что называют моментом импульса относительно неподвижной точки

Электронная библиотека

Моментом импульса материальной точки относительно неподвижной точки ( ) называется физическая величина, определяемая векторным произведением:

Модуль вектора момента импульса равен:

где – угол между векторами и ; – плечо вектора относительно точки O.

Моментом импульса относительно неподвижной оси (z) называется скалярная величина ( ), равная проекции на эту ось вектора момента импульса, определенного относительно произвольной точки (О) данной оси. Момент импульса ( ) не зависит от положения точки О на оси z.

Момент импульса твердого тела относительно оси есть сумма моментов импульса отдельных частиц:

Таким образом, момент импульса твердого тела относительно оси равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость.

Продифференцировав уравнение (4.1) по времени получим:

Это выражение есть еще одна форма уравнения динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси: производная момента импульса твердого тела относительно оси равна моменту сил относительно той же оси. Физический смысл этого выражения: скорость изменения момента импульса равна моменту сил.

В векторной форме это можно записать так:

Выражение (4.2) представляет собой закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы не изменяется с течением времени. Закон сохранения момента импульса – фундаментальный закон природы.

Он связан со свойством симметрии пространства – его изотропностью, то есть с инвариантностью физических законов относительно выбора направления осей координат системы отсчета. Сопоставим основные величины и уравнения, определяющие вращение тела вокруг неподвижной оси и его поступательное движение:

Источник

Момент импульса. Закон сохранения момента импульса

Моментом импульса материальной точкиА относительно неподвижной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произведением

;

Модуль момента импульса:

— импульс материальной точки.

— псевдовектор, его направление определяется по правилу левой руки.

Моментом импульса твердого тела относительно неподвижной оси Z называется скалярная величина равная проекции на эту ось вектора момента импульса, определенного относительно произвольной точки O данной оси. Значение момента импульса не зависит от положения точки O на оси Z.

Момент импульса твердого тела относительно оси есть сумма моментов импульса отдельных частиц:

Продифференцируем по dt

— основное уравнение динамики вращательного движения.

Вообще выполняется векторное равенство

В замкнутой системе момент внешних сил равен нулю

Закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы сохраняется, т.е. не изменяется с течением времени

§5 Величины, характеризующие поступательное и вращательное движение и связь между ними:

Лабораторная работа № 3
ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНОВ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Цель работы. Определение момента инерции системы тел, имеющих неподвижную ось вращения.

Краткая теория

Во вращательном движении большое значение имеет физическая величина, называемая моментом инерции тела. Эта величина играет такую же роль, как и масса при поступательном движении. Другими словами, момент инерции тела является мерой его инертности во вращательном движении, т.е. характеризует способность тела сохранять угловую скорость.

Всякое тело можно рассматривать как совокупность материальных точек. Тело считается абсолютно твердым, если расстояния между материальными точками, составляющими тело, остаются все время постоянными.

Пусть абсолютно твердое тело произвольной формы вращается вокруг оси, проходящей через точку Оперпендикулярно плоскости чертежа, под действием силы (рис.1). Разложим силу на взаимно перпендикулярные составляющие F и .

Сила , линия действия которой перпендикулярна оси вращения и проходит через ось, не вызывает вращения тела. Сила оказывает воздействие только на опоры оси вращения.

Вращательное движение тела вызывает сила F, являющаяся касательной к окружности, описываемой точкой приложения силы. Сила F называется вращающей силой. Действие силы F зависит не только от ее величины, но и от расстояния от точки приложения силы до осиО вращения.

МоментомМвращающей силы (вращающим моментом) называется произведение вращающей силы F на радиус окружности , описываемой точкой приложения силы,

. (1)

Из рис. 1 видно, что

, тогда

.

(2)

Учитывая, что , можно записать

,

(3)

где h— плечо силы

.

Плечом силы называется наименьшее расстояние от линии действия силы до оси вращения.

Мерой инертности тел при поступательном движении является их масса. Инертность тел при вращательном движении зависит не только от массы тела, но и от распределения ее в пространстве относительно оси вращения. Мера инертности тела при вращении характеризуется моментом инерции тела относительно оси вращения.

Моментом инерции материальной точки относительно оси вращения называют величину, равную произведению массы точки на квадрат расстояния её от оси вращения,

.

(4)

Моментом инерции тела относительно оси вращения называют сумму моментов инерции материальных точек, из которых состоит тело

.

(5)

Момент инерции сплошного тела определяется интегрированием по всему объему тела.

Установим взаимосвязь между вращающим моментом М и моментом инерции тел J.

Под действием силы материальная точка начинает вращаться с некоторым угловым ускорением b. Согласно второму закону Ньютона

. (6)

Умножив (6) на и учитывая, что , запишем

.

(7)

Но

, а

. Подставляя эти значения в (7), получим

. (8)

Просуммировав (8) по всем материальным точкам, составляющим тело, получим

. (9)

Выражение (9) является основным законом динамики вращательного движения.

Момент силы М и угловое ускорение b- величины векторные. Оба вектора направлены вдоль оси вращения в одну сторону и это направление определяется по правилу буравчика (правого винта).

Источник

Импульс тела, закон сохранения импульса

теория по физике 🧲 законы сохранения

Импульс тела — векторная физическая величина, обозначаемая как p и равная произведению массы тела на его скорость:

Единица измерения импульса — килограмм на метр в секунду (кг∙м/с).

Направление импульса всегда совпадает с направлением скорости ( p ↑↓ v ), так как масса — всегда положительная величина (m > 0).

Пример №1. Определить импульс пули массой 10 г, вылетевшей со скоростью 300 м/с. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Импульс пули есть произведение массы на ускорение. Прежде чем выполнить вычисления, нужно перевести единицы измерения в СИ:

p = mv = 0,01∙300 = 3 (кг∙м/с)

Относительный импульс

Относительный импульс — векторная физическая величина, равная произведению массы тела на относительную скорость:

p _1отн2— импульс первого тела относительно второго, m₁ — масса первого тела, v _1отн2 — скорость первого тела относительно второго, v ₁и v ₂ — скорости первого и второго тела соответственно в одной и той же системе отсчета.

Пример №2. Два автомобиля одинаковой массы (15 т) едут друг за другом по одной прямой. Первый — со скоростью 20 м/с, второй — со скоростью 15 м/с относительно Земли. Вычислите импульс первого автомобиля в системе отсчета, связанной со вторым автомобилем.

Сначала переведем единицы измерения в СИ:

Изменение импульса тела

∆ p — изменение импульса тела, p — конечный импульс тела, p ₀ — начальный импульс тела

Частные случаи определения изменения импульса тела

Абсолютно неупругий удар

Конечный импульс тела:

Модуль изменения импульса тела равен модулю его начального импульса:

Абсолютно упругий удар

Модули конечной и начальной скоростей равны:

Модули конечного и начального импульсов равны:

Модуль изменения импульса тела равен удвоенному модулю начального (конечного) импульса:

Пуля пробила стенку

Модуль изменения импульса тела равен разности модулей начального и конечного импульсов:

Радиус-вектор тела повернул на 180 градусов

Модуль изменения импульса тела равен удвоенному модулю начального (конечного) импульса:

Абсолютно упругое отражение от горизонтальной поверхности под углом α к нормали

Модули конечной и начальной скоростей равны:

Модули конечного и начального импульсов равны:

Угол падения равен углу отражения:

Модуль изменения импульса в этом случае определяется формулой:

Пример №3. Шайба абсолютно упруго ударилась о неподвижную стену. При этом направление движения шайбы изменилось на 90 градусов. Импульс шайбы перед ударом равен 1 кг∙м/с. Чему равен модуль изменения импульса шайбы в результате удара? Ответ округлите до десятых.

В данном случае 90 градусов и есть 2α (угол между векторами начального и конечного импульсов), в то время как α — это угол между вектором импульса и нормалью. Учтем, что при абсолютно упругом отражении модули конечного и начального импульсов равны.

Вычисляем:

Второй закон Ньютона в импульсном виде

Второй закон Ньютона говорит о том, что ускорение тела прямо пропорционально силе, действующей на него. Записывается он так:

Но ускорение определяется отношением разности конечной и начальной скоростей ко времени, в течение которого менялась скорость:

Подставим это выражение во второй закон Ньютона и получим:

F ∆t — импульс силы, ∆ p — изменение импульса тела

Пример №4. Тело движется по прямой в одном направлении. Под действием постоянной силы за 3 с импульс тела изменился на 6 кг∙м/с. Каков модуль силы?

Из формулы импульса силы выразим модуль силы:

Реактивное движение

Реактивное движение — это движение, которое происходит за счет отделения от тела с некоторой скоростью какой-либо его части. В отличие от других видов движения реактивное движение позволяет телу двигаться и тормозить в безвоздушном пространстве, достигать первой космической скорости.

Ракета представляет собой систему двух тел: оболочки массой M и топлива массой m. v — скорость выброса раскаленных газов. ∆m/∆t — расход реактивного топлива, V — скорость ракеты.

