Что такое показательная функция определение
Алгебра и начала математического анализа. 10 класс
Конспект урока
Алгебра и начала математического анализа, 10 класс
Урок №21. Показательная функция.
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
— какая функция называется показательной;
— какие свойства имеет показательная функция в зависимости от ее основания;
— какой вид имеет график показательной функции в зависимости от ее основания;
— примеры реальных процессов, описываемых показательной функцией.
Функция вида 
, a>0, а≠1 называется показательной функцией с основанием а.
Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е., Шабунин М.И. под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб.для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни 2-е изд. – М.: Просвещение, 2010. – 336 с.: ил. – ISBN 978-5-09-025401-4, сс.310-314, сс. 210-216.
Открытые электронные ресурсы:
Теоретический материал для самостоятельного изучения
1. Определение, свойства и график показательной функции
Такое название она получила потому, что независимая переменная стоит в показателе. Основание а – заданное число.
Для положительного основания значение степени а х можно найти для любого значения показателя х – и целого, и рационального, и иррационального, то есть для любого действительного значения.
Сформулируем основные свойства показательной функции.
1. Область определения.
Как мы уже сказали, степень а х для a>0 определена для любого действительного значения переменной х, поэтому область определения показательной функции D(y)=R.
2. Множество значений.
Так как основание степени положительно, то очевидно, что функция может принимать только положительные значения.
3. Корни (нули) функции.
Так как основание a>0, то ни при каких значениях переменной х функция не обращается в 0 и корней не имеет.
При a>1 функция монотонно возрастает.
Рисунок 1 – График показательной функции при a>1
При 0 1 при х стремящемся к минус бесконечности.
2. Рассмотрим пример исследования функции y=–3 х +1.
1) Область определения функции – любое действительное число.
2) Найдем множество значений функции.
Так как 3 х >0, то –3 х х +1 х +1 представляет собой промежуток (-∞; 1).
3) Так как функция y=3 х монотонно возрастает, то функция y=–3 х монотонно убывает. Значит, и функция y=–3 х +1 также монотонно убывает.
4) Эта функция будет иметь корень: –3 х +1=0, 3 х =1, х=0.
Рисунок 3 – График функции y=–3 х +1
6) Для этой функции горизонтальной асимптотой будет прямая y=1.
3. Примеры процессов, которые описываются показательной функцией.
6) Известно утверждение, что количество информации удваивается каждые 10 лет. Изобразим это наглядно.
Примем количество информации в момент времени t=0 за единицу. Тогда через 10 лет количество информации удвоится и будет равно 2. Еще через 10 лет количество информации удвоится еще раз и станет равно 4 и т.д.
Рисунок 4 – График функции y=2 х – изменение количества информации
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
Выберите показательные функции, которые являются монотонно убывающими.
Монотонно убывающими являются показательные функции, основание которых положительно и меньше единицы. Такими функциями являются: 2) и 4) (независимо от того, что коэффициент в показателе функции 4) равен 0,5), заметим, что функцию 4) можно переписать в виде: 
, используя свойство степеней.
Также монотонно убывающей будет функция 5). Воспользуемся свойством степеней и представим ее в виде:
2) 4) 5)
Найдите множество значений функции y=3 x+1 – 3.
Так как 3 x+1 >0, то 3 x+1 – 3>–3, то есть множество значений:
Найдите множество значений функции y=|2 x – 2|
2 x –2>–2, но, так как мы рассматриваем модуль этого выражения, то получаем: |2 x – 2|
0.