что называют угловой скоростью
Угловая скорость
градус/с, оборот/с, оборот/мин
Углова́я ско́рость — векторная физическая величина, характеризующая скорость вращения тела. Вектор угловой скорости по величине равен углу поворота тела в единицу времени:
,
а направлен по оси вращения согласно правилу буравчика, то есть, в ту сторону, в которую ввинчивался бы буравчик с правой резьбой, если бы вращался в ту же сторону.
Единица измерения угловой скорости, принятая в системах СИ и СГС — радианы в секунду. (Примечание: радиан, как и любые единицы измерения угла, — физически безразмерен, поэтому физическая размерность угловой скорости — просто [1/секунда]). В технике также используются обороты в секунду, намного реже — градусы в секунду, грады в секунду. Пожалуй, чаще всего в технике используют обороты в минуту — это идёт с тех времён, когда частоту вращения тихоходных паровых машин определяли просто «вручную», подсчитывая число оборотов за единицу времени.
Вектор (мгновенной) скорости любой точки (абсолютно) твердого тела, вращающегося с угловой скоростью 
, определяется формулой:
где 
— радиус-вектор к данной точке из начала координат, расположенного на оси вращения тела, а квадратными скобками обозначено векторное произведение. Линейную скорость (совпадающую с модулем вектора скорости) точки на определенном расстоянии (радиусе) 
от оси вращения можно считать так: 
Если вместо радианов применять другие единицы углов, то в двух последних формулах появится множитель, не равный единице.
Связь с конечным поворотом в пространстве
См. также
Литература
Полезное
Смотреть что такое «Угловая скорость» в других словарях:
УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ — векторная величина, характеризующая быстроту вращения твёрдого тела. При равномерном вращении тела вокруг неподвижной оси численно его У. с. w=Dj/Dt, где Dj приращение угла поворота j за промежуток времени Dt, а в общем случае w=dj/dt. Вектор У.… … Физическая энциклопедия
УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ — УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ, скорость изменения угловой позиции предмета относительно фиксированной точки. Средняя величина угловой скорости w предмета, движущегося от угла q1 до угла q2 за время t выражается как (q2 q1)w)/t. Мгновенной угловой скоростью… … Научно-технический энциклопедический словарь
УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ — УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ, величина, характеризующая быстроту вращения твердого тела. При равномерном вращении тела вокруг неподвижной оси абсолютная величина его угловой скорости w=Dj/Dt, где Dj приращение угла поворота за промежуток времени Dt … Современная энциклопедия
угловая скорость — Кинематическая мера вращательного движения тела, выражаемая вектором, равным по модулю отношению элементарного угла поворота тела к элементарному промежутку времени, за который совершается этот поворот, и направленным вдоль мгновенной оси… … Справочник технического переводчика
угловая скорость — векторная величина, характеризующая быстроту вращения твердого тела. При равномерном вращении тела вокруг неподвижной оси абсолютная величина его угловой скорости ω = Δφ/Δt, где Δφ приращение угла поворота за промежуток времени Δt. * * * УГЛОВАЯ … Энциклопедический словарь
угловая скорость — kampinis greitis statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. angular speed; angular velocity vok. Winkelgeschwindigkeit, f rus. угловая скорость, f pranc. vitesse angulaire, f … Automatikos terminų žodynas
угловая скорость — kampinis greitis statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Vektorinis dydis, lygus kūno pasisukimo kampo pirmajai išvestinei pagal laiką: ω = dφ/dt; čia dφ – pasisukimo kampo pokytis, dt – laiko tarpas. Kai kūnas sukasi tolygiai … Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas
угловая скорость — kampinis greitis statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. angular speed; angular velocity vok. Winkelgeschwindigkeit, f rus. угловая скорость, f pranc. vitesse angulaire, f … Fizikos terminų žodynas
Угловая скорость — величина, характеризующая быстроту вращения твёрдого тела. При равномерном вращении тела вокруг неподвижной оси численно его У. с. ω =Δφ/ Δt, где Δφ приращение угла поворота φ за промежуток времени Δt. В общем случае У. с. численно равна… … Большая советская энциклопедия
Все об угловой скорости — определение, единица измерения, методы расчета
Что такое угловая скорость
Угловая скорость (обозначается как \(\omega\) ) — векторная величина, характеризующая скорость и направление изменения угла поворота со временем.
Модуль угловой скорости для вращательного движения совпадает с мгновенной угловой частотой вращения, а направление перпендикулярно плоскости вращения и связано с направлением вращения правилом правого винта.
Единица измерения
В Международной системе единиц (СИ) принятой единицей измерения угловой скорости является радиан в секунду (рад/с)
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Формула угловой скорости
Зависимость угловой скорости от времени
Зависимость \(\varphi \) от \(\mathcal t\) наглядно показана на графике:
Угол, на который повернулось тело, характеризуется площадью под кривой.
Угловая скорость вращения, формула
Через частоту
\(\mathcal n\) — частота вращения \((1/с)\)
\(\pi\) — число Пи ( \(\approx 3,14\) )
\(T \) — период вращения (время, за которое тело совершает один оборот)
Через радиус
\(v\) — линейная скорость(м/с)
\(R\) — радиус окружности (м)
Как определить направление угловой скорости
Направление скорости в физике можно определять двумя способами:
Связь линейной и угловой скорости
Линейная скорость \((v)\) тела, расположенного на расстоянии \(R\) от оси вращения, прямо пропорциональна угловой скорости.
\(R\) — радиус окружности (м)
Чему равна мгновенная угловая скорость
Мгновенную угловую скорость нужно находить как предел, к которому стремится средняя угловая скорость при \(\triangle\mathcal t\rightarrow0\) :
I. Механика
Тестирование онлайн
Так как линейная скорость равномерно меняет направление, то движение по окружности нельзя назвать равномерным, оно является равноускоренным.
Угловая скорость
Выберем на окружности точку 1. Построим радиус. За единицу времени точка переместится в пункт 2. При этом радиус описывает угол. Угловая скорость численно равна углу поворота радиуса за единицу времени.
Период и частота
Частота и период взаимосвязаны соотношением
Связь с угловой скоростью
Линейная скорость
Каждая точка на окружности движется с некоторой скоростью. Эту скорость называют линейной. Направление вектора линейной скорости всегда совпадает с касательной к окружности. Например, искры из-под точильного станка двигаются, повторяя направление мгновенной скорости.
Центростремительное ускорение
При движении по окружности вектор ускорения всегда перпендикулярен вектору скорости, направлен в центр окружности.
Используя предыдущие формулы, можно вывести следующие соотношения
Точки, лежащие на одной прямой исходящей из центра окружности (например, это могут быть точки, которые лежат на спице колеса), будут иметь одинаковые угловые скорости, период и частоту. То есть они будут вращаться одинаково, но с разными линейными скоростями. Чем дальше точка от центра, тем быстрей она будет двигаться.
Закон сложения скоростей справедлив и для вращательного движения. Если движение тела или системы отсчета не является равномерным, то закон применяется для мгновенных скоростей. Например, скорость человека, идущего по краю вращающейся карусели, равна векторной сумме линейной скорости вращения края карусели и скорости движения человека.
Вращение Земли
Земля участвует в двух основных вращательных движениях: суточном (вокруг своей оси) и орбитальном (вокруг Солнца). Период вращения Земли вокруг Солнца составляет 1 год или 365 суток. Вокруг своей оси Земля вращается с запада на восток, период этого вращения составляет 1 сутки или 24 часа. Широтой называется угол между плоскостью экватора и направлением из центра Земли на точку ее поверхности.
Связь со вторым законом Ньютона
Согласно второму закону Ньютона причиной любого ускорения является сила. Если движущееся тело испытывает центростремительное ускорение, то природа сил, действием которых вызвано это ускорение, может быть различной. Например, если тело движется по окружности на привязанной к нему веревке, то действующей силой является сила упругости.
Если тело, лежащее на диске, вращается вместе с диском вокруг его оси, то такой силой является сила трения. Если сила прекратит свое действие, то далее тело будет двигаться по прямой
Как вывести формулу центростремительного ускорения
Разница векторов есть 
. Так как 
, получим
Движение по циклоиде*
В системе отсчета, связанной с колесом, точка равномерно вращается по окружности радиуса R со скоростью 
, которая изменяется только по направлению. Центростремительное ускорение точки направлено по радиусу к центру окружности.
Теперь перейдем в неподвижную систему, связанную с землей. Полное ускорение точки А останется прежним и по модулю, и по направлению, так как при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой ускорение не меняется. С точки зрения неподвижного наблюдателя траектория точки А — уже не окружность, а более сложная кривая (циклоида), вдоль которой точка движется неравномерно.
