Что такое порядок элемента группы

Теорема Лагранжа утверждает, что для любой подгруппы H группы G порядок подгруппы делит порядок группы: | H | является делителем | G |. В частности, порядок | а | любого элемента является делителем | G |,

СОДЕРЖАНИЕ

Пример

•	е	s	т	ты	v	ш
е	е	s	т	ты	v	ш
s	s	е	v	ш	т	ты
т	т	ты	е	s	ш	v
ты	ты	т	ш	v	е	s
v	v	ш	s	е	ты	т
ш	ш	v	ты	т	s	е

Порядок и структура

2 + 2 + 2 знак равно 6 ≡ 0 ( мод 6 ) <\ Displaystyle 2 + 2 + 2 = 6 \ эквив 0 <\ pmod <6>>> .

Связь между двумя понятиями порядка следующая: если мы напишем

Для любого целого k имеем

Если a имеет бесконечный порядок, то все ненулевые степени a также имеют бесконечный порядок. Если a имеет конечный порядок, у нас есть следующая формула для порядка степеней a :

Подсчет по порядку элементов

Относительно гомоморфизмов

Уравнение класса

Важным результатом, касающимся заказов, является уравнение классов ; он связывает порядок конечной группы G с порядком ее центра Z ( G ) и размерами ее нетривиальных классов сопряженности :

Источник

Порядок элемента группы

Для общего описания теории групп см. Группа (математика) и Теория групп.

Курсив обозначает ссылку на этот словарь.

p-группа — группа, все элементы в которой имеют порядок, равный некоторой степени простого числа p (не обязательно одинаковой у всех элементов). Также говорят о примарной группе. Более подробно см. в статье конечная p-группа.

Аддитивная группа кольца ― группа, элементами которой являются все элементы данного кольца, а операция совпадает с операцией сложения в кольце.

Антигомоморфизм групп — отображение групп f : (G,*) → (H,×) такое, что

для произвольных a и b в G (сравните с гомоморфизмом).

Гомоморфизм групп — отображение групп такое, что

для произвольных a и b в G.

Группа Шмидта — это ненильпотентная группа, все собственные подгруппы которой нильпотентны.

Группа Миллера — Морено — это неабелева группа, все собственные подгруппы которой абелевы.

Групповая алгебра группы G над полем K — это векторное пространство над K, образующими которого являются элементы G, а умножение образующих соответсвует умножению элементов G.

Длина ряда подгрупп — число n в определении ряда подгрупп.

Изоморфизм групп — биективный гомоморфизм.

Изоморфные группы — группы, между которыми существует хотя бы один изоморфизм.

Индекс подгруппы H в группе G — число смежных классов в каждом (правом или левом) из разложений группы G по этой подгруппе H.

Индексы ряда подгрупп — индексы | G_{i + 1}:G_i | в определении субнормального ряда подгрупп.

Класс смежности/смежный класс (левый или правый) подгруппы H в G. Левый класс смежности элемента по подгруппе H в G есть множество

Аналогично определяется правый класс смежности:

Класс сопряжённости элемента есть множество

Коммутант группы есть подгруппа, порождённая всеми коммутаторами группы, обычно обозначается [G,G] или .

Коммутативная группа. Группа G является коммутативной, или абелевой, если её операция * коммутативна, то есть g*h=h*g .

Коммутатор подгрупп — множество всевозможных произведений .

Композиционный ряд группы G — ряд подгрупп, в котором все факторы G_{i + 1} / G_i — простые группы.

Конечная группа — группа с конечным числом элементов.

Конечно определённая группа — группа, обладающая конечным числом образующих и задаваемая в этих образующих конечным числом соотношений.

Конечнопорождённая группа — группа, обладающая конечной системой образующих.

Кручение, TorG, коммутативной или нильпотентной группы G есть подгруппа всех элементов конечного порядка.

Локальная теорема. Говорят, что для некоторого свойства P групп справедлива локальная теорема, если всякая группа, локально обладающая этим свойством, сама обладает им.

Например: локально абелева группа является абелевой, но локально конечная группа может быть бесконечной.

Метабелева группа ― группа, второй коммутант которой тривиален (разрешимая ступени 2).

Метациклическая группа ― группа, обладающая циклической нормальной подгруппой, факторгруппа по которой также циклическая. Всякая конечная группа, порядок которой свободен от квадратов (то есть не делится на квадрат какого-либо числа), является метациклической.

Мультипликативная группа тела ― группа, элементами которой являются все ненулевые элементы данного тела, а операция совпадает с операцией умножения в теле.

Нильпотентная группа — группа, обладающая центральным рядом подгрупп. Минимальная из длин таких рядов называется её классом нильпотентности.

Норма группы — совокупность элементов группы, перестановочных со всеми подгруппами, то есть пересечение нормализаторов всех её подгрупп.

Нормализатор подгруппы H в G — это максимальная подгруппа G, в которой H нормальна. Иначе говоря, нормализатор есть стабилизатор H при действии G на множестве своих подгрупп сопряжениями, то есть

Нормальная подгруппа (инвариантная подгруппа, нормальный делитель). H есть нормальная подгруппа G, если для любого элемента g в G gH = Hg, то есть правые и левые классы смежности H в G совпадают. Иначе говоря, если .

Период группы ― наименьшее общее кратное порядков элементов данной группы.

Периодическая группа ― группа, каждый элемент которой имеет конечный порядок.

