замечательные пределы это что

Первый и второй замечательные пределы

Предел отношения синуса к его аргументу равняется единице в случае стремления аргумента к 0.

Данная лемма служит основой для вычисления производных тригонометрических функций, которые содержат синус, арксинус, тангенс и арктангенс.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

В записи тождество математического анализа имеет следующий вид:

Доказательство

Доказательство при 0

Так как длина стороны АВ — это самое краткое расстояние между А и В, то модуль отрезка АВ меньше модуля дуги ADB или:

Из прямоугольного треугольника АВН имеем:

Разделим на число с положительным значением Rα:

Для дальнейшего доказательства необходима лемма.

Верхняя грань множества длин всех ломанных, вписанных в дугу окружности, называется длиной этой дуги.

Согласно этому утверждению:

Подставим в это неравенство:

Выполним умножение на положительное число:

Из (а) и (б) следует, что при 0 :

Доказательство при отрицательных значениях: −π/2 0. Подставим в двойное неравенство (в) и воспользуемся четностью косинуса и нечетностью синуса:

Отсюда следует, что двойное неравенство (в) выполняется для положительных и отрицательных значений 0 \((г)\;\cos\left(\alpha\right)\;

Перейдем в неравенстве (г) к пределу α→0. Используем теорему о промежуточной функции и получим:

Теперь обозначим α буквой x и получим:

Первый замечательный предел доказан.

Примеры решений

Задача 1

Решение

В исходное выражение подставим вместо переменной x значение, равное нулю. Выполнив это, получим:

Далее выполним преобразования, чтобы применить первый замечательный предел. Для этого тангенс представим в виде отношения синуса к косинусу:

Свойства пределов позволяют вынести константу за знак предела, а также произвести замену предела произведения произведением пределов (при существовании последних):

Первый предел последнего выражения является первым замечательным пределом, который равен:

Подставим во второй предел x=0:

Второй замечательный предел

Предел, лежащий в основе нахождения производных показательной функции и логарифма, называется вторым замечательным.

Рассматриваемую лемму можно записать в виде формулы:

В данном случае х — действительное число; e — число Эйлера.

Число Эйлера — это математическая постоянная, трансцендентная величина, то есть число, которое не может являться корнем полинома с целыми коэффициентами. e≈2,7182818284.

Доказательство

Чтобы доказать указанное утверждение, будем применять факт, что последовательность

строго возрастает и ее конечный предел равен величине е:

Для начала рассмотрим правый предел:

Чтобы он существовал, необходимо существование такой окрестности +∞, где функция является определенной и имеет вид:

В конкретном случае f(x) определена при x>0. Можно выбрать любую окрестность. Для удобства примем x≥1.

Пусть n(x) — это функция, обозначающая целую часть числа x, к примеру: n(1)=1, n(1,2)=1, n(2,02)=2, n(3)=3. Указанная функция неубывающая.

Рассмотрим сложную функцию:

Приведем доказательство того, что при условии x→+∞ она имеет предел, равный числу Эйлера:

Так как последовательность

строго возрастающая, а n(x) — неубывающая, сложная функция g(x) также не убывает.

В этом случае по теореме о пределе монотонной функции данная сложная функция обладает конечным, либо бесконечным пределом при условии x→+∞:

Покажем, что А=e с применением определения предела функции по Гейне. Согласно ему: если g(x) имеет предел при x→x₀:

Возьмем последовательность y_n=n, которая сходится к +∞, тогда:

Поскольку последовательность \(\) совпадает с \(\) :

Поэтому предел данной последовательности равен:

В результате приходим к равенству А=е:

Подставим x=t+1. Отметим, что x(n)=n(t+1)=n(t)+1. Заменим переменную t на x и получим:

Далее воспользуемся условием n(x)≤x≤n(x)+1, значит:

Используем арифметические свойства предела функции и пределы (а) и (б):

Применим к (в) теорему о промежуточной функции и получим:

Далее рассмотрим левый предел:

Пусть x≤−2. Произведем подстановку x=−y и получим y≥2. При x→−∞, y→+∞.

Применим арифметические свойства предела функции:

Так как и справа, и слева существуют равные пределы, то имеет место двусторонний предел:

Второй замечательный предел доказан.

Примеры решений

Задача 1

Решение

Выражение 7−6x стремится к 1 при условии, что x→1, то есть:

Для показателя степени x/3x-3 получаем:

Таким образом, в данном случае имеет место неопределенность вида 1 в степени бесконечности. Ее возможно раскрыть с применением второго замечательного предела.

Сначала отметим, что в формуле:

x стремится к бесконечности, а в формуле:

t стремится к нулю.

В данном примере x стремится к единице, поэтому для удобства введем еще одну переменную, стремящуюся либо к бесконечности, либо к нулю, чтобы воспользоваться одной из приведенных выше формул.

Пусть новая переменная y равна разности x−1. Поскольку x стремится к 1, то x−1 стремится к нулю, то есть y→0.

Подставим x=y+1 при y→0:

Основание 1+t соответствует выражению в основании примера 1+(−6y). Исходя из формулы, показатель степени должен иметь вид 1/t, следовательно, необходимо привести показатель степени в примере к соотношению 1/−6y. Для этого умножим его на данную дробь. Компенсируем это действие с помощью дополнительного умножения на обратную дробь, то есть фактически на −6y:

Источник

Содержание:

Замечательные пределы

Сравнение бесконечно малых функций

Признак существования предела (теорема о 2-х милиционерах)

Теорема: Если значения функции

значениями функций

Рассмотрим геометрический смысл данной теоремы (Рис. 62). Из рисунка видно, что в случае, когда функции стягиваются к прямой у=А, то они “вынуждают” функцию также приближаться к той же самой прямой (“куда идут два милиционера, ведущие арестованного, туда идет и сам арестованный”).

Рис. 62. Иллюстрация теоремы о “2-х милиционерах”.

Доказательство: Пусть — точка сгущения для функций в общей области определения. Это означает, что в некоторой -окрестности точки выполняется неравенство В -окрестности точки выполняется неравенство Так как значения функции заключены между значениями функций то в некоторой -окрестности точки меньшей из -окрестностей будет выполняться неравенство Отсюда следует, что выполняется неравенство или

Первый замечательный предел

Определение: Предел отношения синуса какого-либо аргумента к этому аргументу при стремлении аргумента к нулю равен единице, т.е. и называется первым замечательным пределом.

Пример:

Пределы являются первыми замечательными пределами

Доказательство: Для вывода этой формулы построим окружность с центром в точке О(0; 0) и радиусом R = 1. Выберем угол в первой координатной четверти и сравним площади трех фигур: треугольник АОВ, сектор АОВ и треугольник AOD (Рис. 63):

Рис. 63. Иллюстрация вывода формулы первого замечательного предела.

Из рисунка видно, что площади указанных фигу р связаны соотношением:

Вычислим эти площади

Следовательно, вышеприведенное неравенство приводится к виду В силу того, что получаем Разделим полученное неравенство на знак всех неравенств не изменится: Переходя к обратным неравенствам, или в силу того, что то по теореме о 2-х милиционерах

Аналогично проводится доказательство для любого значения угла

Таким образом, наличие в пределе, сводящемся к неопределенности тригонометрических функции может указывать на первый замечательный предел.

При вычислении первого замечательного предела используют следующие формулы:

а также следующие таблицы:

Табл. 1. Значения синуса и косинуса на интервале

Табл. 2. Формулы приведения.

Пример:

Найти

Решение:

При подстановке предельной величины переменной х имеем неопределенность Воспользуемся формулой и преобразуем данный предел следующим образом:

Пример:

Найти

Решение:

При подстановке предельного значения переменной х имеем неопределённость Воспользуемся формулой тогда данный предел равен:

Пример:

Найти

Решение:

При подстановке предельного значения переменной х имеем неопределённость Введём замену (при ) и воспользуемся следующей формулой Предел преобразуется к виду:

Пример:

Найти

Решение:

При подстановке предельного значения переменной х имеем неопределённость Воспользуемся формулами получим:

Число e и натуральные логарифмы. Второй замечательный предел

Рассмотрим логарифмическую функцию Выбирая различные значения основания, будем вычислять тангенсы угла наклона касательной к графику этой функции в точке (см. график логарифмической функции в Лекции № 22).

Определение: Натуральным логарифмом называется логарифм, для которого основание выбрано так, чтобы тангенс угла наклона касательной к положительному направлению оси абсцисс (Ох) был равен 1.

Основанием натурального логарифма является число Это число трансцедентное, т.е. не является решением ни одного алгебраического уравнения. Установим связь между натуральными и десятичными логарифмами:

Определение: Вторым замечательным пределом называется предельное равенство (первая форма)

(вторая форма).

Замечание: Первая форма второго замечательного предела переходит во вторую с помощью замены с учетом теоремы о связи бесконечно большой функции с бесконечно малой функцией.

Замечание: Наличие неопределенности указывает на второй замечательный предел, т.е. если пределы функций что указывает на второй замечательный предел.

Пример:

Найти

Решение:

При подстановке предельного значения переменной х не имеем неопределенности

— не второй замечательный предел.

Пример:

Найти lim

Решение:

(роль функции играет выражение возведем круглую скобку в эту степень, а за квадратной скобкой возведем в обратную степень для тождественности проводимых преобразований, получим) =

Пример:

Найти

Решение:

При подстановке предельного значения переменной х имеем неопределенность Проведём преобразование подлимитной функции:

(вторая форма второго замечательного предела, преобразуем данное выражение под вид второго замечательного предела)= = (роль функции играет выражение (2-2х))=

Сравнение бесконечно малых функций

Сравнить две бесконечно малые функции и означает вычислить предел

Определение: Если предел К не существует, то бесконечно малые функции и называются несравнимыми.

Пример:

Пусть — две бесконечно малые функции при Доказать, что эти бесконечно малые функции несравнимые.

Решение:

Для доказательства вычислим предел -данный предел не существует, так как нельзя указать предельное значение для подлимитной функции cosx на бесконечности.

Определение: Если предел К равен нулю, то бесконечно малая функция называется бесконечно малой функцией более высокого порядка малости, чем бесконечно малая функция

Пример:

Пусть — две бесконечно малые функции при Доказать, что бесконечно малая функция является бесконечно малой функцией более высокого порядка малости, чем бесконечно малая функция

Решение:

Для доказательства вычислим предел Следовательно, бесконечно малая функция является бесконечно малой функцией более высокого порядка малости, чем бесконечно малая функция при

Определение: Если предел К равен то бесконечно малая функция называется бесконечно малой функцией более низкого порядка малости, чем бесконечно малая функция

Пример:

Пусть — две бесконечно малые функции при Доказать, что бесконечно малая функция является бесконечно малой функцией более низкого порядка малости, чем бесконечно малая функция

Решение:

Для доказательства вычислим предел

Следовательно, бесконечно малая функция является бесконечно малой функцией более низкого порядка малости, чем бесконечно малая функция

Определение: Если предел К равен конечному числу то бесконечно малые функции называются бесконечно малыми функциями одного порядка малости.

Пример:

Пусть — две бесконечно малые функции при Доказать, что бесконечно малые функции являются бесконечно малыми функциями одного порядка малости.

Решение:

Для доказательства вычислим предел

Следовательно, бесконечно малые функции являются бесконечно малыми функциями одного порядка малости при

Определение: Если предел К равен 1, то бесконечно малые функции а(х) и Д(х) называются эквивалентными.

Пример:

Пусть — две бесконечно малые функции при Доказать, что бесконечно малые функции являются эквивалентными.

Решение:

Вычислим предел Следовательно, бесконечно малые функции являются эквивалентными при Рассмотрим признак эквивалентности бесконечно малых функций.

Теорема: Для того чтобы бесконечно малые функции были эквивалентными, необходимо и достаточно, чтобы разность бесконечно малых функций была бесконечно малой функцией более высокого порядка малости, чем бесконечно малые функции .

Доказательство:

1. Необходимость. Пусть бесконечно малая функция является бесконечно малой функцией более высокого порядка малости, чем бесконечно малые функции т.е. пределы Докажем, что бесконечно малые функции эквивалентны. Преобразуем первый из этих пределов:

Отсюда следует, что т.е. бесконечно малые функции эквивалентны. Аналогично преобразуется второй пре- дел.

2. Достаточность. Пусть бесконечно малые функции являются эквивалентными, т.е. Докажем, что разность двух бесконечно малых функций является бесконечно малой функцией более высокого порядка малости, чем бесконечно малые функции Преобразуем данный предел следующим образом: Отсюда следует, что функция является бесконечно малой функцией более высокого порядка малости, чем бесконечно малые функции Аналогично доказывается, что функция является бесконечно малой функцией более высокого порядка малости, чем бесконечно малые функции

Замечание: При вычислениях одна бесконечно малая функция может быть заменена на эквивалентную бесконечно малую функцию. Например, функции эквивалентны функции х при

Замечательные пределы

Первый замечательный предел

Предел отношения синуса бесконечно малой дуги к самой дуге, выраженной в радианах, равен единице:

Следовательно,

Пример №25

Найти

Решение:

Применим первый замечательный предел:

Второй замечательный предел

Числом е называется предел функции

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник