d разбиение по одному параметру пример

14.08.202313.08.2023 admin 0 Comments

ВЫДЕЛЕНИЕ ОБЛАСТИ УСТОЙЧИВОСТИ МЕТОДОМ D-РАЗБИЕНИЯ

Устойчивость системы автоматического регулирования зависит от того, какими будут коэффициенты дифференциального уравнения, которое её описывает. Одна часть коэффициентов обеспечивает устойчивые решения дифференциального уравнения, другая часть — дополняющая первую — обеспечивает неустойчивые решения.

Идея метода D-разбиения заключается в том, чтобы найти границу между этими коэффициентами и тем самым указать область устойчивости [5, 8, 9]. Для этого выделяют один или два важных коэффициента, изменяют их и исследуют, как меняются корни характеристического уравнения. Все остальные коэффициенты фиксируются.

Пусть дано характеристическое уравнение системы автоматического регулирования:

Пусть все коэффициенты заданы, кроме «о и а_п. Предположим, что представленное уравнение имеет в плоскости корней к корней слева от мнимой оси и п-к корней справа для каких-то значений п₀ и а_п, рис. 44.

Рис. 45. Область устойчивости и D-кривая

Рис. 44. Комплексная плоскость корней «р»

Например, для характеристического уравнения четвертой степени

в плоскости коэффициентов могут быть следующие области:

Всего п + 1 областей.

D-разбиение по одному параметру

Изучение метода /1-разбиения начнем с выяснения влияния на устойчивость одного параметра при заданных значениях других параметров. Обозначим параметр как А. Это может быть коэффициент характеристического уравнения, или сочетание коэффициентов. Например, в уравнении

Допустим, сделан выбор А=Т₂. Тогда уравнение примет вид

Полином, который умножается на А, обозначим Q(p), остальную часть S(p). Уравнение примет общий вид:

Представив последнее уравнение в виде

получаем А как функцию переменной р.

Чтобы построить границы области устойчивости, полагаем p=jсо. Тогда А(р) становится комплексным числом:

Если теперь задавать со от 0 до +оо, вектор Aijco) вычертит некоторую кривую на комплексной плоскости X, Y. Эта кривая отображает на плоскость X, Y мнимую ось комплексной плоскости корней, то есть будет границей, по одну сторону которой к корней, по другую п-к.

Чтобы разобраться, по какую сторону находятся к корней, область D-разбиения выделяется штриховкой.

Рассмотрим в качестве примера кривую, изображенную на рис. 47. На этой кривой показано, как надо наносить штриховку. Область устойчивости ограничена кривой со штриховкой внутрь.

Рис. 46. Комплексная плоскость корней «р» Рис. 47. Штриховка D-кривой

Параметр А по физическому смыслу есть величина действительная, поэтому для расчетов используется только отрезок действительной оси, охваченной кривыми со штриховкой внутрь: от точки 1 до точки 2. (рис. 47).

В основе лежит допущение, что в характеристическом уравнении можно выделить два параметра, М и N, которые могут изменяться, а остальные параметры заданы. Параметром может быть коэффициент или комбинация коэффициентов.

Если параметры М и N входят в характеристическое уравнение линейно, то характеристическое уравнение может быть представлено в виде

где Q, R, Н — некоторые полиномы.

Выделение областей устойчивости в плоскости параметров N и М достигается следующей процедурой.

Подставляем в характеристическое уравнение p=jco. Полиномы Q, R, Н распадаются на вещественные и мнимые части:

Теперь их надо ввести в характеристическое уравнение и выделить действительные и мнимые слагаемые:

Если комплексное выражение равно нулю, значит его действительное и мнимое слагаемые по отдельности равны нулю:

Получается два линейных уравнения для определения параметров М и N:

Величины Q, Q₂, R, R2 рассматриваются как коэффициенты, а Ми N — как переменные.

Определители параметра М и параметра N:

Определитель А_м получается из определителя системы заменой элементов первого столбца свободными членами системы. Определитель Адг — заменой элементов второго столбца свободными членами системы.

Для конкретного значения со:

На плоскости М, N это будет точка. Задавая со от нуля до бесконечности, в плоскости М, N можно построить кривую, которая и есть граница D-разбиения. Система уравнений для М и N имеет решение, если А Ф 0 и А_м * 0, Дд^ 0; и не имеет решения, если Д=0 (точка с координатами (М, N) уходит в бесконечность). В случае Д=0, А_м = 0, A_n = 0, значения М и N становятся неопределенными. Уравнения для М и N становятся зависимыми и определяют собой не точку, а прямую в плоскости М, N. Такая прямая называется особой прямой. В большинстве случаев особые прямые получаются для со=0 и со=оо.

Область устойчивости выделяется штриховкой.

