Линейные уравнения с параметром (8 класс)
Новые аудиокурсы повышения квалификации для педагогов
Слушайте учебный материал в удобное для Вас время в любом месте
откроется в новом окне
Выдаем Удостоверение установленного образца:
Описание презентации по отдельным слайдам:
Описание слайда:
Занятие математического кружка
Линейные уравнения с параметром
Автор: ученица 8а класса МБОУ СОШ №4 села Иглино Шайнурова Светлана Азатовна
Описание слайда:
эпиграф
Важнейшая задача
цивилизации-
научить человека мыслить
Описание слайда:
Для чего необходимо научиться решать задачи с параметрами?
Умение решать уравнения с параметрами необходимо при сдаче ЕГЭ и ГИА;
Навыки в решении таких уравнений является хорошим подспорьем для успешных выступлений на математических олимпиадах;
Решения задач с параметрами – эффективное упражнение для развития интеллекта.
Описание слайда:
Основные определения
Решить уравнение или неравенство с параметрами означает:
Определить, при каких значениях параметров существуют решения;
Для каждой допустимой системы значений параметров найти соответствующее множество решений.
Описание слайда:
Линейные уравнения с параметром
Уравнение вида ах=b, где а, bєR, называется линейным относительно неизвестного х.
Возможны три случая:
1. а≠0, b-любое действительное число.
Уравнение имеет единственное решение х =
2. а=0, b=0.
Решениями уравнения являются все действительные числа.
3. а=0, b≠0.
Уравнение решений не имеет.
Ответ: х= при а≠0, bєR; хєR при а=0, b=0; Ø при а=0,b≠0.
Описание слайда:
Описание слайда:
Пример 2
При каких а уравнение имеет бесконечно много решений?
Описание слайда:
Пример 3
При каких а уравнение
не имеет решения?
Описание слайда:
Пример 4
При каком а уравнение
2ах+6=4х
имеют корень,
равный 3?
Описание слайда:
Пример 5
При каком а
прямая у=4ах-5
проходит через точку А(2;-3)?
Описание слайда:
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Курс профессиональной переподготовки
Библиотечно-библиографические и информационные знания в педагогическом процессе
Курс профессиональной переподготовки
Охрана труда
Курс профессиональной переподготовки
Организация деятельности библиотекаря в профессиональном образовании
Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
также Вы можете выбрать тип материала:
Общая информация
Похожие материалы
Сценарий открытого мероприятия, посвящённого 75-летию Победы в Великой Отечественной войне: «Памяти павших будьте достойны!»
Возможности и риски педагогической диагностики
Презентация на тему : «Этологическая теория»
Мастер-класс для воспитателей «Нетрадиционные техники лепки»
Презентация на тему: Электрический ток. Анализ опасности поражения током
«Вред и польза жевательной резинки»
Статья «Нетрадиционные формы обучения столяров»
КОС ОП.09 Охрана труда
Не нашли то что искали?
Воспользуйтесь поиском по нашей базе из
5138934 материала.
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Аккаунты друзей ребенка в соцсетях регулярно просматривают 30% родителей
Время чтения: 2 минуты
В пяти регионах России протестируют новую систему оплаты труда педагогов
Время чтения: 2 минуты
Штаб по выборам в Москве попросит уменьшить число участков в школах
Время чтения: 1 минута
Постоянно получать новые знания хотят 46% россиян
Время чтения: 2 минуты
Студент устроил стрельбу в Пермском государственном университете
Время чтения: 1 минута
ВПР начались в колледжах с 15 сентября
Время чтения: 4 минуты
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
Уравнения с параметром
Разделы: Математика
Справочный материал
Уравнение вида f(x; a) = 0 называется уравнением с переменной х и параметром а.
Решить уравнение с параметром а – это значит, для каждого значения а найти значения х, удовлетворяющие этому уравнению.
Если 1 – а 
0, т.е. а 1, то х = 
Пример 4.
Если а = 1, то 0х = 0
х – любое действительное число
Если а 1, а -1, то х = 
(единственное решение).
Это значит, что каждому допустимому значению а соответствует единственное значение х.
если а = 5, то х =
=
= 
;Дидактический материал
3. а = 
+ 
4. 
+ 3(х+1)
5. 
= 
– 
6. 
= 
при а = 1 х – любое действительное число, кроме х = 1
Квадратные уравнения с параметром
Пример 1. Решить уравнение
х = – 
В случае а 1 выделим те значения параметра, при которых Д обращается в нуль.
