метод эйлера в чем заключается
Метод Эйлера: для чего он нужен, порядок действий и упражнения
Содержание:
В Метод Эйлера Это самая базовая и простая из процедур, используемых для нахождения приближенных численных решений обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка, при условии, что известно его начальное условие.
Если наибольшая производная, которая появляется в уравнении, имеет степень один, то это обыкновенное дифференциальное уравнение первой степени.
Самый общий способ написать уравнение первой степени:
Что такое метод Эйлера?
Сначала интервал дискретизируется на n + 1 балл:
Которые получаются так:
Икся= х0+ я
С начальным условием также можно узнать производную в начале:
Эта производная представляет собой наклон касательной к кривой функции y (x) точно в точке:
Затем делается приблизительный прогноз значения функции y (x) в следующей точке:
Затем была получена следующая приближенная точка решения, которая будет соответствовать:
Процедура повторяется для получения последовательных баллов.
Решенные упражнения
Упражнение 1
я) Пусть дифференциальное уравнение имеет вид:
При начальном условии x = a = 0; Yк= 1
Используя метод Эйлера, получить приближенное решение Y в координате X = b = 0,5, разбивая интервал [a, b] на n = 5 частей.
Решение
Численные результаты резюмируются следующим образом:
Из чего делается вывод, что решение Y для значения 0,5 составляет 1,4851.
Примечание: для проведения расчетов, Smath studio, бесплатная программа для бесплатного использования.
Упражнение 2.
II) Продолжая работу с дифференциальным уравнением из упражнения I), найдите точное решение и сравните его с результатом, полученным методом Эйлера. Найдите ошибку или разницу между точным и приблизительным результатом.
Решение
Точное решение найти не очень сложно. Производная функции sin (x) известна как функция cos (x). Следовательно, решение y (x) будет:
Для выполнения начального условия и (0) = 1 константа C должна быть равна 1. Затем точный результат сравнивается с приблизительным:
Сделан вывод, что в расчетном интервале аппроксимация имеет три значащих цифры точности.
Упражнение 3.
III) Рассмотрим дифференциальное уравнение и его начальные условия, указанные ниже:
При начальном условии x0 = 0; Y0 = 1
Используйте метод Эйлера, чтобы найти приблизительные значения решения у (х) в интервале х = [0, 1,5]. Используйте шаг h = 0,1.
Решение
Метод Эйлера очень подходит для использования с электронной таблицей. В этом случае мы будем использовать электронную таблицу геогебра бесплатная и бесплатная программа.
Точно так же y2 будет в ячейке B4, и его формула показана на следующем рисунке:
На рисунке также показан график точного решения и точки A, B,…, P приближенного решения по методу Эйлера.
Ньютоновская динамика и метод Эйлера
Второй закон Ньютона обычно выражается в виде дифференциального уравнения второй степени:
куда Икс представляет положение объекта в момент т. Указанный объект имеет массу м и подвергается силе F. Функция F связана с силой и массой следующим образом:
Для применения метода Эйлера требуются начальные значения времени. т, скорость v и положение Икс.
В следующей таблице объясняется, как, начиная с начальных значений t1, v1, x1, можно получить приближение скорости v2 и положения x2 в момент t2 = t1 + Δt, где Δt представляет небольшое увеличение и соответствует шагу в методе Эйлер.
Упражнение 4.
Второй закон Ньютона для этой проблемы будет выглядеть так:
В этом примере для простоты мы возьмем M = 1 и K = 1. Найдите приблизительные решения для положения Икс и скорость v методом Эйлера на временном интервале [0, π / 2], разбивая интервал на 12 частей.
Возьмите 0 в качестве начального момента, начальную скорость 0 и начальное положение 1.
Решение
Численные результаты представлены в следующей таблице:
Также отображаются графики положения и скорости между временами от 0 до 1,44.
Предлагаемые упражнения для дома
Упражнение 1
Используйте электронную таблицу, чтобы найти приближенное решение с помощью метода Эйлера для дифференциального уравнения:
Начните с шага 0,1. Постройте результат.
Упражнение 2.