Подгруппа — подмножество H группы G, которое является группой относительно операции, определённой в G.

Подгруппа кручения см. кручение.

Для произвольного подмножества S в G, обозначает наименьшую подгруппу G, содержащую S.

Полупрямое произведение групп G и H над гомоморфизмом (обозначается по разному, в том числе G ⋊_φ H) — множество G × H, наделенное операцией *, для которой (g₁,h₁) * (g₂,h₂) = (g₁φ(h₁)(g₂),h₁h₂) для любых , .

Порядок группы (G,*) — мощность G (то есть число её элементов).

Порядок элемента g группы G — минимальное натуральное число m такое, что g m = e. В случае, если такого m не существует, считается, что g имеет бесконечный порядок.

Простая группа — группа, в которой нет нормальных подгрупп, кроме тривиальной <e> и всей группы.

Примарная группа — группа, все элементы в которой имеют порядок, равный некоторой степени простого числа p (не обязательно одинаковой у всех элементов). Также говорят о p-группе.

Расширение группы — группа, содержащая данную группу в качестве нормальной подгруппы.

Разрешимая группа — группа, обладающая нормальным рядом подгрупп с абелевыми факторами. Наименьшая из длин таких рядов называется её ступенью разрешимости.

Ряд подгрупп — конечная последовательность подгрупп G₀,G₁. G_n называется рядом подгрупп, если , для всех . Такой ряд записывают в виде

Сверхразрешимая группа — группа, обладающая нормальным рядом подгрупп с циклическими факторами.

Свободная группа, порождённая множеством A — это группа, порождённая элементами этого множества и не имеющая никаких соотношений, кроме соотношений, определяющих группу. Все свободные группы, порождённые равномощными множествами, изоморфны.

Соотношение — тождество, которому удовлетворяют образующие группы (при задании группы образующими и соотношениями).

Факторгруппа группы G по нормальной подгруппе H есть множество классов смежности подгруппы H с умножением, определяемым следующим образом:

Факторы субнормального ряда — фактор-группы G_{i + 1} / G_i в определении субнормального ряда подгрупп.

Холлова подгруппа — подгруппа, порядок которой взаимно прост с её индексом во всей группе.

Центр группы G, обычно обозначается Z(G), определяется как

Z(G) = <| gh = hg для любого >,

иначе говоря, это максимальная подгруппа элементов, коммутирующих с каждым элементом G.

Централизатор элемента есть максимальная подгруппа, коммутирующая с этим элементом.

Центральный ряд подгрупп — нормальный ряд подгрупп, в котором , для всех членов ряда.

Циклическая группа — группа, состоящая из порождающего элемента и всех его целых степеней. Конечна в случае, если порядок порождающего элемента конечен.

Ядро гомоморфизма — прообраз нейтрального элемента при гомоморфизме. Ядро всегда есть нормальная подгруппа, более того, любая нормальная подгруппа есть ядро некоторого гомоморфизма.

Литература

Полезное

Смотреть что такое «Порядок элемента группы» в других словарях:

Порядок элемента — Для общего описания теории групп см. Группа (математика) и Теория групп. Курсив обозначает ссылку на этот словарь. # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У … Википедия

Порядок — в широком смысле слова гармоничное, ожидаемое, предсказуемое состояние или расположение чего либо, а также: порядок в физике расположение атомов, обладающее некоторой инвариантностью относительно сдвига; порядок в биологии один… … Википедия

Порядок (математика) — Порядок в широком смысле слова гармоничное, ожидаемое, предсказуемое состояние или расположение чего либо. Специализированные варианты использования слова: Порядок (физика) Порядок (биология) Математика Порядок величины количество цифр в числе. О … Википедия

Порядок группы — Для общего описания теории групп см. Группа (математика) и Теория групп. Курсив обозначает ссылку на этот словарь. # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У … Википедия

ПОРЯДОК — 1) П. алгебраич. кривой F( х, y)=0, где F( х, у) многочлен от хи у, наз. наивысшую степень членов этого многочлена. Напр., эллипс + =1 есть кривая второго П., а лемниската ( х 2+y2)2=а 2 ( х 2 у 2) кривая четвертого П. 2) П. бесконечно малой… … Математическая энциклопедия

Порядок (матем.) — Порядок (математический), числовая характеристика математических объектов. 1) П. алгебраической кривой F (х, у) = 0, где F (х, у) ‒ многочлен от х и y, называют наивысшую степень членов этого многочлена. Например, эллипс ═есть кривая второго П.,… … Большая советская энциклопедия

Группы симметрии — Группа симметрии (группа симметрий) некоторого объекта, многогранника или множества точек из метрического пространства ― это группа всех движений, для которых данный объект является инвариантом, с композицией в качестве групповой операции. Как… … Википедия

Порядок — I Порядок (математический) числовая характеристика математических объектов. 1) П. алгебраической кривой F (х, у) = 0, где F (х, у) многочлен от х и y, называют наивысшую степень членов этого многочлена. Например, эллипс х2 + у2)2 … Большая советская энциклопедия

Изоморфные группы — Для общего описания теории групп см. Группа (математика) и Теория групп. Курсив обозначает ссылку на этот словарь. # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У … Википедия

Читайте также: Что это айфон 12 промакс

Кручение группы — Для общего описания теории групп см. Группа (математика) и Теория групп. Курсив обозначает ссылку на этот словарь. # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У … Википедия

Источник

Порядок элемента