Д = (2(2а + 1)) 2 – 4(а – 1)(4а + 30 = 16а 2 + 16а + 4 – 4(4а 2 + 3а – 4а – 3) = 16а 2 + 16а + 4 – 16а 2 + 4а + 12 = 20а + 16
a = 
a = 
х = 
х = – 
= – 
Пример 2. При каких значениях параметра а уравнение
х 2 + 2(а + 1)х + 9а – 5 = 0 имеет 2 различных отрицательных корня?
6
Пример 3. Найдите значения а, при которых данное уравнение имеет решение.
Д = 4(а – 1) 2 – 4(2а + 10 = 4а 2 – 8а + 4 – 8а – 4 = 4а 2 – 16а
4а 2 – 16 
0
4а(а – 4) 0
а(а – 4)) 0
Ответ: а 
0 и а 4
Дидактический материал
1. При каком значении а уравнение ах 2 – (а + 1) х + 2а – 1 = 0 имеет один корень?
2. При каком значении а уравнение (а + 2) х 2 + 2(а + 2)х + 2 = 0 имеет один корень?
3. При каких значениях а уравнение (а 2 – 6а + 8) х 2 + (а 2 – 4) х + (10 – 3а – а 2 ) = 0 имеет более двух корней?
4. При каких значениях а уравнение 2х 2 + х – а = 0 имеет хотя бы один общий корень с уравнением 2х 2 – 7х + 6 = 0?
5. При каких значениях а уравнения х 2 +ах + 1 = 0 и х 2 + х + а = 0 имеют хотя бы один общий корень?
Показательные уравнения с параметром
Пример 1.Найти все значения а, при которых уравнение
3 2(х+1/х) – (а + 2)*3 х+1/х + 2а = 0 (2)
Пусть 3 х+1/х = у, тогда уравнение (2) примет вид у 2 – (а + 2)у + 2а = 0, или
Это уравнение не имеет действительных корней, так как его Д = log 2 32 – 4 х+1/х = а то х + 1/х = log3а, или х 2 – хlog3а + 1 = 0. (3)
Уравнение (3) имеет ровно два корня тогда и только тогда, когда
Д = log 2 32 – 4 > 0, или |log3а| > 2.
Если log3а > 2, то а > 9, а если log3а 9.
Пример 2. При каких значениях а уравнение 2 2х – (а – 3) 2 х – 3а = 0 имеет решения?
а – положительное число.
Дидактический материал
1. Найти все значения а, при которых уравнение
2. При каких значениях а уравнение
2 (а-1)х?+2(а+3)х+а = 1/4 имеет единственный корень?
3. При каких значениях параметра а уравнение
х = у
| Если а = 0, то – | 2у + 1 = 0 2у = 1 у = 1/2 х = 1/2 х = 1/4 |
Не выполняется (2) условие из (3).
Пусть а 0, то ау 2 – 2у + 1 = 0 имеет действительные корни тогда и только тогда, когда Д = 4 – 4а 0, т.е. при а 1.
Если Д = 0 (а = 1), то (4) имеет единственный положительный корень х = 1, удовлетворяющий условиям (3).
Пусть Д > 0 (а 0 уравнение (4) имеет действительные корни разных знаков. Это условие выполняется тогда и только тогда, когда Д > 0 и 1/а х
Выражая х из (1) и подставляя в (2), получаем неравенство
2 – а > 1 – а (3)
Чтобы решить неравенство (3), построим графики функций у = 2 – а и у = 1 – а.
Решения неравенства (3) образуют промежуток (а0; 2), где а0 2
а0 =
Квадратные уравнения с параметром
Понятие уравнения с параметром и его решения
Часто на практике создаётся такая математическая модель, в которой приходится решать не одно, а целое «семейство» похожих уравнений.
Рассмотрим несложный пример.
Допустим, у нас есть материалы, чтобы соорудить забор длиной 100 м.
Это – простейшее уравнение с параметром, в котором один из коэффициентов не задан конкретным числом.
Уравнение относительно переменной x с параметром a – это уравнение F(x,a), в котором значение a не определено и также является переменной величиной.
Решим наше уравнение. Найдём дискриминант:
Чтобы решения существовали, потребуем:
Наша модель немного усложнится, если мы поставим условия, чтобы площадь и длина были строго положительными:
Запишем ответ для модели с условиями:
Ответ изменился незначительно, но чтобы его записать, нам пришлось провести дополнительное исследование.
Примеры
Пример 2. При каких значениях a уравнение
имеет один корень? Найдите этот корень.
Уравнение имеет один корень, если D = 0:
Пример 3. Найдите такое p, чтобы уравнения
имели общий корень. Найдите этот корень.
Общий корень означает, что параболы пересекаются в точке, лежащей на оси OX.
При p = 2 уравнения имеют общий корень x = 1.
Решаем уравнение в общем виде:
Начертим график параболы
При всех других целых a уравнение решений не имеет.
Пример 6. Найдите все значения параметра a, при которых уравнения
имеют один и те же решения.
Старшие коэффициенты парабол одинаковы и равны 1.
Параболы будут иметь одинаковые решения в том случае, если будут полностью совпадать, т.е.:
Кроме того, они могли бы совпадать, если бы все переменные коэффициенты одновременно стали равны 0:
Пример 7. Решите уравнение:
Урок алгебры по теме «Уравнения с параметром». 8-й класс
Разделы: Математика
Класс: 8
Цели: изучить понятие «уравнения с параметром», сформировать умение решать линейные и квадратные уравнения с параметром.
Место урока в рабочей программе:
Провести либо перед контрольной работой №6 «Дробно-рациональные уравнения», либо после нее.
Урок проводить в классе с хорошей математической подготовкой. Для учащихся, которые учатся на «3», можно подготовить индивидуальные задания, с целью исправления ошибок из контрольной работы.
Ход урока
I. Проверка домашнего задания (Приложение 1, слайды 2-14).
1) Карточки, которые раздавались учащимся на предыдущем уроке. (Приложение 2).
2) Из учебника № 703
II. Введение в тему урока.
Решите кроссворд. Задания зачитываются учителем. Проверка (Приложение 1, слайды 15-16)
1. Графиком квадратичной функции является …
2. Равенство, содержащее переменную, значение которой надо найти – это …
3. Квадратное уравнение, в котором коэффициент при х 2 равен 1 называется…
4. Уравнения, в которых левая и правая части являются рациональными выражениями, называются…
5. Запись какого-нибудь правила с помощью букв – это…
6. Графиком функции у=k/x, где х≠0, является…
7. Теорема, выражающая связь между коэффициентами квадратного уравнения и его корнями, носит название теоремы…
Записали тему урока. (Приложение 1, слайд 17)
Сколько может иметь корней линейное уравнение в зависимости от коэффициентов? А квадратное?
III. Объяснение нового материала.
1. Изучение понятия «уравнение с параметром».
Во время актуализации знаний учащиеся вспомнили, что линейное уравнение в зависимости от коэффициентов может иметь одно решение, бесконечно много решений, либо не иметь решений. Так же и квадратное уравнение в зависимости от дискриминанта, а значит, от коэффициентов, может иметь один корень, два корня, либо не иметь корней.
(Приложение 1, слайд 18)
Если уравнение записано в виде равенства двух выражений, в запись которых входят две буквы, например ах = 5, то нужно четко определить, что это за уравнение. Различают три смысла:
1) х, а – равноценные переменные. Говорят, что задано уравнение с двумя переменными и требуется найти все пары (х, а), которые удовлетворяют данному уравнению.
2) х – переменная, а – фиксированное число. Говорят, что задано уравнение с одной переменной х и требуется найти значение х, удовлетворяющее уравнению при фиксированном значении а.
3) х – переменная, а – любое число из некоторого множества А. Говорят, что задано уравнение с переменной х и параметром а (А – множество изменения параметра), требуется решить уравнение относительно х для каждого значения а.
Область изменения параметра либо оговаривается заранее, либо обычно подразумевается множество всех действительных чисел.
Тогда задачу решения уравнения с параметром можно переформулировать: решить семейство уравнений, получаемых из уравнения при любых действительных значениях параметра.
2. Примем решения уравнения с параметром.
Ясно, что выписать каждое уравнение из бесконечного семейства уравнений невозможно. Тем не менее, каждое уравнение семейства должно быть решено. Сделать это можно, если по некоторому целесообразному признаку разбить множество всех значений параметра на подмножества и решить затем заданное уравнение на каждом из этих подмножеств.
Для разбиения множества значений параметра на подмножества удобно воспользоваться теми значениями параметра, при которых или при переходе через которые происходят качественные изменения уравнения. Такие значения параметра называются контрольными.
3. Алгоритм решения уравнения с параметром:
1-й ш а г. Находим область изменения параметра.
2-й ш а г. Находим ОДЗ уравнения.
3-й ш а г. Определяем контрольные значения параметра и разбиваем область изменения параметра на подмножества.
4-й ш а г. Решаем уравнение на каждом подмножестве области изменения параметра.
5-й ш а г. Записываем ответ.
4. Решение линейных и квадратных уравнений с параметром.
На примерах со с. 141–143 учебника рассмотреть, как обнаруживаются контрольные значения параметра, как с их помощью множество значений параметра разбивается на подмножества и как затем на каждом из подмножеств решается заданное линейное или квадратное уравнение.
IV. Формирование умений и навыков.
Все упражнения, относящиеся к этому пункту, можно разбить на 3 группы:
1) решить уравнение с параметром, заданное в стандартном виде;
2) преобразовать уравнение с параметром и решать его;
3) найти значения параметра, при которых будет выполняться некоторое условие.
1. № 641 (а) (Разбирает учитель вместе с учениками).
Если р = 0, то уравнение примет вид –1 = 0.
Данное уравнение не имеет корней.
О т в е т: при р = 0 нет корней; при р ≠ 0; у = (p + 1)/p.
2. № 642 (Учащийся, который сам вызвался к доске).
Если а – 2 = 0, то есть а = 2, то
О т в е т: при а = 2 х – любое; при а ≠ 2 х = а 2 – 9.
№ 644 (б) (Проводится анализ, а затем записываем).
Если а ≠ 0, то D > 0 и 
3. № 646 (Проводим анализ и даем время решить самостоятельно, а затем, проверяем).
х1 2 + х2 2 принимает наименьшее значение при а = 1 и равно 5.
О т в е т: 5 при а = 1.
V. Физкультминутка (Приложение 3, Приложение 4, Приложение 1, слайд 20)
VI. Обучающая самостоятельная работа.
№645(б) – I вариант, №645 (г) – II вариант.
Двое учащихся на откидных досках. Оценки только тем учащимся, которые написала на «5».
VII. Итог урока
VIII. Домашнее задание. (Приложение 1, слайд 22)
Прочитать п.27 и разобрать примеры 1 и 2, №645 (а, в), №704.
Информационные ресурсы:
Технологическая карта урока математики в 8 классе «Уравнения с параметром»
Новые аудиокурсы повышения квалификации для педагогов
Слушайте учебный материал в удобное для Вас время в любом месте
откроется в новом окне
Выдаем Удостоверение установленного образца:
Технологическая карта урока математики в 8 классе
«Уравнения с параметром»
Тема урока: Уравнения с параметром.
Тип урока: урок повторения
Используемый УМК: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк и др., М.: Просвещение, 2016
Цель: формирование умений решать задачи с параметрами, задачи на определение количества решений уравнений с параметром.
образовательные : формировать умение решать линейные и квадратные уравнения с параметром, задачи на определение количества решений уравнений с параметром; формировать у учащихся умение выделять главное, существенное в изучаемом материале, сравнивать, обобщать изучаемые факты, логически излагать свои мысли; формировать навыки взаимоконтроля;
развивающие : развивать интеллектуальные качества учащихся, познавательный интерес и способности, развивать волевые качества учащихся, самостоятельность, умение преодолевать трудности в учении используя для этого проблемные ситуации, творческие задания ;
воспитательные : воспитывать усидчивость, умение преодолевать трудности, аккуратность при выполнении заданий, силы воли, настойчивости, упорства; воспитание интереса к математике, к учению; воспитывать доброжелательное отношение учащихся друг к другу, обеспечивать доброжелательное отношение к учащимся со стороны учителя.
личностные УУД: смыслообразование, формирование положительного отношения к процессу познания;
регулятивные УУД: волевая саморегуляция, целеполагание, самоконтроль, взаимоконтроль, коррекция, оценка, планирование;
познавательные УУД: постановка проблемы, умение структурировать знания, рефлексия способов и условий действия, контроль и оценка процесса и результатов деятельности; самостоятельное создание алгоритмов деятельности при решении проблем творческого и поискового характера;
коммуникативные УУД: учебное сотрудничество с учащимися, учителем; управление поведением партнера.
1. Организационный этап
Проверяется готовность учащихся и кабинета к уроку, выявляются отсутствующие.
Учащиеся настраиваются на работу.
2. Постановка цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности учащихся.
Создание проблемной ситуации:
а 2 (х – 2) – 3а = х + 1.
Вступительная беседа. Учитель дает понятие параметра, уравнения с параметром. Предлагает учащимся сформулировать цель урока
Учащиеся предлагают различные варианты решения, говорят о трудностях, которые у них возникли.
Учащиеся формулируют цель урока: «Научиться решать уравнения с параметром».
Учебное сотрудничество с учителем
Учащимся предлагается: 1) вспомнить определения линейных и квадратных уравнений, алгоритмов их решения, определение числа корней; 2)решить предложенные простейшие линейные и квадратные уравнения и осуществить взаимопроверку.
Учащиеся самостоятельно решают уравнения, меняются тетрадями и осуществляют взаимопроверку, разбирая и объясняют друг другу совершенные ошибки, если таковые имеются.
Взаимоконтроль и самоконтроль
Умение структурировать знания
Учебное сотрудничество с учителем и сверстниками, управление поведением партнера
4. Применение знаний и умений в новой ситуации