Источник

D разбиение по одному параметру пример

Приведем характеристическое уравнение замкнутой САУ к виду:

D(p _K ) = (j K ) 3 + cK1(j K ) 2 + c _K2 (jK ) + c _K3 = 0

11.2. D-разбиение по одному параметру

11.3. Прямые методы оценки качества управления

Для сравнения качества различных САУ исследуется их реакция на типовые воздействия. Обычно это ступенчатая (толчковая) функция, как один из наиболее неблагоприятных видов возмущений. Для систем, работающих с периодическими возмущениями, целесообразно оценивать качество управления при гармоническом воздействии. Все остальные возмущения можно разложить на ступенчатые воздействия с использованием интеграла Дюамеля, либо в ряд Фурье.

11.3.1. Оценка переходного процесса при ступенчатом воздействии.

11.3.2. Оценка качества управления при периодических возмущениях

Периодические возмущения можно разложить в ряд Фурье, поэтому их воздействие удобно анализировать по частотным характеристикам, показывающим, как звено преобразует гармонический сигнал.

Aз = .

По этой кривой можно получить ряд показателей качества.

Aз(0) = 1,

5. Склонность САУ к колебаниям характеризуют также ее запасы устойчивости по модулю (допускается от 6 до 20дб) и по фазе (допускается от 30 до 60 градусов).

Источник

Метод D-разбиения

При создании реальной системы управления бывает необходимо знать нс только запас устойчивости, который можно оценить с помощью какого- либо критерия, но и всю область устойчивости по параметрам. Этой цели служит метод D-разбиения, позволяющий построить такую область в плоскости одного или двух параметров.

Рассмотрим суть метода D-разбиения по одному параметру D, который входит в характеристическое уравнение системы линейно:

Заменив в уравнении (4.37) р па^со, получим уравнение

соответствующее границе устойчивости согласно критерию Михайлова (условие (4.24)). Разрешим его относительно D:

Кривая D-разбиения симметрична относительно вещественной оси (рис. 4.31), поэтому достаточно построить ее часть, соответствующую положительным значениям частоты, а вторую половину получить отображением относительно вещественной оси.

Рис. 4.31. Иллюстрация построения кривой D-разбиения:

1—3 — подобласти с различным распределением корней

Отметим, что эта кривая разбивает комплексную плоскость на несколько подобластей с различным соотношением корней. Для определения области устойчивости необходимо выбрать по одному значению D в каждой из них и проверить устойчивость с помощью какого-либо критерия. Если система устойчива при конкретном значении D, то она будет устойчива и при всех его значениях из этой области.

Обычно в качестве параметра D фигурирует реальный параметр системы (коэффициент усиления, постоянная времени, момент инерции и г.д.), который может иметь только вещественные значения. Представление его комплексным выражением D(yco) носит формальный характер, а область устойчивости ограничивается отрезком вещественной оси.

Метод D-разбиения можно применять и для построения области устойчивости по двум параметрам D_t и D._?, которые входят линейно в характеристическое уравнение

В этом случае уравнение границы устойчивости имеет вид

и распадается на два независимых уравнения:

Эти два уравнения параметрически задают кривую D-разбиения. Область устойчивости определяется аналогично случаю одного параметра D.

Пример 4.9. Определить область устойчивости системы (рис. 4.32) по коэффициенту усиления.

Рис. 4.32. Структурная схема системы к примеру 4.8

Определим передаточную функцию замкнутой системы:

Запишем ее характеристическое уравнение:

Здесь k — параметр, по которому строится область устойчивости, поэтому обозначим его через D. Разрешим характеристическое уравнение относительно D и заменим р —? 7со. В результате получим уравнение для кривой D-разбиения

Вычислим значения вещественной и мнимой части D(/co) при конкретных положительных значениях частоты и занесем их в таблицу.

Источник

D-разбиение по одному(комплексному) параметру

Предположим, что требуется выяснить влияние на устойчивость какого-либо параметра ν, линейно входящего в характеристическое уравнение. Для этого сначала характеристическое уравнение приводят к виду

(3.131)

где S(s) — полином, не зависящий от ν; N(s) — полином, содержащий ν множителем.

Граница D-разбиения определяется уравнением

(3.132)

(3.133)

Так как изменяемый параметр v в линейных системах является не комплексным, а вещественным числом (коэффициент усиления, постоянная времени и т. д.), то (3.133) следовало бы дополнить условием Y (ω) = 0. Однако при первоначальном построении не будем делать этого ограничения и будем временно считать изменяемый параметр комплексной величиной v, отмечая это чертой сверху, чтобы отличить ее от вещественного значения v.

Давая ω значения от— ∞ до ∞, можно по (3.133) вычислить X(∞) и Y (∞) и построить на комплексной плоскости v границу D-разбиения.

При построении границы D-разбиения достаточно построить ее для положительных значений ω и затем дополнить зеркальным отображением построенного участка относительно действительной оси (рис. 3.30 б).

