, ни любой иной их совокупности, где объекты поставлены в иные отношения.
В уравнении (1), объектами системы являются натуральные числа, связанные простыми алгебраическими соотношениями: слева от знака равенство стоит сумма двух чисел, возведенных в степень 2, справа – третье число, также возведённое в степень 2. Отдельно взятые числа, слева от равенства, будучи возведены в степень 2, не накладывают никаких ограничений на операцию их суммирования – результирующая сумма может быть какой угодно. Но, знак равенства, поставленный после операции суммирования, налагает на значение этой суммы системное ограничение: сумма должна быть таким числом, чтобы результатом операции извлечения корня квадратного явилось натуральное число. А это условие выполняется не для любых чисел, подставляемых в левую часть равенства. Таким образом, знак равенства, поставленный между двумя членами уравнения и третьим, превращает тройку членов в систему. Новым свойством этой системы является введение ограничений на значения исходных чисел.
Исходя из формы записи, пифагорова тройка может рассматриваться как математическая модель геометрической системы, состоящей из трёх квадратов, связанных между собой отношениями суммирования и равенства, как это показано на рис. 1. Рис. 1 является графической моделью рассматриваемой системы, а вербальной её моделью является утверждение:
Площадь квадрата с длиной стороны c может быть разделена без остатка на два квадрата с длинами сторон a и b, таких, что сумма их площадей равна площади исходного квадрата, то есть, все три величины a, b, и c, связаны соотношением
. (3)
Графическая модель разложения квадрата
В рамках канонов системного анализа известно, что если математическая модель адекватно отображает свойства некоей геометрической системы, то анализ свойств самой этой системы позволяет уточнить свойства её математической модели, глубже их познать, уточнить, и, при необходимости, усовершенствовать. Этого пути мы и будем придерживаться.
Уточним, что согласно принципам системного анализа операции сложения и вычитания могут производиться только над составными объектами, то есть, объектами, составленными из совокупности элементарных объектов. Поэтому, будем воспринимать любой квадрат, как фигуру, составленную из совокупности элементарных, или единичных квадратов. Тогда условие получения решения в натуральных числах эквивалентно принятия условия, что единичный квадрат неделим.
Единичным квадратом будем называть квадрат, у которого длина каждой из сторон равна единице. То есть, при 
площадь единичного квадрата определяет следующее выражение.
(4)
Количественным параметром квадрата является его площадь, определяемая количеством единичных квадратов, которые можно разместить на данной площади. Для квадрата с произвольным значением x, выражение x2 определяет величину площади квадрата, образованного отрезками длиной в x единичных отрезков. На площади этого квадрата могут быть размещены x2 единичных квадратов.
Приведенные определения могут быть восприняты как тривиальные и очевидные, но это не так. Д.Н. Аносов [1] определяет понятие площадь по-другому: – « … площадь фигуры равна сумме площадей ее частей. Почему мы уверены, что это так? …Мы представляем себе фигуру сделанной из какого-то однородного материала, тогда ее площадь пропорциональна количеству содержащегося в ней вещества – ее массе. Далее подразумевается, что когда мы разделяем тело на несколько частей, сумма их масс равна массе исходного тела. Это понятно, потому что все состоит из атомов и молекул, и раз их число не изменилось, то не изменилась и их суммарная масса… Ведь, собственно, масса куска однородного материала пропорциональна его объему; значит, надо знать, что объем «листа», имеющего форму данной фигуры, пропорционален ее площади. Словом, …что площадь фигуры равна сумме площадей ее частей, в геометрии надо это доказывать. … В учебнике Киселева существование площади, имеющей то самое свойство, которое мы сейчас обсуждаем, честно постулировалось как некое допущение, причем говорилось, что это на самом деле верно, но мы этого доказывать не будем. Так что и теорема Пифагора, если ее доказывать с площадями, в чисто логическом отношении останется не совсем доказанной».
Нам представляется, что введенные выше определения единичного квадрата снимают указанную Д.Н. Аносовым неопределенность. Ведь если величина площади квадрата и прямоугольника определяется суммой заполняющих их единичных квадратов, то при разбиении прямоугольника на произвольные, прилегающие друг к другу части площадь прямоугольника естественно равна сумме всех его частей.
Более того, введенные определения снимают неопределенность использования понятий «разделить» и «сложить» применительно к абстрактным геометрическим фигурам. Действительно, что значит разделить прямоугольник или любую другую плоскую фигуру на части? Если это лист бумаги, то его можно разрезать ножницами. Если земельный участок – поставить забор. Комнату – поставить перегородку. А если это нарисованный квадрат? Провести разделительную линию и заявить, что квадрат разделён? Но, ведь говорил Д.И. Менделеев: «…Заявить можно всё, а ты – поди, демонстрируй!»
А при использовании предложенных определений «Разделить фигуру» означает разделить количество заполняющих эту фигуру единичных квадратов на две (или более) частей. Количество единичных квадратов в каждой из таких частей определяет её площадь. Конфигурацию этим частям можно придавать произвольную, но при этом сумма их площадей всегда будет равна площади исходной фигуры. Возможно, специалисты-математики сочтут эти рассуждения некорректными, тогда примем их за допущение. Если уж в учебнике Киселёва приемлемы такие допущения, то и нам подобным приёмом грех не воспользоваться.
Первым этапом системного анализа является выявление проблемной ситуации. В начале этого этапа было просмотрено несколько сот пифагоровых троек, найденных в различных источниках. При этом внимание привлекло то обстоятельство, что всю совокупность пифагоровых троек, упоминающихся в публикациях, можно разделить на несколько групп, различающихся по конфигурации. Признаком специфичной конфигурации будем считать разность длин сторон исходного и вычитаемого квадратов, то есть, величину c–b. Например, в публикациях довольно часто в качестве примера демонстрируются тройки, удовлетворяющие условию c–b=1 [1, 4, 6]. Примем, что вся совокупность таких пифагоровых троек образует множество, которое будем называть «Класс c–1», и проведём анализ свойств этого класса.
Рассмотрим три квадрата, представленные на рисунке, где c – длина стороны уменьшаемого квадрата, b – длина стороны вычитаемого квадрата и a – длина стороны квадрата, образованного из их разности. На рис. 1 видно, что при вычитании из площади уменьшаемого квадрата площади вычитаемого квадрата в остатке остаются две полосы единичных квадратов:
. (5)
Для того чтобы из этого остатка можно было образовать квадрат, необходимо выполнение условия
. (6)
Эти соотношения позволяют определить значения всех членов тройки по единственному заданному числу c. Наименьшим числом c, удовлетворяющим соотношению (6), является число c = 5. Итак, были определенны длины всех трёх сторон квадратов, удовлетворяющих соотношению (1). Напомним, что значение b стороны среднего квадрата
(7)
было выбрано, когда мы решили образовать средний квадрат путем уменьшения стороны исходного квадрата на единицу. Тогда из соотношений (5), (6). (7) получаем следующее соотношение:
, (8)
из которого следует, что выбранное значение c = 5 однозначно задаёт значения b = 4, a = 3.
В итоге, получены соотношения, позволяющие представить любую пифагорову тройку класса «c – 1» в таком виде, где значения все трёх членов определяются по одному задаваемому параметру – значению c:
. (9)
Добавим, что число 5 в приведенном выше примере появилось как минимальное из всех возможных значений c, при которых уравнение (6) имеет решение в натуральных числах. Следующее число, обладающее таким же свойством, это 13, затем 25, далее 41, 61, 85 и т. д. Как видно, в этом ряду чисел интервалы между соседними числами интенсивно возрастают. Так, например, после допустимого значения 
, следующее допустимое значение 
, а после 
, следующее допустимое значение 
, то есть, допустимое значение отстоит от предыдущего более чем на пятьдесят миллионов!
Теперь понятно, откуда появилась эта фраза в книге [4]: – «По мере того, как числа возрастают, пифагоровы тройки встречаются все реже, и находить их становится все труднее и труднее…». Однако это утверждение не является верным. Стоит только взглянуть на пифагоровы тройки, соответствующие приведенным выше парам соседних значений c, как сразу бросается в глаза одна особенность – в обеих парах, в которых значения c разнесены на столь большие интервалы, значения a оказываются соседними нечетными числами. Действительно, для первой пары имеем
Так что «всё реже встречаются» не сами тройки, а интервалы между соседними значениями c увеличиваются. Сами же пифагоровы тройки, как это будет показано ниже, существуют для любого натурального числа.
Теперь рассмотрим, тройки следующего класса – «Класс c-2». Как видно из рис. 1, при вычитании из квадрата со стороной c квадрата со стороной (c – 2), образуется остаток в виде суммы двух единичных полос. Величина этой суммы определяется уравнением:
(10)
Из уравнения (10) получаем соотношения, определяющее любую из бесконечного множества троек класс «c-2»:
(11)
И наконец, проведём анализ троек класса «с–8». Для этого класса троек при вычитании площади квадрата 
из площади с2 исходного квадрата, получаем:
. (12)
Тогда, из уравнения (12) следует:
(13)
Минимальное значение c, при котором решение существует: это c = 13. Пифагорова тройка при этом значении примет вид 12, 5, 13. В этом случае опять площадь вычитаемого квадрата меньше площади остатка. А переставив обозначения местами, получим тройку 5, 12, 13, которая по своей конфигурации относится к классу «c – 1». Похоже, что дальнейший анализ других возможных конфигураций ничего принципиально нового не откроет.
Вывод расчётных соотношений
В предыдущем разделе логика анализа развивалась в соответствии с требованиями системного анализа по четырём из пяти основных его этапов: анализ проблемной ситуации, формирование целей, формирование функций и формирование структуры. Теперь пора переходить к заключительному, пятому этапу – проверка реализуемости, то есть, проверка того, в какой мере поставленные цели достигнуты. [3].
Ниже показана табл. 1, в которой приведены значения пифагоровых троек, относящихся к классу «c – 1». Большинство троек встречаются в различных публикациях [1, 2, 5, 6], но тройки для значений a, равных 999, 1001 в известных публикациях не встречались.
Пифагоровы тройки класса «с–1»
Можно проверить, что все тройки удовлетворяют соотношению (3). Таким образом, одна из поставленных целей достигнута. Полученные в предыдущем разделе соотношения (9), (11), (13) позволяют формировать бесконечное множество троек, задавая единственный параметр c – сторону уменьшаемого квадрата. Это, конечно, более конструктивный вариант, чем соотношение (2), для использования которого следует задать произвольно три числа l, m, n, имеющих любое значение, затем искать решение, зная только, что в итоге, непременно будет получена пифагорова тройка, а какая – заранее неизвестно. В нашем случае заранее известна конфигурация формируемой тройки и нужно задавать только один параметр. Зато, увы, не для каждого значения этого параметра решение существует. И надо заранее знать его допустимые значения. Так что полученный результат хорош, но, далёк от идеала. Желательно получить такое решение, чтобы пифагоровы тройки можно было вычислять для любого произвольно заданного натурального числа. С этой целью вернемся к четвёртому этапу – формирование структуры полученных математических соотношений.
Поскольку выбор величины c в качестве базового параметра для определения остальных членов тройки оказался неудобным, следует испробовать другой вариант. Как видно из табл. 1, выбор параметра a в качестве базового представляется предпочтительным, поскольку значения этого параметра идут подряд в ряду нечётных натуральных чисел. После несложных преобразований приводим соотношения (9) к более конструктивному виду:
(14)
(15)
Соотношения (14) позволяют найти пифагорову тройку для любого наперёд заданного нечётного значения a. При этот простота выражения для b позволяет производить вычисления даже без калькулятора. Действительно, выбрав, к примеру, число 13, получаем:
. (16)
А для числа 99 соответственно получаем:
(17)
Соотношения (15) позволяют получать значения всех трёх членов пифагоровой троки для любого заданного n, начиная с n=1.
Теперь рассмотрим пифагоровы тройки класса «c – 2». В табл. 2 приведены для примера десять таких троек. Причем, в известных публикациях были найдены только три пары троек – 8, 15, 23; 12, 35, 36; и 16, 63, 65. Этого оказалось достаточно, чтобы определить закономерности, по которым они формируются. Остальные семь были найдены из выведенных ранее соотношений (11). Для удобства вычисление эти соотношения были преобразованы так, чтобы все параметры выражались через величину a. Из (11) с очевидность следует, что все тройки для класса «c – 2» удовлетворяют следующим соотношениям:
(18)
(19)
Пифагоровы тройки класса «с–2»
Как видно из табл. 2, всё бесконечное множество троек класса «c – 2» можно разделить на два подкласса. Для троек, у которых значение a делится на 4 без остатка, значения b и c – нечётные. Такие тройки, у которых НОД = 1, называют примитивными [2, 4]. Для троек, у которых значения a не делится на 4 в целых числах, все три члена тройки a, b, c – чётные.
Теперь перейдём к рассмотрению результатов анализа третьего из выделенных классов – класса «c – 8». Расчётные соотношения для этого класса, полученные из (13), имеют вид:
(20)
(21)
(22)
Пифагоровы тройки класса «с–8»
Справедливость соотношения (22) для всех 
может быть проверена как по тройкам из табл. 2, так и по другим источникам. В качестве примера, в табл. 4 курсивом выделены тройки из обширной таблицы пифагоровых троек (10000 троек), вычисленных на основе компьютерной программы [5] по соотношению (2) [6] и жирным шрифтом – тройки, вычисленные по соотношения (20). Эти значения в указанной таблице отсутствовали.
Пифагоровы тройки класса «с–8»
Соответственно, для троек вида 
могут использоваться соотношения:
(23)
И для троек вида >, имеем соотношение:
(24)
Следует подчеркнуть, что рассмотренные выше классы троек «c – 1», «с – 2», «с – 8» составляют более 90 % среди первой тысячи троек, из таблицы приведенной в [6]. Это даёт основания воспринимать указанные классы как базовые. Добавим, что при выводе соотношений (22), (23), (24) не использовались какие либо специальные свойства чисел, изучаемые в теории чисел (простые, взаимно простые и пр.). Выявленные закономерности формирования пифагоровых троек обусловлены только системными свойствами описываемых этими тройками геометрических фигур – квадратов, состоящих из совокупности единичных квадратов.
Теперь, как сказал Эндрю Уайлс в 1993 г.: «Думаю, мне следует на этом остановиться» [4]. Поставленная цель полностью достигнута. Показано, что анализ свойств математических моделей, структура которых связана с геометрическими фигурами, существенно упрощается, если в процессе анализа наряду с чисто математическими выкладками учитываются и геометрические свойства изучаемых моделей. Упрощение достигается, в частности за счёт того, что исследователь «видит» искомые результаты, не проводя математических преобразований.
становится очевидным без преобразований в левой его части, стоит только взглянуть на рис. 1, где приведена графическая модель этого равенства.
В итоге, на основе проведенного анализа показано, что для любого квадрата со стороной 
могут быть найдены квадраты со сторонами b и c, такие, что для них выполняется равенство 
и получены соотношения, обеспечивающие получение результатов при минимальном объеме вычислений:
для нечётных значений a,
и 
– для чётных значений.