Второй закон Ньютона в импульсном виде:

Второй закон Ньютона для ракеты:

Пример №5. Космический корабль массой 3000 кг начал разгон в межпланетном пространстве, включив реактивный двигатель. Из сопла двигателя каждую секунду выбрасывается 3 кг горючего газа со скоростью 600 м/с. Какой будет скорость корабля через 20 секунд после разгона? Изменением массы корабля во время разгона пренебречь. Принять, что поле тяготения, в котором движется корабль, пренебрежимо мало.

Корабль начинает движение из состояния покоя. Поэтому скорость будет равна:

Выразим ускорение из второго закона Ньютона для ракеты:

Изменение импульса определяется произведением суммарной массы выброшенного горючего на скорость его выброса. Так как мы знаем, сколько выбрасывалось горючего каждую секунду, формула примет вид:

Отсюда ускорение равно:

Выразим формулу для скорости и сделаем вычисления:

Суммарный импульс системы тел

Суммарный импульс системы тел называется полным импульсом системы. Он равен векторной сумме импульсов всех тел, которые входят в эту систему:

Пример №6. Найти импульс системы, состоящей из двух тел. Векторы импульсов этих тел указаны на рисунке.

Между векторами прямой угол (его косинус равен нулю). Модуль первого вектора равен 4 кг∙м/с (т.к. занимает 2 клетки), а второго — 6 кг∙м/с (т.к. занимает 3 клетки). Отсюда:

Закон сохранения импульса

Левая часть выражения показывает векторную сумму импульсов системы, состоящей из двух тел, до их взаимодействия. Правая часть выражения показывает векторную сумму этой системы после взаимодействия тел, которые в нее входят.

Закон сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось

Если до и после столкновения скорости тел направлены вдоль горизонтальной оси, то закон сохранения импульса следует записывать в проекциях на ось ОХ. Нельзя забывать, что знак проекции вектора:

При неупругом столкновении двух тел, движущихся навстречу друг другу, скорость совместного движения будет направлена в ту сторону, куда до столкновения двигалось тело с большим импульсом.

Частные случаи закона сохранения импульса (в проекциях на горизонтальную ось)

Сохранение проекции импульса

Пример №7. На полу лежит шар массой 2 кг. С ним сталкивается шарик массой 1 кг со скоростью 2 м/с. Определить скорость первого шара при условии, что столкновение было неупругим.

Если столкновение было неупругим, скорости первого и второго тел после столкновения будут одинаковыми, так как они продолжат двигаться совместно. Используем для вычислений следующую формулу:

Отсюда скорость равна:

Импульс частицы до столкновения равен − p ₁, а после столкновения равен − p ₂, причём p₁ = p, p₂ = 2p, − p ₁⊥ − p ₂. Изменение импульса частицы при столкновении Δ − p равняется по модулю:

Алгоритм решения

Решение

Запишем исходные данные:

Δ p = √ p 2 1 + p 2 2

Подставим известные данные:

Δ p = √ p 2 + ( 2 p ) 2 = √ 5 p 2 = p √ 5

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

На рисунке приведён график зависимости проекции импульса на ось Ox тела, движущегося по прямой, от времени. Как двигалось тело в интервалах времени 0–1 и 1–2?

а) в интервале 0–1 не двигалось, а в интервале 1–2 двигалось равномерно

б) в интервале 0–1 двигалось равномерно, а в интервале 1–2 двигалось равноускорено

в) в интервалах 0–1 и 1–2 двигалось равномерно

г) в интервалах 0–1 и 1–2 двигалось равноускорено

Источник

Что называют моментом импульса относительно неподвижной точки

Перейдем к выводу закона сохранения, возникновение которого связано с изотропией пространства.

Эта изотропия означает, что механические свойства замкнутой системы не меняются при любом повороте системы как целого в пространстве. В соответствии с этим рассмотрим бесконечно малый поворот системы и потребуем, чтобы ее функция Лагранжа при этом не изменилась.

Введем вектор бесконечно малого поворота, абсолютная величина которого равна углу поворота, а направление совпадает с осью поворота (причем так, что направление поворота отвечает правилу винта по отношению к направлению ).

Найдем, прежде всего, чему равно при таком повороте приращение радиус-вектора, проведенного из общего начала координат (расположенного на оси вращения) к какой-либо из материальных точек поворачиваемой системы.

Линейное перемещение конца радиус-вектора связано с углом соотношением

(рис. 5). Направление же вектора перпендикулярно к плоскости, проходящей через Поэтому ясно, что

При повороте системы меняется направление не только радиус-векторов, но и скоростей всех частиц, причем все векторы преобразуются по одинаковому закону. Поэтому приращение скорости относительно неподвижной системы координат

Подставив эти выражения в условие неизменяемости функции Лагранжа при повороте

заменяем производные

или, производя циклическую перестановку множителей и вынося за знак суммы:

Ввиду произвольности отсюда следует, что

т. е. мы приходим к выводу, что при движении замкнутой системы сохраняется векторная величина

называемая моментом импульса (или просто моментом> системы.

Аддитивность этой величины очевидна, причем, как и у импульса, она не зависит от наличия или отсутствия взаимодействия между частицами.

Этим исчерпываются аддитивные интегралы движения. Таким образом, всякая замкнутая система имеет всего семь таких интегралов: энергия и по три компоненты векторов импульса и момента.

Поскольку в определение момента входят радиус-векторы частиц, то его значение, вообще говоря, зависит от выбора начала координат. Радиус-векторы и та одной и той же точки по отношению к началам координат, смещенным на вектор а, связаны соотношением а. Поэтому имеем:

Из этой формулы видно, что только в том случае, когда система как целое покоится (т. е. ее момент не зависит от выбора начала координат. На законе сохранения момента эта неопределенность его значения, разумеется, не сказывается, так как у замкнутой системы импульс тоже сохраняется.

Выведем также формулу, связывающую значения момента импульса в двух различных инерциальных системах отсчета К и К’, из которых вторая движется относительно первой со скоростью V. Будем считать, что начала координат в системах К и К в данный момент времени совпадают. Тогда радиус-векторы частиц в обеих системах одинаковы, скорости же связаны посредством . Поэтому имеем:

Первая сумма в правой стороне равенства есть момент М в системе введя во вторую сумму радиус-вектор центра инерции согласно (8,3), получаем:

Эта формула определяет закон преобразования момента импульса при переходе от одной системы отсчета к другой, подобно тому, как для импульса и энергии аналогичные законы даются формулами (8,1) и (8,5).

Если система отсчета К есть та, в которой данная механическая система покоится как целое, то V есть скорость центра инерции последней, а — ее полный импульс Р (относительно К).

Другими словами, момент импульса М механической системы складывается из ее «собственного момента» относительно системы отсчета, в которой она покоится, и момента [RP], связанного с ее движением как целого.

Хотя закон сохранения всех трех компонент момента (относительно произвольного начала координат) имеет место только для замкнутой системы, в более ограниченном виде этот закон может иметь место и для систем, находящихся во внешнем поле. Из приведенного выше вывода очевидно, что всегда сохраняется проекция момента на такую ось, относительно которой данное поле симметрично, и потому механические свойства системы не меняются при любом повороте вокруг этой оси; при этом, конечно, момент должен быть определен относительно какой-нибудь точки (начала координат), лежащей на этой же оси.

Наиболее важным случаем такого рода является поле с центральной симметрией, т. е. поле, в котором потенциальная энергия зависит только от расстояния до некоторой определенной точки (центра) в пространстве. Очевидно, что при движении в таком поле сохраняется проекция момента на любую ось, проходящую через центр. Другими словами, сохраняется вектор М момента, но определенного не относительно произвольной точки пространства, а относительно центра поля.

Другой пример: однородное поле вдоль оси z, в котором сохраняется проекция момента, причем начало координат может быть выбрано произвольным образом.

Отметим, что проекция момента на какую-либо ось (назовем ее ) может быть найдена дифференцированием функции Лагранжа по формуле

где координата есть угол поворота вокруг оси z. Это ясно уже из характера изложенного выше вывода закона сохранения момента, но в том же можно убедиться и прямым вычислением. В цилиндрических координатах имеем (подставляя

С другой стороны, функция Лагранжа в этих переменных имеет вид

и ее подстановка в (9,7) приводит к тому же выражению (9,8).

Задачи

1. Найти выражения для декартовых компонент и абсолютной величины момента импульса частицы в цилиндрических координатах .

2. То же в сферических координатах

3. Какие компоненты импульса Р и момента М сохраняются при движении в следующих полях:

а) поле бесконечной однородной плоскости.

Ответ: (бесконечная плоскость — плоскость д).

б) Поле бесконечного однородного цилиндра.

Ответ: (ось цилиндра — ось z).

в) Поле бесконечной однородной призмы.

Ответ: (ребра призмы параллельны оси z).

Ответ: (точки находятся на оси z).

д) Поле бесконечной однородной полуплоскости.

Ответ: (бесконечная полуплоскость — часть плоскости х, у, ограниченная осью у).

е) Поле однородного конуса.

Ответ: (ось конуса — ось z).

ж) Поле однородного кругового тора.

Ответ: (ось тора — ось z).

а) Поле бесконечной однородной цилиндрической винтовой линии. Решение. Функция Лагранжа не меняется при повороте вокруг оси еинта (ось z) на угол и одновременном переносе вдоль этой оси на расстояние ( — шаг винта). Поэтому

Источник