что называют точечной оценкой

Точечная оценка

То́чечная оце́нка в математической статистике — это число, вычисляемое на основе наблюдений, предположительно близкое к оцениваемому параметру.

Содержание

Определение

Пусть — случайная выборка из распределения, зависящего от параметра . Тогда статистику , принимающую значения в , называют точечной оценкой параметра

Замечание

Формально статистика может не иметь ничего общего с интересующим нас значением параметра . Её полезность для получения практически приемлемых оценок вытекает из дополнительных свойств, которыми она обладает или не обладает.

Свойства точечных оценок

Надо отметить, что проверить на опыте сходимость «почти наверное» не представляется возможным, поэтому с точки зрения прикладной статистики имеет смысл говорить только о сходимости по вероятности.

Литература

Полезное

Смотреть что такое «Точечная оценка» в других словарях:

точечная оценка — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN point estimate … Справочник технического переводчика

ТОЧЕЧНАЯ ОЦЕНКА — статистическая оценка, значения к рой суть точки во множестве значений оцениваемой величины. Пусть по реализации случайного вектора принимающего значения в выборочном пространстве надлежит оценить неизвестный параметр (или нек рую функцию Тогда… … Математическая энциклопедия

Оценка (значения) — Оценка (в философии) способ установления значимости чего либо для действующего и познающего субъекта. Оценка (педагогика) выраженное в числе мнение преподавателя (другого проверяющего лица) об уровне знаний ученика (качестве его работы) Оценка (в … Википедия

ОЦЕНКА СТАТИСТИЧЕСКАЯ — функция от случайных величин, применяемая для оценки неизвестных параметров теоретич. распределения вероятностей. Методы теории О. с. служат основой современной теории ошибок; обычно в качестве неизвестных параметров выступают измеряемые физич.… … Математическая энциклопедия

Оценка максимального правдоподобия — Метод максимального правдоподобия в математической статистике это метод оценивания неизвестного параметра путём максимизации функции правдоподобия. (Фишер 1912 г.[1]) Содержание 1 Определение 2 Замечание 3 Примеры … Википедия

оценка — [IEV number 151 16 11] оценка Понятие математической статистики, эконометрики, метрологии, квалиметрии и других дисциплин, по разному определяемое в каждой из них. С помощью экономических О. характеризуется и соизмеряется эффективность различных… … Справочник технического переводчика

Оценка — [estimation] понятие математической статистики, эконометрики, метрологии, квалиметрии и других дисциплин, по разному определяемое в каждой из них. С помощью экономических О. характеризуется и соизмеряется эффективность различных ресурсов (см.… … Экономико-математический словарь

ОЦЕНКА, СТАТИСТИЧЕСКАЯ — функция выборочных наблюдений для приближенной замены параметра распределения (или самого распределения). Например, для нормального распределения случайной величины средняя арифметическая – оценка математического ожидания. Точечная и интервальная … Большой экономический словарь

ОЦЕНКА ТОЧЕЧНАЯ — СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ … Социология: Энциклопедия

Состоятельная оценка — в математической статистике это точечная оценка, сходящаяся по вероятности к оцениваемому параметру. Содержание 1 Определения 2 Свойства 3 … Википедия

Источник

Статистическое оценивание

Материал из MachineLearning.

Содержание

Постановка задачи

Различают два основных типа оценок: точечные оценки и доверительные интервалы.

Точечное оценивание

К общим методам построения точечных оценок параметров относятся: метод максимального правдоподобия, метод моментов, метод квантилей.

Ниже приводятся некоторые свойства, которыми могут обладать или не обладать точечные оценки.

Состоятельность

Когда употребляют просто термин состоятельность, то обычно имеется в виду слабая состоятельность, т.е. сходимость по вероятности.

Условие состоятельности является практически обязательным для всех используемых на практике оценок. Несостоятельные оценки используются крайне редко.

Несмещенность и асимптотическая несмещенность

Оценка параметра называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно истинному значению оцениваемого параметра:

Более слабым условием является асимптотическая несмещенность, которая означает, что математическое ожидание оценки сходится к истинному значению параметра с ростом объема выборки:

Сравнение оценок и эффективность

Для сравнения между собой различных оценок одного и того же параметра применяют следующий метод: выбирают некоторую функцию риска, которая измеряет отклонение оценки от истинного значения параметра, и лучшей считают ту, для которой эта функция принимает меньшее значение.

Чаще всего в качестве функции риска рассматривают математическое ожидание квадрата отклонения оценки от истинного значения

Существует нижняя граница на данную функцию риска, называемая неравенство Крамера-Рао.

(Несмещенные) оценки, для которых достигается эта нижняя граница (т.е. имеющие минимально возможную дисперсию), называются эффективными. Однако существование эффективной оценки есть довольно сильное требование на задачу, которое имеет место далеко не всегда.

Достаточные статистики

(Несмещенная) эффективная оценка параметра всегда является достаточной статистикой.

Доверительные интервалы

Другим типом оценок статистических параметров являются доверительные интервалы.

Доверительные интервалы используются, когда нам нужны надежные границы, в которые попадает значение оцениваемого параметра.

Часто вместе с точечной оценкой параметра строят доверительный интервал, середина которого равна этой оценке. Его ширина является наглядной характеристикой того, насколько точна может быть данная точечная оценка.

Иногда бывает наоборот: естественным образом строится некоторый доверительный интервал, а в качестве точечной оценки параметра рассматривают его середину.

Источник

Точечная оценка и ее свойства

Когда оценка определяется одним числом, она называется точечной оценкой. Точечная оценка, как функция от выборки, является случайной величиной и меняется от выборки к выборке при повторном эксперименте.
К точечным оценкам предъявляют требования, которым они должны удовлетворять, чтобы хоть в каком-то смысле быть «доброкачественными». Это несмещённость, эффективность и состоятельность.

Интервальные оценки определяются двумя числами – концами интервала, который накрывает оцениваемый параметр. В отличие от точечных оценок, которые не дают представления о том, как далеко от них может находиться оцениваемый параметр, интервальные оценки позволяют установить точность и надёжность оценок.

В качестве точечных оценок математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения используют выборочные характеристики соответственно выборочное среднее, выборочная дисперсия и выборочное среднее квадратическое отклонение.

Выборочное среднее арифметическое является несмещенной оценкой математического ожидания, а выборочная дисперсия — смещенная оценка генеральной дисперсии D. Несмещенной оценкой генеральной дисперсии является оценка

Это означает, что эффективная оценка обладает минимальным рассеиванием относительно истинного значения параметра. Заметим, что эффективная оценка существует не всегда, но из двух оценок обычно можно выбрать более эффективную, т.е. с меньшей дисперсией. Например, для неизвестного параметра a нормальной генеральной совокупности N(a,σ) в качестве несмещенной оценки можно взять и выборочное среднее арифметическое, и выборочную медиану. Но дисперсия выборочной медианы примерно в 1.6 раза больше, чем дисперсия среднего арифметического. Поэтому более эффективной оценкой является выборочное среднее арифметическое.

Источник

Статистические оценки параметров генеральной совокупности

Определение статистической оценки. Точечные статистические оценки: смещенные и несмещенные, эффективные и состоятельные. Интервальные статистические оценки. Точность и надежность оценки; определение доверительного интервала; построение доверительных интервалов для средней при известном и неизвестном среднеквадратическом отклонении.

Определение статистической оценки

Точечные статистические оценки

Использование статистической оценки, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру, приводит к систематическим ошибкам. Поэтому нужно потребовать, чтобы математическое ожидание оценки было равно оцениваемому параметру. Соблюдение требования устраняет систематические ошибки.

Эффективной называют статистическую оценку, которая (при заданном объеме выборки ) имеет наименьшую возможную дисперсию. При рассмотрении выборок большого объема к статистическим оценкам предъявляется требование состоятельности.

Состоятельной называют статистическую оценку, которая при стремится по вероятности к оцениваемому параметру. Например, если дисперсия несмещенной оценки при стремится к нулю, то такая оценка оказывается также состоятельной.

Рассмотрим вопрос о том, какие выборочные характеристики лучше всего в смысле несмещённости, эффективности и состоятельности оценивают генеральную среднюю и дисперсию.

Пусть изучается дискретная генеральная совокупность относительно количественного признака. Генеральной средней называется среднее арифметическое значений признака генеральной совокупности. Она вычисляется по формуле

где — значения признака генеральной совокупности объема ; — соответствующие частоты, причем

где — значения, признака в выборочной совокупности объема ; — соответствующие частоты, причем

Если дисперсии двух совокупностей одинаковы, то близость выборочных средних к генеральным не зависит от отношения объема выборки к объему генеральной совокупности. Она зависит- от объема выборки: чем больше объем выборки, тем меньше выборочная средняя отличается от генеральной.

Интервальные оценки

Наряду с точечным оцениванием, статистическая теория оценивания параметров занимается вопросами интервального оценивания. Задачу интервального оценивания можно сформулировать так: по данным выборки построить числовой интервал, относительно которого с заранее выбранной вероятностью можно сказать, что внутри него находится оцениваемый параметр. Интервальное оценивание особенно необходимо при малом количестве наблюдений, когда точечная оценка малонадежна.

Доверительный интервал для генеральной средней при известном значении среднего квадратического отклонения и при условии, что случайная величина (количественный признак ) распределена нормально, задается выражением

где — наперед заданное число, близкое к единице, а значения функции приведены в таблице прил. 2.

Доверительный интервал для генеральной средней нормального распределения признака при неизвестном значении среднего квадратического отклонения задается выражением

Источник

Математическая статистика

Точечные оценки

Свойства точечных оценок

Пусть x₁. x_n – выборка наблюдений случайной величины X, имеющей распределение F_X(x). При проведении ряда статистических исследований вид функции распределения наблюдаемой случайной величины зачастую предполагается известным (например, случайная величина имеет нормальное или биномиальное распределение). Неизвестными же являются параметры этого распределения.

Одной из задач математической статистики является оценка неизвестных параметров распределения наблюдаемой случайной величины X по выборке x₁. x_n её наблюдений.

Параметром θ∈Θ распределения F_X(x) случайной величины X называется любая числовая характеристика этой случайной величины (математическое ожидание, дисперсия и т.п.) или любая константа, явно входящая в выражение для функции распределения F_X(x).

Напомним, что любая выборка наблюдений x₁. x_n является реализацией случайной выборки X₁. X_n. Статистикой Z в математической статистике называется произвольная функция случайной выборки, не зависящая от неизвестных параметров распределения:

В связи с тем, что статистика Z является функцией случайных аргументов, Z является случайной величиной. Для каждой реализации x₁. x_n случайной выборки X₁. X_n получим соответствующую ей реализацию z статистики Z:

называемую выборочным значением статистики Z.

Основные свойства точечных оценок.

1. Состоятельность (Consistency)

$\forall \varepsilon >0\ \ \ P\left( \left| <<<\tilde<\theta >>>_>-\theta \right|\ge \varepsilon \right)\to 0$,

3. Эффективность (Efficiency)

Для оценки параметра θ может быть предложено несколько несмещённых оценок. Вследствие несмещённости различные реализации этих оценок будут группироваться относительно их математического ожидания, равного θ, однако разброс этих значений может быть различным. Как известно, мерой разброса значений случайной величины относительно математического ожидания является её дисперсия.

Оценка параметра θ, имеющая минимально возможную дисперсию среди всех оценок, называется эффективной оценкой параметра θ. В математической статистике наряду с термином «эффективная оценка» используют и другие: «несмещённая оценка с минимальной дисперсией», «оптимальная оценка».

При выполнении условий регулярности каждый элемент независимой случайной выборки X₁. X_n вносит равный вклад в информацию Фишера I_n(θ), т.е.

где I(θ) – количество информации по Фишеру о параметре θ, содержащееся в одном выборочном наблюдении.

Величина информации по Фишеру зависит от вида распределения генеральной совокупности X. Так, выборки, полученные из генеральных совокупностей с разными распределениями (например, нормальным и биномиальным) будут содержать различное количество информации о неизвестных математическом ожидании или дисперсии.

Чем больше информации по Фишеру о параметре θ содержится в выборочных наблюдениях, тем меньший разброс имеют реализации эффективной оценки этого параметра, а следовательно, являются более точными.

Формально информация по Фишеру о параметре θ, содержащаяся в одном выборочном наблюдении из генеральной совокупности с функцией плотности распределения f_X(x, θ), рассчитывается по формуле

называется вкладом выборки.

Источник