Используя электронную таблицу, найдите численные решения следующего квадратного уравнения, где y является функцией независимой переменной t.
Найдите решение на интервале [0,5; 1.0] с шагом 0,05.
Постройте результат: y vs t; y ‘vs t
Ссылки
Политическое значение нации
Метод Эйлера. В основе метода Эйлера лежит идея графического построения решения дифференциального уравнения, этот метод называется также методом ломаных Эйлера
В основе метода Эйлера лежит идея графического построения решения дифференциального уравнения, этот метод называется также методом ломаных Эйлера.
Угловой коэффициент касательной к интегральной кривой в точке M0(x0,y0) равен 
.
Найдем ординату y1 касательной, соответствующей абсциссе x1=x0+h.
Уравнение касательной к кривой в точке M0 имеет вид 
или 
, откуда y1=y0+hf(x0,y0).
Аналогично, угловой коэффициент касательной к интегральной кривой в точке M1(x1,y1) равен 
. Точку M2(x2,y2) получим соответственно
Продолжая вычисления по данной схеме, получим формулы Эйлера для приближенного решения задачи Коши с начальными данными (x0,y0) на сетке отрезка [a, b] с шагом h:
|
|
Графической иллюстрацией приближенного решения является ломаная, соединяющая последовательно точки M0, M1, …,Mm, которую называют ломаной Эйлера.
 |
Погрешность метода Эйлера можно оценить неравенством
, (5)
которое можно представить в виде d=Ch, где 
. Таким образом, метод Эйлера имеет первый порядок точности.
Практическую оценку погрешности решения, найденного на сетке с шагом h/2, в точке xiÎ[a, b] производят с помощью приближенного равенства – правила Рунге:
(6)
где P – порядок точности численного метода.
Таким образом, оценка полученного результата по правилу Рунге вынуждает проводить вычисления дважды: с шагом h и h/2, причем совпадение десятичных знаков в полученных двумя способами результатах дает основание считать их верными.
Программа решения дифференциального уравнения методом Эйлера
function f(x,y: real): real;
begin writeln(‘Введите значения концов отрезка [a,b]’);
writeln(‘Введите начальное значение y0=y(x0)’);readln(y);
writeln(‘Введите число значений функции на промежутке [a,b]’); read(m);
Метод Эйлера
Содержание
Описание метода
Пусть дана задача Коши для уравнения первого порядка
где функция 
определена на некоторой области 
. Решение разыскивается на интервале 
. На этом интервале введем узлы
Приближенное решение в узлах 
, которое обозначим через 
определяется по формуле
Эти формулы обобщаются на случай систем обыкновенных дифференциальных уравнений.
Оценка погрешности
Метод Эйлера является методом первого порядка. Если функция непрерывна в 
и непрерывно дифференцируема по переменной 
в , то имеет место следующая оценка погрешности
где 
— средний шаг, то есть существует 
0″ border=»0″ /> такая, что 
.
Заметим, что условия гладкости на правую часть, гарантирующие единственность решения задачи Коши, необходимы для обоснования сходимости метода Эйлера.
Значение метода Эйлера
Метод Эйлера являлся исторически первым методом численного решения задачи Коши. О. Коши использовал этот метод для доказательства существования решения задачи Коши. Ввиду невысокой точности и вычислительной неустойчивости для практического нахождения решений задачи Коши метод Эйлера применяется редко. Однако в виду своей простоты метод Эйлера находит свое применение в теоретических исследованиях дифференциальных уравнений, задач вариационного исчисления и ряда других математических проблем.
Модифицированный метод Эйлера с пересчетом
Вычисления по методу Эйлера с пересчетом делаются в два этапа.
.
.
Модифицированный метод Эйлера с пересчетом имеет второй порядок точности, однако для его реализации необходимо дважды вычислять правую часть функции. Заметим, что метод Эйлера с пересчетом представляет собой разновидность методов Рунге-Кутты (предиктор-корректор).