Рис. 3.30. Построение границы D-разбиения

Если при изменении ω от — ∞ до в плоскости корней двигаться по мнимой оси и штриховать ее слева (рис. 3.30а),

то такому движению в плоскости ν¯ соответствует движение по границе D-разбиения, которую также штрихуют слева по обходу при изменении ω от — ∞ до ∞ (рис. 3.30 б).

Если в плоскости ν¯ пересекать границу D-разбиения по направлению штриховки (стрелка 1), то в плоскости корней один из корней переходит из правой полуплоскости в левую. Если же в плоскости ν¯ пересекать границу D-разбиения против штриховки (стрелка 2),то в плоскости корней, один из корней переходит из левой полуплоскости в правую.

Если штриховка двойная (например, в точке пересечения кривых), то мнимую ось пересекают два корня.

Для определения области D(m),и в частности области устойчивости D(0), достаточно знать распределение корней (т.е. число правых и левых корней) при каком-либо одном произвольном значении параметра ν¯ = ν¯₀. Переходя в плоскости ν¯ от этого параметра к любому другому, по числу пересечений границы D-разбиения, направлению и числу штриховок можно определить значение D(m)в любой другой точке.

Претендентом на область устойчивости является область, внутрь которой направлена штриховка и которая поэтому соответствует области с наибольшим числом левых корней. Чтобы установить, является ли эта область действительно областью устойчивости, необходимо задаться каким-либо значением ν¯₀, лежащим в этой области. Подставив ν¯₀ в характеристическое уравнение, нужно, используя любой критерий устойчивости, установить, все ли корни характеристического уравнения будут при этом левыми. Если при этом не все корни будут левыми, то области устойчивости нет, т. е. изменением только параметра v нельзя сделать систему устойчивой.

Так как изменяемый параметр является вещественным числом; то из полученной области устойчивости выделяют только отрезок устойчивости, т. е. отрезок вещественной оси, лежащий в области устойчивости, например отрезок АБ на рис. 3.30 б.

Пример.Пусть характеристическое уравнение замкнутой системы автоматического управления

(3.134)

где К— коэффициент усиления разомкнутой системы; Т₁, Т₂, Т₃ — постоянные времени отдельных динамических звеньев.

Требуется построить границу D-разбиения в плоскости коэффициента усиления разомкнутой системы К.

Запишем характеристическое уравнение в виде

(3.135)

где , , . (3.136)

Подставляя в характеристическое уравнение s = jω, получаем выражение для границы D-разбиения:

(3.137)

(3.138)

(3.139)

(3.140)

Задаваясь различными значениями частоты ω > 0, определяем X(ω) и Y(ω) и строим на комплексной плоскости кривую D-разбиения, соответствующую положительным частотам (сплошная линия на рис. 3.31). Ветвь кривой D-разбиения, соответствующую отрицательным частотам ω 0 (пунктирная линия на рис. 3.31). Затем кривую D-разбиения штрихуем слева по обходу при изменении частоты ω от — ∞ до ∞.

Рис. 3.31. Кривая D-разбиения

, (3.141)

все корни s₁=-1/T₁, s₂=-1/T₂, s₃=-1/T₃ которого являются левыми; следовательно, область I является областью устойчивости D(0)

Так как коэффициент усиления Кне является комплексной величиной, то нас будет интересовать только отрезок устойчивости АБ, совпадающий с действительной осью, находящейся в области устойчивости.

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Источник

Тема№13 D- разбиения по одному параметру

Тема №12 Метод D- разбиения

Используется при синтезе систем для определения допустимых по условиям устойчивости пределов изменения некоторых параметров системы (обычно к – коэф усил., или Т – регулятора).

Процесс построения в пространстве параметров (коэффициентов) областей с разным распределением корней ХУ называется D – разбиением.

Областью устойчивости D (0) называют область в пространстве изменяемых параметров в каждой точке которой соответствуют только левые полюса, остальные области отличаются числом правых корней ХУ D (1), D (2).

Граница D области является отображением мнимой оси плоскости корней. Она соответствует значениям параметров при котором хотя бы один корень находится на мнимой оси.

Если система в пространстве всех своих параметров не имеет области устойчивости она называется структурно-неустойчивой.

Подставив s=jw в ХУ разрешают его относительно изменяемого параметра. Находят действительную U(w) и мнимуюV(w) часть. Изменяя ω от 0 до +∞ строят кривую D- разбиения и ее зеркальное отображение относительно действительной оси.

Двигаясь по кривой от ω =-∞ до ω =+∞ штрихуют слева от кривой.

Направление штриховки указывают на область с наибольшим числом левых корней ХУ.

При каждом переходе через кривую навстречу штриховки один корень ХУ становится правым. В обратном направлении левым.

Выбранную область претендент D (0) проверяют на устойчивость любым способом подставляя значение параметра из этой области в ХУ. Т.к. изменяемый параметр является действительной величиной, его допустимые значения лежат на отрезке действительной оси заключенным внутри области устойчивости D (0).

Пример: Оценить влияние на устойчивость системы, К –коэф. методом D- разбиения.