Что это значит в алгебре

Наглядный пример неравенства изображен на картинке ниже. Слева видим три фигуры, а справа — четыре. При этом мы знаем, что три не равно четырем или еще так: три меньше четырех.

Урок в школе зачастую проходит перед учебником, тетрадью и доской. Дома же можно использовать компьютер и некоторые задания выполнять в онлайн-формате. Как найти знаки на клавиатуре? Ответ на картинке:

Типы неравенств

Источник

Алгебра

А́лгебра (от араб. الجبر ‎‎, «аль-джабр» — восполнение [1] ) — раздел математики, который можно грубо охарактеризовать как обобщение и расширение арифметики. Слово «алгебра» также употребляется в названиях различных алгебраических систем. В более широком смысле под алгеброй понимают раздел математики, посвящённый изучению операций над элементами множества произвольной природы, обобщающий обычные операции сложения и умножения чисел.

Алгебра — это наука, изучающая алгебраические системы с точностью до изоморфизма.

Алгебраическая система — упорядоченная пара множеств . Первое множество () — элементы какой либо природы (числа, понятия, буквы). Второе множество () — операции над первым множеством (сложение, умножение, возведение в степень). Примеры: группа, кольцо, поле.

Содержание

История

Истоки алгебры уходят к временам глубокой древности. Ещё 4000 лет назад вавилонские учёные могли решать квадратные уравнения. Тогда никаких обозначений не было, и уравнения записывались в словесной форме. Первые обозначения появились в Древней Греции благодаря учёному Диофанту. Неизвестное число он назвал «ἀριθμός», вторую степень неизвестного — «δύναμις», третью «κύβος», четвёртую — «дюнамодюнамис», пятую — «дюнамокюбос», шестую — «кюбоккюбос». Все эти величины он обозначал сокращениями (ар, дю, кю, ддю, дкю, ккю). Ни вавилоняне, ни греки не знали и не признавали отрицательные числа.

За 2000 лет до нашего времени китайские учёные решали уравнения первой степени и их системы, а также квадратные уравнения. Они уже знали отрицательные и иррациональные числа. Поскольку в китайском языке каждый символ обозначает понятие, то сокращений не было. В 13 веке китайцы открыли закон образования биномиальных коэффициентов, ныне известный как «треугольник Паскаля». В Европе он был открыт лишь 250 лет спустя. [2]

В 12 веке алгебра попала в Европу. С этого времени начинается её бурное развитие. Были открыты способы решения уравнений 3 и 4 степеней. Распространения получили отрицательные и комплексные числа. Было доказано, что любое уравнение выше 4 степени нельзя решить алгебраическим способом.

Вплоть до второй половины XX века практическое применение алгебры ограничивалось, в основном, решением алгебраических уравнений и систем уравнений с несколькими переменными. Во второй половине XX века началось бурное развитие ряда новых отраслей техники. Появились электронно-вычислительные машины, устройства для хранения, переработки и передачи информации, системы наблюдения типа радара. Проектирование новых видов техники и их использование немыслимо без применения современной алгебры. Так, электронно-вычислительные машины устроены по принципу конечных автоматов. Для проектирования электронно-вычислительных машин и электронных схем используются методы булевой алгебры. Современные языки программирования для ЭВМ основаны на принципах теории алгоритмов. Теория множеств используется в системах компьютерного поиска и хранения информации. Теория категорий используется в задачах распознавания образов, определении семантики языков программирования, и других практических задачах. Кодирование и декодирование информации производится методами теории групп. Теория рекуррентных последовательностей используется в работе радаров. Экономические расчеты невозможны без использования теории графов. Математическое моделирование широко использует все разделы алгебры.

Классификация

Алгебру можно грубо разделить на следующие категории:

В некоторых напралениях углублённого изучения, аксиоматические алгебраические системы, такие как группы, кольца, поля и алгебры над полем на присутствие геометрических структур (метрик и топологий), совместимых с алгебраическими структурами. Список некоторых разделов функционального анализа:

Элементарная алгебра

Элементарная алгебра — раздел алгебры, который изучает самые базовые понятия. Обычно изучается после изучения основных понятий арифметики. В арифметике изучаются числа и простейшие (+, −, ×, ÷) действия с ними. В алгебре числа заменяются на переменные (a,b,c,x,y и так далее). Такой подход полезен, потому что:

Источник

Значение слова «алгебра»

[Лат. algebra из араб.]

Источник (печатная версия): Словарь русского языка: В 4-х т. / РАН, Ин-т лингвистич. исследований; Под ред. А. П. Евгеньевой. — 4-е изд., стер. — М.: Рус. яз.; Полиграфресурсы, 1999; (электронная версия): Фундаментальная электронная библиотека

А’ЛГЕБРА, ы, мн. нет, ж. [от араб.]. Отдел математики, часть математического анализа (см. анализ).

Источник: «Толковый словарь русского языка» под редакцией Д. Н. Ушакова (1935-1940); (электронная версия): Фундаментальная электронная библиотека

а́лгебра

1. раздел математики, посвящённый изучению операций над элементами множества произвольной природы, обобщающих обычные операции сложения и умножения чисел

2. то же, что элементарная алгебра, раздел алгебры [1], охватывающий свойства операций с вещественными и комплексными числами, а также правила тождественных преобразований математических выражений и уравнений с использованием символов, обозначающих такие числа, и элементарных функций

3. тип алгебраических структур; множество из каких-либо объектов, над элементами которого определены некоторые операции, являющиеся, как правило, обобщением сложения и умножения

4. книжн. сложная система навыков, знаний, методов в какой-либо области ◆ Нужны объективные методы оценки эффективности производств, включающие в себя не только арифметику, но и социальную алгебру нашей действительности. Марина Наумова, «Рыба ищет где глубже», 2001 г. ◆ Очень грубый подсчёт показывает абсолютное преобладание тех, кто может выиграть от дерегулирования занятости. Почему тогда реформы в этой сфере остаются столь сложными с политической точки зрения? Почему аргумент от простой арифметики в их поддержку недостаточен, а необходима хитроумная алгебра политических комбинаций? Владимир Гимпельсон, «Пора дерегулировать?», 2003 г.

Делаем Карту слов лучше вместе

Привет! Меня зовут Лампобот, я компьютерная программа, которая помогает делать Карту слов. Я отлично умею считать, но пока плохо понимаю, как устроен ваш мир. Помоги мне разобраться!

Спасибо! Я обязательно научусь отличать широко распространённые слова от узкоспециальных.

Насколько понятно значение слова директива (существительное):

Источник

Что такое функция?

7 класс, 11 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Понятие функции

Определение функции можно сформулировать по-разному. Рассмотрим несколько вариантов, чтобы усвоить наверняка.

1. Функция — это взаимосвязь между величинами, то есть зависимость одной переменной величины от другой.

Знакомое обозначение y = f (x) как раз и выражает идею такой зависимости одной величины от другой. Величина у зависит от величины х по определенному закону, или правилу, которое обозначается f.

Вывод: меняя х (независимую переменную, или аргумент) — меняем значение у.

2. Функция — это определенное действие над переменной.

Значит, можно взять величину х, как-то над ней поколдовать — и получить соответствующую величину у.

В технической литературе можно встретить такие определения функции для устройств, в которых на вход подается х — на выходе получается у. Схематично это выглядит так:

В этом значении слово «функция» используют и в далеких от математики областях. Например, так говорят о функциях ноутбука, костей в организме или даже о функциях менеджера в компании. В каждом перечисленном случае речь идет именно о неких действиях.

3. Функция — это соответствие между двумя множествами, причем каждому элементу первого множества соответствует один элемент второго множества. Это самое популярное определение в учебниках по математике.

Например, в функции у = 2х каждому действительному числу х ставит в соответствие число в два раза большее, чем х.

Область определения — множество х, то есть область допустимых значений выражения, которое записано в формуле.

Например, для функции вида

область определения выглядит так:

И записать это можно так: D (y): х ≠ 0.

Область значений — множество у, то есть это значения, которые может принимать функция.

Например, естественная область значений функции y = x2 — это все числа больше либо равные нулю. Можно записать вот так: Е (у): у ≥ 0.

Для примера рассмотрим соответствие между двумя множествами — человек-владелец странички в инстаграм и сама страничка, у которой есть владелец. Такое соответствие можно назвать взаимно-однозначным — у человека есть страничка, и это можно проверить. И наоборот — по аккаунту в инстаграм можно проверить, кто им владеет.

В математике тоже есть такие взаимно-однозначные функции. Например, линейная функция у = 3х +2. Каждому значению х соответствует одно и только одно значение у. И наоборот — зная у, можно сразу найти х.

Источник

Как легко понять знаки Σ и П с помощью программирования

Для тех, кто подзабыл матешу

Вот говорят, что если ты не закончил Физтех, ФПМ или Бауманку, тебе в программировании делать нечего. Почему так говорят? Потому что, дескать, ты не учил сложную математику, а в программировании без неё никуда.

Это всё чушь, конечно. Если вы плохо знаете математику, вы можете быть блестящим разработчиком. Вы вряд ли напишете драйверы для видеокарты, но вы запросто сделаете мобильное приложение или веб-сервис. А это — основные деньги в этой среде.

Но всё же, чтобы получить некоторое интеллектуальное превосходство, вот вам пара примеров из страшного мира математики. Пусть они покажут вам, что не все закорючки в математике — это ад и ужас. Вот две нестрашные закорючки.

Знак Σ — сумма

Когда математикам нужно сложить несколько чисел подряд, они иногда пишут так:

Σ (читается «сигма») — это знак алгебраической суммы, который означает, что нам нужно сложить все числа от нижнего до верхнего, а перед этим сделать с ними то, что написано после знака Σ.

На картинке выше написано следующее: «посчитать сумму всех чисел от 5 до 15, умноженных на два». То есть:

Давайте для закрепления ещё один пример. На картинке ниже будет сказано «Найди сумму квадратов чисел от 5 до 10». То есть «возьми все числа от 5 до 10, каждое из них возведи в квадрат, а результаты сложи».

Но мы с вами как программисты видим, что здесь есть повторяющиеся действия: мы много раз складываем числа, которые меняются по одному и тому же правилу. А раз мы знаем это правило и знаем, сколько раз надо его применить, то это легко превратить в цикл. Для наглядности мы показали, какие параметры в Σ за что отвечают в цикле:

Произведение П

С произведением в математике работает точно такое же правило, только мы не складываем все элементы, а перемножаем их друг на друга:

А если это перевести в цикл, то алгоритм получится почти такой же, что и в сложении:

Что дальше

Сумма и произведение — простые математические операции, пусть они и обозначаются страшными символами. Впереди нас ждут интегралы, дифференциалы, приращения и бесконечные ряды. С ними тоже всё не так сложно, как кажется на первый взгляд.

Источник