См. также
Литература
Примечания
Полезное
Смотреть что такое «Метод Эйлера» в других словарях:
метод Эйлера — — [http://www.iks media.ru/glossary/index.html?glossid=2400324] Тематики электросвязь, основные понятия EN Eulers method … Справочник технического переводчика
Метод Рунге — Кутта — Методы Рунге Кутта (Методы Рунге Кутты) важное семейство численных алгоритмов решения обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем. Данные итеративные методы явного и неявного приближённого вычисления были разработаны около 1900 года… … Википедия
ЭЙЛЕРА МЕТОД — простейший конечно разностный метод численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Пусть дано дифференциальное уравнение с начальным условием y(x0) = y0. Выбирается достаточно малый шаг hпо оси х, строятся точки x;=x0+ih, i=0, 1, 2 … Математическая энциклопедия
Метод Рунге — Методы Рунге Кутты (распространено неправильное название Методы Рунге Кутта или даже Методы Рунге Кутта) важное семейство численных алгоритмов решения обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем. Данные итеративные … Википедия
Метод Рунге — Кутты — Методы Рунге Кутта важное семейство численных алгоритмов решения (систем) обыкновенных дифференциальных уравнений. Данные итеративные методы явного и неявного приближенного вычисления были разработаны около 1900 года немецкими математиками К.… … Википедия
Метод Рунге-Кутта — Методы Рунге Кутта важное семейство численных алгоритмов решения (систем) обыкновенных дифференциальных уравнений. Данные итеративные методы явного и неявного приближенного вычисления были разработаны около 1900 года немецкими математиками К.… … Википедия
Метод Рунге-Кутты — Методы Рунге Кутта важное семейство численных алгоритмов решения (систем) обыкновенных дифференциальных уравнений. Данные итеративные методы явного и неявного приближенного вычисления были разработаны около 1900 года немецкими математиками К.… … Википедия
Метод Рунге — Куттa — Методы Рунге Кутта важное семейство численных алгоритмов решения (систем) обыкновенных дифференциальных уравнений. Данные итеративные методы явного и неявного приближенного вычисления были разработаны около 1900 года немецкими математиками К.… … Википедия
ЭЙЛЕРА МЕТОД — построения таблиц смертности, основан на использовании данных о возрастном составе умерших и коэфф. естеств. прироста населения (r) за предшествующий период. Э. м. позволяет адекватно оценить уровень смертности т. н. закрытого населения (без… … Демографический энциклопедический словарь
ЭЙЛЕРА МЕТОД
— простейший конечно-разностный метод численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений.
Пусть дано дифференциальное уравнение
Если правая часть f(x, у )уравнения (1) непрерывна, то последовательность ломаных Эйлера при 
на достаточно малом отрезке 
равномерно стремится к искомой интегральной кривой у(х).
Э. м. заключается в том, что интеграл дифференциального уравнения (1) на каждом последовательном отрезке [ х i, xi+1]представляется двумя членами ряда Тейлора
где
Последний метод можно еще более уточнить, применив итерационную обработку каждого значения yi+1:
где нулевое приближение
Лит.:[1] Демидович Б. П., Марон И. А., Основы вычислительной математики, М., 1960.
И. Б. Вапнярский.
Полезное
Смотреть что такое «ЭЙЛЕРА МЕТОД» в других словарях:
ЭЙЛЕРА МЕТОД — построения таблиц смертности, основан на использовании данных о возрастном составе умерших и коэфф. естеств. прироста населения (r) за предшествующий период. Э. м. позволяет адекватно оценить уровень смертности т. н. закрытого населения (без… … Демографический энциклопедический словарь
ЭЙЛЕРА МЕТОД СУММИРОВАНИЯ — один из методов суммирования числовых и функциональных рядов. Ряд суммируем методом суммирования Эйлера (( Е, q ) суммируем) к сумме S, если где Впервые метод при q=1 применялся Л. Эйлером (L. Euler) для суммирования медленно сходящихся и… … Математическая энциклопедия
Эйлера метод ломаных — один из простейших методов численного решения дифференциальных уравнений. Предложен Л. Эйлером в 1768. См. Приближённое решение дифференциальных уравнений … Большая советская энциклопедия
Метод Эйлера — Метод Эйлера наиболее простой численный метод решения (систем) обыкновенных дифференциальных уравнений. Впервые описан Леонардом Эйлером в 1768 году в работе «Интегральное исчисление»[1]. Метод Эйлера является явным, одношаговым методом… … Википедия
Метод Рунге — Кутта — Методы Рунге Кутта (Методы Рунге Кутты) важное семейство численных алгоритмов решения обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем. Данные итеративные методы явного и неявного приближённого вычисления были разработаны около 1900 года… … Википедия
метод Эйлера — — [http://www.iks media.ru/glossary/index.html?glossid=2400324] Тематики электросвязь, основные понятия EN Eulers method … Справочник технического переводчика
Метод узловых потенциалов — метод расчета электрических цепей путём записи системы линейных алгебраических уравнений, в которой неизвестными являются потенциалы в узлах цепи. В результате применения метода определяются потенциалы во всех узлах цепи, а также, при… … Википедия
Метод Рунге — Методы Рунге Кутты (распространено неправильное название Методы Рунге Кутта или даже Методы Рунге Кутта) важное семейство численных алгоритмов решения обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем. Данные итеративные … Википедия
СОДЕРЖАНИЕ
Эта проблема
Методы
Так называемые общие линейные методы (GLM) являются обобщением двух вышеупомянутых больших классов методов.
Метод Эйлера
Из любой точки кривой вы можете приблизиться к ближайшей точке кривой, пройдя небольшое расстояние по касательной к кривой.
Начиная с дифференциального уравнения ( 1 ), заменим производную y ′ конечно-разностным приближением
что при перестановке дает следующую формулу
и использование ( 1 ) дает:
Обратный метод Эйлера
Если вместо ( 2 ) использовать приближение
получаем обратный метод Эйлера :
Метод экспоненциального интегратора первого порядка
Экспоненциальные интеграторы описывают большой класс интеграторов, которые в последнее время активно развиваются. Они датируются как минимум 1960-ми годами.
Вместо ( 1 ) мы предполагаем, что дифференциальное уравнение имеет вид
Это интегральное уравнение точное, но оно не определяет интеграл.
Экспоненциальный интегратор первого порядка можно реализовать, поддерживая постоянным на всем интервале: N ( у ( т п + τ ) ) <\ Displaystyle <\ mathcal 
Обобщения
Метод Эйлера часто бывает недостаточно точным. Точнее говоря, он имеет только первый порядок (понятие порядка объясняется ниже). Это заставило математиков искать методы более высокого порядка.
Расширенные возможности
Хорошая реализация одного из этих методов решения ОДУ требует большего, чем формула временного шага.
Другие желательные функции включают в себя:
Альтернативные методы
Многие методы не попадают в рамки, обсуждаемые здесь. Некоторые классы альтернативных методов:
Параллельные по времени методы
Анализ
Конвергенция
Численный метод называется сходящимся, если численное решение приближается к точному решению, когда размер шага h стремится к 0. Точнее, мы требуем, чтобы для каждого ОДУ (1) с липшицевой функцией f и каждым t * > 0,
Все упомянутые выше методы сходятся.
Последовательность и порядок
Предположим, что численный метод
Метод называется непротиворечивым, если
Устойчивость и жесткость
Для некоторых дифференциальных уравнений применение стандартных методов, таких как метод Эйлера, явные методы Рунге – Кутта или многоступенчатые методы (например, методы Адамса – Башфорта), демонстрируют нестабильность решений, хотя другие методы могут давать устойчивые решения. Это «сложное поведение» в уравнении (которое не обязательно само по себе) описывается как жесткость и часто вызвано наличием различных временных масштабов в основной проблеме. Например, столкновение в механической системе, такой как ударный осциллятор, обычно происходит в гораздо меньшем масштабе времени, чем время движения объектов; это несоответствие приводит к очень «резким поворотам» кривых параметров состояния.
История
Ниже приведен график некоторых важных событий в этой области.
Численное решение одномерных краевых задач второго порядка
а центральная разность второго порядка для второй производной определяется выражением:
Следующим шагом будет дискретизация проблемы и использование приближений линейной производной, таких как
и решить полученную систему линейных уравнений. Это привело бы к таким уравнениям, как: