Уравнения с параметром в каком классе проходят

Линейные уравнения с параметрами в 7-м классе (методические рекомендации)

Разделы: Математика

а) свободное владение навыками решения уравнений;
б) знание специфических преобразований, которые используются в уравнениях;
в) умение построить логическую цепочку рассуждений.

а) отработку навыков решения уравнений;
б) повышают интеллектуальный уровень ученика и его логическое мышление;
в) формируют навыки исследовательской деятельности;
г) повышают интерес к математике.

Прежде чем ввести понятие «параметр», учащимся необходимо напомнить роль букв в алгебре. Обратить внимание ребят на то, что за буквой скрывается число.
Предложите учащимся задания, в которых надо выразить одну переменную через другую. К этим задачам надо возвращаться постоянно, особенно в 7-м классе, поскольку умение выражать одну переменную через другую очень пригодится при решении задач по физике, где требуется вначале составить буквенное выражение и только затем подставить числовые значения.

Пример №3.
Дано уравнение ах=5а-9.
Напишите уравнение, которое получится, если а=10; а=-2; а=0.

Пример №4.
Решить уравнение относительно х:
х+2=а+7.
Решение: х=а+5.
Переменную, которую надо найти, будем называть неизвестной, а переменную, через которую будем выражать искомую неизвестную, назовем параметром.

Заметим, что в нашем примере параметр а может принимать любые значения.
Ответ запишем так: при любом значении параметра а

Как было сказано ранее, к уравнениям с параметрами надо возвращаться постоянно. Поэтому, на конец учебного года можно вынести уравнения:
1) (а-3)х=а2-9;
2) (3-2а)х=4а2-12а+9;
3) (а2-4)х=а2-5а+6;
4) (а2-1)х=а3+1
Решение.1) (а2-1)=0, а=±1.
При а=1 уравнение имеет вид 0х=2. Следовательно, решений нет.
При а=-1 уравнение имеет вид 0х=0. Следовательно, х- любое число.

Задачи для самостоятельного решения.

Для всех значений параметров а и в решите уравнения:

Используемая литература.

Источник

Урок по теме «Методы решения задач с параметрами»

Разделы: Математика

Цель данной работы – изучение различных способов решения задач с параметрами. Возможность и умение решать задачи с параметрами демонстрируют владение методами решения уравнений и неравенств, осмысленное понимание теоретических сведений, уровень логического мышления, стимулируют познавательную деятельность. Для развития этих навыков необходимы длительнее усилия, именно поэтому в профильных 10-11 классах с углубленным изучением точных наук введен курс: “Математический практикум”, частью которого является решение уравнений и неравенств с параметрами. Курс входит в число дисциплин, включенных в компонент учебного плана школы.

Успешному изучению методов решения задач с параметрами могут помочь элективный или факультативный курсы, или компонент за сеткой по теме: “Задачи с параметрами”.

Рассмотрим четыре больших класса задач с параметрами:

Методы решений задач с параметрами.

1. Аналитический метод.

Это способ прямого решения, повторяющий стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра.

Пример 1. Найдите все значения параметра a, при которых уравнение:

(2a – 1)x 2 + ax + (2a – 3) =0 имеет не более одного корня.

При 2a – 1 = 0 данное уравнение квадратным не является, поэтому случай a =1/2 разбираем отдельно.

Если a = 1/2, то уравнение принимает вид 1/2x – 2 = 0, оно имеет один корень.

Чтобы записать окончательный ответ, необходимо понять,

2. Графический метод.

В зависимости от задачи (с переменной x и параметром a) рассматриваются графики в координатной плоскости (x;y) или в плоскости (x;a).

Пример 2. Для каждого значения параметра a определите количество решений уравнения .

Заметим, что количество решений уравнения равно количеству точек пересечения графиков функций и y = a.

График функции показан на рис.1.

y = a – это горизонтальная прямая. По графику несложно установить количество точек пересечения в зависимости от a (например, при a = 11 – две точки пересечения; при a = 2 – восемь точек пересечения).

Ответ: при a 25/4 – два решения.

3. Метод решения относительно параметра.

При решении этим способом переменные х и а принимаются равноправными, и выбирается та переменная, относительно которой аналитическое решение становится более простым. После упрощений нужно вернуться к исходному смыслу переменных х и а и закончить решение.

1) Если а = 0, то уравнение имеет единственное решение t = 2.

Решение некоторых типов уравнений и неравенств с параметрами.

Задачи с параметрами помогают в формировании логического мышления, в приобретении навыков исследовательской деятельности.

Решение каждой задачи своеобразно и требует к себе индивидуального, нестандартного подхода, поскольку не существует единого способа решения таких задач.

Задача № 1. При каких значениях параметра b уравнение не имеет корней?

Задача №2. Найти все значения параметра a, при которых множество решений неравенства:

содержит число 6, а также содержит два отрезка длиной 6, не имеющие общих точек.

Преобразуем обе части неравенства.

Для того, чтобы множество решений неравенства содержало число 6, необходимо и достаточно выполнение условия:

Рис.4

При a > 6 множество решений неравенства: .

Интервал (0;5) не может содержать ни одного отрезка длины 6. Значит, два непересекающихся отрезка длины 6 должны содержаться в интервале (5; a).

Это

Задача № 3. В области определения функции взяли все целые положительные числа и сложили их. Найти все значения, при которых такая сумма будет больше 5, но меньше 10.

1) Графиком дробно-линейной функции является гипербола. По условию x > 0. При неограниченном возрастании х дробь монотонно убывает и приближается к нулю, а значения функции z возрастают и приближаются к 5. Кроме того, z(0) = 1.

2) По определению степени область определения D(y) состоит из решений неравенства . При a = 1 получаем неравенство, у которого решений нет. Поэтому функция у нигде не определена.

Решение иррациональных уравнений и неравенств, а также уравнений, неравенств и систем, содержащих модули рассмотрены в Приложении 1.

Задачи с параметрами являются сложными потому, что не существует единого алгоритма их решения. Спецификой подобных задач является то, что наряду с неизвестными величинами в них фигурируют параметры, численные значения которых не указаны конкретно, но считаются известными и заданными на некотором числовом множестве. При этом значения параметров существенно влияют на логический и технический ход решения задачи и форму ответа.

По статистике многие из выпускников не приступают к решению задач с параметрами на ЕГЭ. По данным ФИПИ всего 10% выпускников приступают к решению таких задач, и процент их верного решения невысок: 2–3%, поэтому приобретение навыков решения трудных, нестандартных заданий, в том числе задач с параметрами, учащимися школ по-прежнему остается актуальным.

Источник

Урок алгебры по теме «Уравнения с параметром». 8-й класс

Разделы: Математика

Класс: 8

Цели: изучить понятие «уравнения с параметром», сформировать умение решать линейные и квадратные уравнения с параметром.

Место урока в рабочей программе:

Провести либо перед контрольной работой №6 «Дробно-рациональные уравнения», либо после нее.

Урок проводить в классе с хорошей математической подготовкой. Для учащихся, которые учатся на «3», можно подготовить индивидуальные задания, с целью исправления ошибок из контрольной работы.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания (Приложение 1, слайды 2-14).

1) Карточки, которые раздавались учащимся на предыдущем уроке. (Приложение 2).

2) Из учебника № 703

II. Введение в тему урока.

Решите кроссворд. Задания зачитываются учителем. Проверка (Приложение 1, слайды 15-16)

1. Графиком квадратичной функции является …

2. Равенство, содержащее переменную, значение которой надо найти – это …

3. Квадратное уравнение, в котором коэффициент при х 2 равен 1 называется…

4. Уравнения, в которых левая и правая части являются рациональными выражениями, называются…

5. Запись какого-нибудь правила с помощью букв – это…

6. Графиком функции у=k/x, где х≠0, является…

7. Теорема, выражающая связь между коэффициентами квадратного уравнения и его корнями, носит название теоремы…

Записали тему урока. (Приложение 1, слайд 17)

Сколько может иметь корней линейное уравнение в зависимости от коэффициентов? А квадратное?

III. Объяснение нового материала.

1. Изучение понятия «уравнение с параметром».

Во время актуализации знаний учащиеся вспомнили, что линейное уравнение в зависимости от коэффициентов может иметь одно решение, бесконечно много решений, либо не иметь решений. Так же и квадратное уравнение в зависимости от дискриминанта, а значит, от коэффициентов, может иметь один корень, два корня, либо не иметь корней.

(Приложение 1, слайд 18)

Если уравнение записано в виде равенства двух выражений, в запись которых входят две буквы, например ах = 5, то нужно четко определить, что это за уравнение. Различают три смысла:

1) х, а – равноценные переменные. Говорят, что задано уравнение с двумя переменными и требуется найти все пары (х, а), которые удовлетворяют данному уравнению.

2) х – переменная, а – фиксированное число. Говорят, что задано уравнение с одной переменной х и требуется найти значение х, удовлетворяющее уравнению при фиксированном значении а.

3) х – переменная, а – любое число из некоторого множества А. Говорят, что задано уравнение с переменной х и параметром а (А – множество изменения параметра), требуется решить уравнение относительно х для каждого значения а.

Область изменения параметра либо оговаривается заранее, либо обычно подразумевается множество всех действительных чисел.

Тогда задачу решения уравнения с параметром можно переформулировать: решить семейство уравнений, получаемых из уравнения при любых действительных значениях параметра.

2. Примем решения уравнения с параметром.

Ясно, что выписать каждое уравнение из бесконечного семейства уравнений невозможно. Тем не менее, каждое уравнение семейства должно быть решено. Сделать это можно, если по некоторому целесообразному признаку разбить множество всех значений параметра на подмножества и решить затем заданное уравнение на каждом из этих подмножеств.

Для разбиения множества значений параметра на подмножества удобно воспользоваться теми значениями параметра, при которых или при переходе через которые происходят качественные изменения уравнения. Такие значения параметра называются контрольными.

3. Алгоритм решения уравнения с параметром:

1-й ш а г. Находим область изменения параметра.

2-й ш а г. Находим ОДЗ уравнения.

3-й ш а г. Определяем контрольные значения параметра и разбиваем область изменения параметра на подмножества.

4-й ш а г. Решаем уравнение на каждом подмножестве области изменения параметра.

5-й ш а г. Записываем ответ.

4. Решение линейных и квадратных уравнений с параметром.

На примерах со с. 141–143 учебника рассмотреть, как обнаруживаются контрольные значения параметра, как с их помощью множество значений параметра разбивается на подмножества и как затем на каждом из подмножеств решается заданное линейное или квадратное уравнение.

IV. Формирование умений и навыков.

Все упражнения, относящиеся к этому пункту, можно разбить на 3 группы:

1) решить уравнение с параметром, заданное в стандартном виде;

2) преобразовать уравнение с параметром и решать его;

3) найти значения параметра, при которых будет выполняться некоторое условие.

1. № 641 (а) (Разбирает учитель вместе с учениками).

Если р = 0, то уравнение примет вид –1 = 0.

Данное уравнение не имеет корней.

О т в е т: при р = 0 нет корней; при р ≠ 0; у = (p + 1)/p.

2. № 642 (Учащийся, который сам вызвался к доске).

Если а – 2 = 0, то есть а = 2, то

О т в е т: при а = 2 х – любое; при а ≠ 2 х = а 2 – 9.

№ 644 (б) (Проводится анализ, а затем записываем).

Если а ≠ 0, то D > 0 и

3. № 646 (Проводим анализ и даем время решить самостоятельно, а затем, проверяем).

х₁ 2 + х₂ 2 принимает наименьшее значение при а = 1 и равно 5.

О т в е т: 5 при а = 1.

V. Физкультминутка (Приложение 3, Приложение 4, Приложение 1, слайд 20)

VI. Обучающая самостоятельная работа.

№645(б) – I вариант, №645 (г) – II вариант.

Двое учащихся на откидных досках. Оценки только тем учащимся, которые написала на «5».

VII. Итог урока

VIII. Домашнее задание. (Приложение 1, слайд 22)

Прочитать п.27 и разобрать примеры 1 и 2, №645 (а, в), №704.

Информационные ресурсы:

Источник

Параметры в школьном курсе математики

Разделы: Математика

Пояснительная записка

Основной задачей модернизации российского образования является обеспечение нового качества школьного образования, соответствующего требованиям изменившейся системы общественных отношений и ценностей. В свете профилизации и модернизации школьного образования возникла необходимость создания элективного курса «Параметры в школьном курсе математики» для развития целостной математической составляющей картины мира и для расширения возможностей учащихся по свободному выбору своего образовательного пути. Предлагаемый элективный курс предназначен для реализации в старших классах профильного обучения с физико-математическим направлением. Курс систематизирует и упорядочивает, закрепляет и углубляет математические знания, умения и навыки учащихся. В процессе изучения данного элективного курса учащиеся познакомится с различными методами решения задач с параметрами.

Элективный курс предусматривает не только овладение различными умениями, навыками, приемами для решения задач, но и создает условия для формирования мировоззрения ученика, логической и эвристической составляющих мышления. Задачи с параметрами, как правило, относятся к наиболее трудным задачам, носят исследовательский характер. В школьных учебниках по математике таких задач недостаточно. Практика итоговых экзаменов в школе и приемных экзаменов в высшие учебные заведения показывает, что задачи с параметрами представляют для учащихся наибольшую сложность, как в логическом, так и в техническом плане, и поэтому умение их решать во многом предопределяет успешную сдачу экзамена в любое высшее учебное заведение. Старшеклассники, изучившие данный материал, смогут более успешно реализовать полученные знания и умения на итоговой аттестации в форме ЕГЭ.

Многообразие задач с параметрами охватывает весь курс школьной математики. Владение приемами решения задач с параметрами можно считать критерием знаний основных разделов школьной математики, уровня математического и логического мышления. Приемы и методы, которые получат учащиеся в ходе изучения данного курса, применимы и в других предметных областях. В, частности, приемы обобщения, анализа, классификации, систематизации и другие надпредметные компетентности. Не секрет, что уровень развития надпредметных умений и навыков, в настоящее время, не высок. Поэтому возникла необходимость создания этого элективного курса, который не только напрямую углубляет и расширят математические способности детей, но и развивает их творческий и интеллектуальный потенциал.

Программа курса

Содержание курса

Предлагаемый элективный курс рассчитан на 34 часа и предлагается его организовать во втором полугодии 10 класса и в первом полугодии 11 класса следующим образом:

Краткое содержание курса

Определение параметра. Классификация уравнений и неравенств, содержащие параметр. Основные приемы решения задач с параметрам. Решение простейших уравнений с параметрами. Актуализация знаний учащихся по данной теме. Практическое применение приемов и методов решения параметрических заданий в других предметных областях. Прогнозирование исследовательской и проектной деятельности.

2. Решение уравнений различного типа

Систематизация различных типов уравнений, различных методов решения. Решение задач. Алгоритмы решения уравнений.

2.1. Общие подходы к решению линейных уравнений. Решение линейных уравнений, содержащих параметр. Различные приемы и методы решений уравнений, сводящиеся к линейным уравнениям. Применение алгоритма решения линейных уравнений, содержащих параметр. Решение линейно-кусочных уравнений. Геометрическая интерпретация. Решение системных уравнений.

2.2. Актуализация знаний по теме «Квадратные уравнения». Исследования количества корней, в зависимости от дискриминанта. Использование теоремы Виета. Исследование квадратного трехчлена. Алгоритм решения уравнений. Аналитический метод решения.

Функционально-иллюстративный метод. Классификация задач, с позиций применения к ним методов исследования.

Тригонометрические уравнения. Использование основных свойств тригонометрических функций в задачах с параметрами. Тригонометрические уравнения, содержащие параметр. Исследование области значений функции методами оценивания значений.

3. Решение неравенств различного вида

3.1.Решение линейных неравенств, содержащих параметр.Определение линейного неравенства. Алгоритм решения линейных неравенств. Решение стандартных линейных неравенств, простейших неравенств с параметрами. Различные приемы и методы решений неравенств, сводящихся к линейным неравенствам. Исследование полученных ответов. Обработка результатов, полученных при решении.

3.2. Квадратные неравенства и неравенства, сводящиеся к квадратичным неравенствам. Определение квадратичного неравенства. Алгоритм решения квадратных неравенств. Решение стандартных квадратных неравенств и неравенств с параметрами. Различные приемы и методы решений неравенств, сводящихся к квадратным неравенствам. Исследование полученных ответов. Обработка результатов, полученных при решении. Область определения и область значений квадратичной функции. Монотонность квадратичной функции. Координаты вершины параболы. Исследование корней квадратного трехчлена.

3.3 Тригонометрические неравенства. Свойства тригонометрических функций. Приемы и методы решений тригонометрических неравенств, содержащих параметр.

Дальнейшее изучение способов решений заданий с параметрами. Прогнозирование исследовательской и проектной деятельности.

5. Логарифмические, показательные уравнения и неравенства.

Решение уравнений и неравенств с помощью методов: интервалов, неопределённых коэффициентов, оценок (по выбору).

5.1. Свойства степеней и показательной функции. Решение показательных уравнений и неравенств, содержащих параметры.Свойства логарифмов и логарифмической функции. Решение логарифмических уравнений с параметрами. Исследование полученных ответов. Обработка результатов, полученных при решении.