Мгновенная скорость определяется по формуле 
Магия тензорной алгебры: Часть 6 — Кинематика свободного твердого тела. Природа угловой скорости
Введение
Что такое угловая скорость? Скалярная или векторная величина? На самом деле это не праздный вопрос.
Читая лекции по теоретической механике в университете, я, следуя традиционной методике изложения курса кинематики, вводил понятие угловой скорости в теме «Скорость точки тела при вращательном движении». И там угловая скорость впервые появляется как скалярная величина, со следующим определением.
Угловая скорость твердого тела — это первая производная от угла поворота тела по времени
А вот потом, при рассмотрении каноничной формулы Эйлера для скорости точки тела при вращении
Угловая скорость тела — это псевдовектор, направленный вдоль оси вращения тела в ту сторону, откуда вращение выглядит происходящим против часовой стрелки
Ещё одно частное определение, которое, во-первых, утверждает неподвижность оси вращения, во-вторых навязывает рассмотрение лишь правой системы координат. И наконец термин «псевдовектор» обычно объясняется студентам так: «Посмотрите, ведь мы показали, что омега — скалярная величина. А вектор мы вводим для того, чтобы выписать формулу Эйлера».
При рассмотрении сферического движения оказывается потом, что ось вращения меняет направление, угловое ускорение направлено по касательной к годографу угловой скорости и так далее. Неясности и вводные допущения множатся.
Учитывая уровень подготовки школьников, а так же вопиющую глупость, допускаемую в программах подготовки бакалавров, когда теормех начинается с первого (вдумайтесь!) семестра, такие постепенные вводные, на палках, веревках и желудях наверное оправданы.
Но мы с вами заглянем, что называется, «под капот» проблемы и, вооружившись аппаратом тензорного исчисления, выясним, что угловая скорость — это псевдовектор, порождаемый антисимметричным тензором второго ранга.
Думаю для затравки вполне достаточно, а поэтому — начнем!
1. Свободное движение твердого тела. Тензор поворота
Если движение, совершаемо телом не ограничено связями, то такое его движение называют свободным
Это — самый общий случай движения тела. Следующий рисунок иллюстрирует тот факт, что свободное движение тела можно представить как сумму двух движений: поступательного вместе с полюсом и сферического вокруг полюса.
Рис. 1. Обычная иллюстрация из курса теоретической механики: определение положения свободного твердого тела в пространстве.
Напомню, что речь идет об абсолютно твердом теле, то есть теле, расстояния между точками которого не изменяется с течением времени. Ещё можно сказать, что твердое тело представляет собой неизменяемую механическую систему.
Как видно из рисунка 1, обычной практикой является рассмотрение двух систем координат — одна считается неподвижной и называется базовой, другая жестко связанна с телом и поворачивается относительно базовой вместе с ним. Такую систему координат называют связанной.
Сначала я тоже хотел ограничиться декартовыми координатами. Но тогда бы мои читатели задали бы мне логичный вопрос — «а зачем тогда тут тензоры?». Поэтому, потратив четыре для в мучительных раздумьях и «нагуляв» окончательное решение пару часов назад, я решил замахнуться на «Вильяма, нашего, Шекспира» и изложить дальнейшие рассуждения в криволинейных координатах.
Рис. 2. Ориентация твердого тела в локальном базисе.
Пусть положение полюса задается вектором
Причем под этим вектором не следует понимать радиус-вектор, так как в криволинейных координатах такое понятие бессмысленно.
В точке O1 задан локальный репер базовой системы координат, образованный тройкой векторов . С движущимся телом связан подвижный репер . Поворот связанного репера относительно базового можно задать линейным оператором. Получим этот оператор и исследуем его свойства
Рассмотрим некоторую точку M, принадлежащую телу. К ней из полюса можно провести вектор неподвижный относительно связанного репера. Его можно разложить по векторам этого репера
и по векторам базового репера
Каждый вектор связанного репера можно разложить через векторы базового репера
Подставляем (4) в (2) и сравниваем с (3)
Из (5) понятно, что компоненты вектора в базовой системе координат, пересчитываются через его компоненты в связанной системе путем применения линейного оператора
или в безиндексной форме
где столбцы матрицы
– контравариантные компоненты векторов связанного репера по отношению к базовому. Точка, как мы уже отмечали в прошлой статье, обозначает умножение тензоров с последующей сверткой по соседней паре индексов. Линейный оператор
действует на векторы таким образом, что поворачивает их относительно некоторой оси, не меняя длины и угла между векторами. Такое преобразование пространства называется ортогональным. Для того, чтобы таковое преобразование было возможным, оператор (7) должен обладать вполне определенными свойствами. Если длина векторов базиса и углы между ними не меняются, то это означает равенство всех попарных скалярных произведений векторов репера как в базовой, так и в связанной системах координат
Правая часть (8) — это локальный метрический тензор
Преобразование координат при повороте является тождественным для метрического тензора, то есть переводит метрический тензор сам в себя.
В выражении (10) нетрудно увидеть преобразование метрического тензора про смене системы координат, о котором мы подробно говорили в самой первой статье цикла
Стоп! Но мы же знаем, что матрицы поворота обычно ортогональны, то есть произведение матрицы поворота на её транспонированную дает единичную матрицу, иными словами, чтобы обратить матрицу поворота её достаточно транспонировать.
Но ортогональность свойственна матрицам поворота, преобразующим ортонормированный декартов базис. Здесь мы имеем дело с локальным базисом, при повороте которого должны сохранятся длины векторов и углы между ними. Если мы примем базис декартовым, то из (10) мы получим привычные свойства матрицы поворота, к примеру её ортогональность.
Для дальнейших вычислений нам потребуется знать, как будет выглядеть матрица обратного преобразования, то есть . Что же, посмотрим. Для этого умножим (10) слева на и справа на
откуда незамедлительно получаем
Выходит, что матрица обратного преобразования действительно получается из транспонированной матрицы преобразования, но с участием метрического тензора. Выражения (10) и (11) очень пригодятся нам, а пока сделаем некоторые выводы.
Закон свободного движения твердого тела можно выписать в криволинейных координатах в виде системы уравнений
При этом (12) — закон движения полюса, а (13) — закон сферического движения тела вокруг полюса. При этом (13) — тензор ранга (1,1), называемый тензором поворота.
2. Скорость точки тела при свободном движении. Угловая скорость выходит на сцену
Вычислим скорость точки M, положение которой в связанной системе координат задается постоянными, в силу твердости тела, криволинейными координатами
Из курса теоретической механики известна формула, определяющая скорость точки тела в данном движении
где — скорость полюса; — скорость точки вокруг полюса.
Так как все координаты, кроме (13) определены относительно базового репера, мы можем записать
Индекс в круглых скобках означает систему координат, в которой берутся компоненты (0 — базовая, 1 — связанная). Дифференцируем (15) по времени с учетом (13)
Перейдем в (16) к связанной системе координат, домножив (15) слева на
где — компонента оператора обратного преобразования .
Теперь сравним (17) и (14). В последнем слагаемом должно вылезти векторное произведение. Вспоминая определение векторного произведения через тензор Леви-Чивиты, данное во второй статье цикла, замечаем, что на выходе оно дает ковектор, поэтому в (17) перейдем к ковариантым компонентам, домножив это выражение на метрический тензор слева
Теперь представим себе, как выглядел бы ковектор скорости точки относительно плюса, записанный через вектор угловой скорости
Есть два типа угловой скорости. Орбитальная угловая скорость относится к тому, насколько быстро точечный объект вращается вокруг фиксированного начала координат, то есть скорость изменения его углового положения относительно начала координат во времени. Угловая скорость вращения относится к тому, насколько быстро твердое тело вращается относительно своего центра вращения, и не зависит от выбора начала координат, в отличие от орбитальной угловой скорости.
СОДЕРЖАНИЕ
Орбитальная угловая скорость точечной частицы
Частица в двух измерениях
Частица в трех измерениях
Из приведенного выше уравнения можно восстановить тангенциальную скорость как:
Сложение векторов угловой скорости
Обратите внимание, что это также определяет вычитание как добавление отрицательного вектора.
Угловая скорость вращения твердого тела или системы отсчета
Учитывая вращающуюся систему координат из трех единичных векторов координат, все три должны иметь одинаковую угловую скорость в каждый момент времени. В такой системе отсчета каждый вектор можно рассматривать как движущуюся частицу с постоянным скалярным радиусом.
Если мы выберем точку отсчета, закрепленную в твердом теле, скорость любой точки в теле будет равна р <\ displaystyle <\ boldsymbol 
р ˙ <\ displaystyle <\ dot <\ boldsymbol
Компоненты из базисных векторов каркаса, закрепленного на теле
Обратите внимание, что эта формула несовместима с выражением
поскольку эта формула определяет только угловую скорость одной точки относительно O, а формула в этом разделе применяется к раме или твердому телу. В случае жесткого теле одного имеет для учета движения всех частиц в теле. ω <\ displaystyle <\ boldsymbol <\ omega>>>
Компоненты из углов Эйлера
Компоненты псевдовектора спиновой угловой скорости были впервые вычислены Леонардом Эйлером с использованием его углов Эйлера и использования промежуточной системы отсчета:
Эйлер доказал, что проекции псевдовектора угловой скорости на каждую из этих трех осей являются производной соответствующего угла (что эквивалентно разложению мгновенного вращения на три мгновенных вращения Эйлера ). Следовательно:
ω знак равно α ˙ ты 1 + β ˙ ты 2 + γ ˙ ты 3 <\ displaystyle <\ boldsymbol <\ omega>> = <\ dot <\ alpha>> \ mathbf _ <1>+ <\ dot <\ beta>> \ mathbf _ <2>+ <\ точка <\ gamma>> \ mathbf _ <3>>
Этот базис не является ортонормированным и его сложно использовать, но теперь вектор скорости можно изменить на фиксированную систему отсчета или на подвижную систему отсчета, просто изменив основы. Например, переход на мобильный фрейм:
Тензор
Расчет по матрице ориентации
Вектор, совершающий равномерное круговое движение вокруг фиксированной оси, удовлетворяет: р <\ displaystyle \ mathbf
d р d т знак равно ω × р знак равно W ⋅ р <\ displaystyle <\ frac
(Это верно, даже если A ( t ) не вращается равномерно.) Следовательно, тензор угловой скорости равен:
Характеристики
Двойственность по вектору скорости
В трех измерениях угловая скорость может быть представлена псевдовектором, поскольку тензоры второго ранга двойственны псевдовекторам в трех измерениях. Поскольку тензор угловой скорости W = W ( t ) является кососимметричной матрицей :
Экспонента от W
Это уравнение можно проинтегрировать, чтобы получить:
W кососимметричный
Таким образом, W является отрицанием своего транспонирования, что означает, что он кососимметричен.
Бескординатное описание
Связь между этой линейной картой и псевдовектором угловой скорости следующая. ω <\ displaystyle <\ boldsymbol <\ omega>>>
( W р ) ⋅ s знак равно L ♯ ⋅ ( р ∧ s ) <\ Displaystyle (W \ mathbf = L ^ <\ sharp>\ cdot (\ mathbf )>
ω × р знак равно ⋆ ( ω ∧ р ) <\ displaystyle <\ boldsymbol <\ omega>> \ times \ mathbf
Угловая скорость как векторное поле
Кроме того, можно показать, что векторное поле спиновой угловой скорости составляет ровно половину ротора линейного векторного поля скорости v ( r ) твердого тела. В символах
ω знак равно 1 2 ∇ × v <\ displaystyle <\ boldsymbol <\ omega>> = <\ frac <1><2>> \ nabla \ times \ mathbf
Соображения по поводу жесткого тела
Чтобы получить уравнения, удобно представить твердое тело, прикрепленное к каркасам, и рассмотреть систему координат, фиксированную по отношению к твердому телу. Затем мы изучим преобразования координат между этой координатой и фиксированной «лабораторной» системой.
Взяв производную по времени, получаем скорость частицы:
Подставляя ω для W в приведенном выше выражении скорости, и заменяя матричное умножение на эквивалентное векторное произведение:
Последовательность
Мы предположили, что твердое тело вращается вокруг произвольной точки. Мы должны доказать, что ранее определенная угловая скорость вращения не зависит от выбора начала координат, что означает, что угловая скорость вращения является внутренним свойством вращающегося твердого тела. (Обратите внимание на заметный контраст этого с орбитальной угловой скоростью точечной частицы, которая, безусловно , зависит от выбора начала координат.)
Вышеупомянутые два дают, что
ω 1 знак равно ω 2 <\ displaystyle <\ boldsymbol <\ omega>> _ <1>= <\ boldsymbol <\ omega>> _ <2>>