Кинематика.
Кинематика – раздел теоретической механики, в котором изучается механическое движение тел без учета их масс и причин, обеспечивающих это движение.
Иными словами, в кинематике описывается движение тела (траектория движения, скорость и ускорение) без выяснения причин, почему оно так движется.
Движением обозначают всякое изменение в окружающем материальном мире. Механическое движение – изменение положения тела в пространстве, происходящее с течением времени, наблюдаемое относительно другого тела, условно принятого за неподвижное. Условно неподвижное тело называют телом отсчета. Система координатных осей, связанная с телом отсчета, определяет пространство, в котором происходит движение.
Физическое пространство трехмерно и евклидово, т. е. все измерения осуществляются на основе школьной геометрии. Основной единицей измерения расстояний служит 1 метр (м), единицей измерения углов – 1 радиан (рад.).
Время в кинематике рассматривается в качестве непрерывно изменяющейся скалярной величины t. Все другие кинематические величины считаются зависящими от времени (функциями от времени). За основную единицу времени принимают 1 сек.
Кинематика изучает движение:
Основные задачи кинематики.
1. Описание движения тела с помощью кинематических уравнений движения, таблиц и графиков. Описать движение тела – определить его положение в любой момент времени.
2. Определение кинематических характеристик движения – скорости и ускорения.
3. Изучение сложных (составных) движений и определение зависимости между их характеристиками. Сложным движением называют движение тела относительно системы координат, которая сама движется относительно другой, неподвижной системы координат.
Кинематика рассматривает следующие понятия и движения:
Тема 1.6. Основные понятия кинематики
§1. Кинематика точки. Введение в кинематику.
Кинематикой (от греческого «кинема» — движение) называется раздел механики, в котором изучаются геометрические свойства движения тел без учета их инертности (массы) и действующих на них сил.
Основной задачей кинематики является нахождение положения тела в любой момент времени, если известны его положение, скорость и ускорение в начальный момент времени.
Для определения положения движущегося тела (или точки) в разные моменты времени с телом, по отношению к которому изучается движение, жестко связывают какую-нибудь систему координат, образующую вместе с этим телом систему отсчета.
Рис.1. Система отчета
Изображать систему отсчета будем в виде трех координатных осей (не показывая тело, с которым они связаны).
Движение тел совершается в пространстве с течением времени. Пространство в механике мы рассматриваем, как трехмерное евклидово пространство.
Время является скалярной, непрерывно изменяющейся величиной. В задачах кинематики время t принимают за независимое переменное (аргумент). Все другие переменные величины (расстояния, скорости и т. д.) рассматриваются как изменяющиеся с течением времени, т.е. как функции времени t.
Для решения задач кинематики надо, чтобы изучаемое движение было как-то задано (описано).
Основная задача кинематики точки твердого тела состоит в том, чтобы, зная закон движения точки (тела), установить методы определения всех кинематических величин, характеризующих данное движение.
Положение тела можно определить с помощью радиус-вектора или с помощью координат.
Рис.2. Радиус-вектор
Рис.3. Координаты точки М
Этой моделью пользуются в тех случаях, когда линейные размеры рассматриваемых тел много меньше всех прочих расстояний в данной задаче или когда тело движется поступательно.
Поступательным называется движение тела, при котором прямая, проходящая через любые две точки тела, перемещается, оставаясь параллельной самой себе. При поступательном движении все точки тела описывают одинаковые траектории и в любой момент времени имеют одинаковые скорости и ускорения. Поэтому для описания такого движения тела достаточно описать движение его одной произвольной точки.
В дальнейшем под словом «тело» будем понимать «материальная точка».
Линия, которую описывает движущееся тело в определенной системе отсчета, называется траекторией. Вид траектории зависит от выбора системы отсчета.
В зависимости от вида траектории различают прямолинейное и криволинейное движение.
где и — радиус-векторы тела в эти моменты времени.Единицы измерения в системе СИ: м (метр).
Модуль перемещения не может быть больше пути: ≤s.
Знак равенства относится к случаю прямолинейного движения, если направление движения не изменяется.
Зная перемещение и начальное положение тела, можно найти его положение в момент времени t:
Видео-урок «Механическое движение»
§2. Способы задания движения точки
Для задания движения точки можно применять один из следующих трех способов:
1) векторный, 2) координатный, 3) естественный.
1. Векторный способ задания движения точки.
Рис.4. Движение точки М
При движении точки М вектор будет с течением времени изменяться и по модулю, и по направлению. Следовательно, является переменным вектором (вектором-функцией), зависящим от аргумента t:
Равенство определяет закон движения точки в векторной форме, так как оно позволяет в любой момент времени построить соответствующий вектор и найти положение движущейся точки.
2. Координатный способ задания движения точки.
Положение точки можно непосредственно определять ее декартовыми координатами х, у, z (рис.4), которые при движении точки будут с течением времени изменяться. Чтобы знать закон движения точки, т.е. ее положение в пространстве в любой момент времени, надо знать значения координат точки для каждого момента времени, т.е. знать зависимости
Уравнения представляют собой уравнения движения точки в прямоугольных декартовых координатах. Они определяют закон движения точки при координатном способе задания движения.
3. Естественный способ задания движения точки.
Рис.5. Движение точки М
Естественным способом задания движения удобно пользоваться в тех случаях, когда траектория движущейся точки известна заранее. Пусть кривая АВ является траекторией точки М при ее движении относительно системы отсчета Oxyz (рис.5) Выберем на этой траектории какую-нибудь неподвижную точку О’, которую примем за начало отсчета, и установим на траектории положительное и отрицательное направления отсчета (как на координатной оси).
Чтобы знать положение точки М на траектории в любой момент времени, надо знать зависимость s=f(t).
§3. Вектор скорости точки
Одной из основных кинематических характеристик движения точки является векторная величина, называемая скоростью точки. Понятие скорости точки в равномерном прямолинейном движении относится к числу элементарных понятий.
Единица измерения скорости – м/с. Часто используют и другие единицы, например, км/ч: 1 км/час=1/3,6 м/с.
Движение точки называется равномерным, если приращения радиуса-вектора точки за одинаковые промежутки времени равны между собой. Если при этом траекторией точки является прямая, то движение точки называется прямолинейным.
Для равномерно-прямолинейного движения ∆r=v∆t, где v – постоянный вектор скорости.
Из соотношения видно, что скорость прямолинейного и равномерного движения является физической величиной, определяющей перемещение точки за единицу времени.
Лекция №1. Элементы кинематики
1.1. Предмет кинематики. Системы отсчета
Кинематика (от греч. движение) − раздел механики, посвященный изучению движения материальных объектов без учета их масс и действующих на них сил, т. е. кинематика рассматривает движение без учета причин, его вызывающих. Устанавливаемые здесь закономерности используются при кинематических исследованиях движений, в частности, при расчете механических передач в различных технических устройствах, а также при решении задач динамики.
Основной задачей кинематики является расчет кинематических характеристик движущихся объектов, к которым относятся скорость, ускорение и траектория.
В зависимости от изучаемого объекта выделяют кинематику материальной точки, твердого тела и непрерывно распределенной среды (деформируемого твердого тела, жидкости, газа).
Для описания движения необходимо выбрать систему отсчета.
Система отсчета состоит из тела отсчета и системы пространственных координат, снабженной часами и связанной с телом отсчета.
Тело отсчета − произвольно выбранное, в идеале − абсолютнотвердое тело, относительно которого определяется положение остальных тел.
1.2. Способы задания движения материальной точки
1.3. Средние, мгновенные скорости и ускорения
При Δt 0 направление вектора Δ r стремится к касательной к траектории в точке 1.
Кроме того, что при Δt 0 |Δ r | Δs поэтому модуль скорости | υ | равен
В декартовых координатах
Быстрота изменения скорости со временем характеризуется ускорением. Ускорение равно первой производной от вектора скорости υ или второй производной от радиус-вектора r (t) по времени. Ускорение − это векторная величина
Ускорение можно найти по его проекциям на оси координат
Кинематика
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Прямолинейное равномерное движение
Движение по прямой, при котором тело проходит равные участки пути за равные промежутки времени называют прямолинейным равномерным. Это любое движение с постоянной скоростью.
Например, если у вас ограничение скорости на дороге 60 км/ч и у вас нет никаких препятствий на пути, то вы скорее всего будете двигаться прямолинейно равномерно.
Мы можем охарактеризовать это движение следующими величинами.
Скалярные величины (определяются только значением)
Векторные величины (определяются значением и направлением)
Проецирование векторов
Векторное описание движения полезно, так как на одном чертеже всегда можно изобразить много разнообразных векторов и получить перед глазами наглядную «картину» движения.
Однако всякий раз использовать линейку и транспортир, чтобы производить действия с векторами, очень трудоёмко. Поэтому эти действия сводят к действиям с положительными и отрицательными числами — проекциями векторов.
Если вектор сонаправлен с осью, то его проекция равна длине вектора. А если вектор противоположно направлен оси — проекция численно равна длине вектора, но отрицательна. Если вектор перпендикулярен — его проекция равна нулю.
Скорость может определяться по вектору перемещения и пути, только это будут две разные характеристики. Скорость — это векторная физическая величина, характеризующая быстроту перемещения, а средняя путевая скорость — это отношение длины пути ко времени, за которое путь был пройден.
Скорость
→ →
V = S/t
Средняя путевая скорость
V ср.путевая = S/t
V ср.путевая — средняя путевая скорость [м/с]
В чем разница между перемещением и путем?
Перемещение — это вектор, проведенный из начальной точки в конечную, а путь — это длина траектории.
Задача
Найдите, с какой средней путевой скоростью должен двигаться автомобиль, если расстояние от Санкт-Петербурга до Великого Новгорода в 210 километров ему нужно пройти за 2,5 часа. Ответ дайте в км/ч.
Решение:
Возьмем формулу средней путевой скорости
V ср.путевая = 210/2,5 = 84 км/ч
Ответ: автомобиль будет двигаться со средней путевой скоростью равной 84 км/ч
Уравнение движения
Основной задачей механики является определение положения тела в данный момент времени. Для решения этой задачи помогает уравнение движения, то есть зависимость координаты тела от времени х = х(t).
Уравнение движения
x(t) = x0 + vxt
x(t) — искомая координата [м]
x0 — начальная координата [м]
vx — скорость тела в данный момент времени [м/с]
t — момент времени [с]
Если положительное направление оси ОХ противоположно направлению движения тела, то проекция скорости тела на ось ОХ отрицательна, скорость меньше нуля (v
Задачка
Мотоцикл движется по закруглённому участку дороги радиусом 120 м со скоростью 36 км/ч. Чему равно центростремительное ускорение мотоцикла?
Решение:
Возьмем формулу центростремительного ускорения тела
В условии задачи скорость дана в километрах в час, а радиус в метрах. Значит, нужно перевести скорость в м/с, чтобы избежать коллапса в решении.
Теперь можно подставить значения в формулу:
aц = 10^2/120 = 100/120 = 10/12 ≃ 0,83 м/с^2
Ответ: центростремительное ускорение мотоциклиста равно 0,83 м/с^2
Эту и другие темы мы разбираем на курсе физики за 9 класс.
Что является предметом кинематики
Механическое движение – изменение положения тела относительно других тел с течением времени. Способы описания: словесный, табличный, графический, формулами.
Материальная точка – тело, собственными размерами которого в данных условиях можно пренебречь.
Траектория – линия, которую описывает материальная точка при своём движении в пространстве. По виду траектории все движения делятся на прямолинейные и криволинейные.
Система отсчёта – часы и система координат, связанные с условно выбираемым телом отсчёта (наблюдателем).
Относительность движения – различие скорости, направления и траектории движения в различных системах отсчёта.
Перемещение – вектор, проведённый из начального положения материальной точки в её конечное положение.
Типы движений
1. Равномерное движение
1.1. Равномерное прямолинейное движение
Равномерное движение – движение тела, при котором за равные интервалы времени оно преодолевает равные части пути.
Скорость равномерного движения равна отношению пройденного пути к интервалу времени, за который этот путь пройден.
Скорость равномерного прямолинейного движения равна отношению перемещения к интервалу времени его совершения.
Уравнение равно-прямолинейного движения x = x o + υ ox t показывает, что координата линейно зависит от времени.
Мгновенная скорость равна отношению перемещения к бесконечно малому интервалу времени, за который оно произошло.
1.2 Равномерное движение по окружности (равномерное вращение)
Равномерное движение по окружности — это движение, при котором материальная точка за равные промежутки времени проходит равные по длине дуги окружности.
Равномерное движение тела по окружности — это частный и наиболее простой случай криволинейного движения. Хотя при таком движении модуль скорости остается постоянным, это движение с ускорением, которое является следствием изменения направления вектора скорости.
2. Движение с постоянным ускорением
Равноускоренное движение – движение, при котором мгновенная скорость за любые равные интервалы времени меняется одинаково.
Мгновенное ускорение равно отношению изменения мгновенной скорости тела к бесконечно малому интервалу времени, за который это изменение произошло.
Ускорение равноускоренного движения равно отношению изменения мгновенной скорости тела к интервалу времени, за который это изменение произошло.
Уравнение равноускоренного движения y = yo + υoyt + ½ay t² показывает, что координата квадратично зависит от времени. Уравнение υy = υoy + ay t показывает, что скорость линейно зависит от времени.
Центростремительное ускорение – ускорение, всегда направленное к центру окружности при равномерном движении по ней материальной точки. Модуль центростремительного ускорения равен отношению квадрата модуля скорости равномерного движения по окружности к её радиусу.