5.2. Свойства степеней и показательной функции. Решение показательных неравенств, содержащих параметры. Свойства логарифмов и логарифмической функции. Решение логарифмических неравенств с параметрами. Исследование полученных ответов. Обработка результатов, полученных при решении.

6. Производная и ее применение

Касательная к функции. Критические точки. Монотонность. Наибольшие и наименьшие значения функции. Построение графиков функций.

7. Графическое решение уравнений и неравенств

Графические приемы. Координатная плоскость (х; у). Параллельный перенос. Поворот. Гомотетия. Координатная плоскость (х; а).

8. Задачи на составление уравнений

Решение задач с некоторыми условиями. Прикладная направленность применения методов решения параметрических задач.

8.1. Задачи с физическим содержанием.

8.2. Задачи на объемные доли в растворе и концентрацию вещества.

Итоговым занятием могут быть презентации защиты проектов.

Виды деятельности

Для организации занятий рекомендуются следующие организационные формы обучения: лекции, практикумы по решению задач, семинары. Основным видом деятельности учащихся на занятиях должна стать проектная и исследовательская деятельность учащихся, которая может быть реализована как на занятиях в классе, так и в ходе самостоятельной работы, которая может быть представлена в виде исследовательских работ, презентаций, докладов, рефератов и т.д. Все занятия должны носить проблемный и поисковый характер и включать в себя самостоятельную работу. Успешность усвоения курса определяется преобладанием самостоятельной, творческой работы учащихся. Такая организация занятий способствует реализации развивающих целей курса.

Методические рекомендации

Для проведения занятий следует использовать различные организационные технологии. Первые занятия в десятом и одиннадцатом классах следует провести в виде обзорной лекции, на которой определяются цели и задачи курса, формы организации занятий, проектирование результатов деятельности и т.д. Содержание лекции можно представить в виде компьютерной презентации.

Занятия можно организовать в форме семинаров, практических занятий. Приоритетным направлением является групповая, парная и индивидуальная работа, в ходе которой реализуются исследовательская и проектная деятельность учащихся.

В группах можно рассматривать теоретический материал, парная работа дает возможность учащимся консультироваться друг у друга, выполнять совместные задания, проверять некоторый теоретический материал. В ходе индивидуальной работы учащиеся выполняют самостоятельные работы, готовят рефераты, доклады занимаются проектной и исследовательской деятельностью. Темы для рефератов и проектов учащиеся выбирают сами, защита которых и будет зачетом по данному курсу.

Данные формы организации занятий дают возможность учащимся проектировать свою образовательную траекторию. Каждый ребенок имеет возможность включить в процесс обучения свои собственные личные функции его субъектный опыт становится востребованным, а коллектив представляет возможность совместного развития, для восприятия себя как источника для развития других и других как источника своего развития. Другими словами, ученик становится подлинным центром образовательного процесса.

Для организации занятий следует подготовить дидактический материал, который соответствует уровню подготовленности учащихся. Теоретический материал можно оформить в виде опорных конспектов или предложить учебные пособия, либо указать ссылки на адреса в интернете. Проверить уровень усвоения учебного материала можно через самостоятельные, зачетные и тестовые задания, а также и подготовку проектов и исследовательских работ. На занятиях считаю необходимым применение информационно-коммуникационных технологий. Компьютер не только помогает в освоении учебного материала, но и формирует устойчивый позитивный интерес к обучению, в общем.

В конце каждого занятия целесообразно проводить рефлексию, которая поможет учащимся определить дальнейшие образовательные дефициты.

Ресурсное обеспечение

Соответственно необходимо наличие компьютеров, подключенных к интернет-каналу, проектор и экран для представления презентаций. Программное обеспечение должно быть следующее: Microsoft Word,Microsoft Excel, Microsoft PowerPoint.

Заключение

Введение элективного курса «Решение задач с параметрами» необходимо учащимся в наше время, как при подготовке к ЕГЭ, так и к вступительным экзаменам в вузы. Владение приемами решения задач с параметрам можно считать критерием знаний основных разделов школьной математики, уровня математического и логического мышления.

Решение задач, уравнений с параметрами, открывает перед учащимися значительное число эвристических приемов общего характера, ценных для математического развития личности, применяемых в исследованиях и на любом другом математическом материале. Именно такие задачи играют большую роль в формировании логического мышления и математической культуры у школьников, Поэтому учащиеся, владеющие методами решения задач с параметрами, успешно справляются с другими задачами.

Источник