Что такое поле комплексных чисел

Поле комплексных чисел

Рассмотрим важнейший пример числового поля — поле комплексных чисел.

Два комплексных числа и называются равными, если равны их действительные и мнимые части соответственно:

Сложение и вычитание в поле комплексных чисел

Суммой комплексных чисел и называется комплексное число

Из этого определения и свойств операции сложения действительных чисел следует, что:

а) операция сложения комплексных чисел коммутативна: ;

б) операция сложения комплексных чисел ассоциативна: ;

в) существует нулевой элемент ; нулевой элемент обозначается просто символом нуль ;

г) для каждого комплексного числа существует противоположный ему элемент

Из последнего свойства следует, что на множестве комплексных чисел определена операция вычитания (обратная к сложению). Разностью чисел и называется комплексное число

Умножение и деление в поле комплексных чисел

Произведением комплексных чисел и называется комплексное число

Из определения (В.6) и свойств операции умножения действительных чисел следует, что:

в) существует единичный элемент ; единичный элемент обозначается просто символом единица: ;

Из последнего свойства следует, что на множестве отличных от нуля комплексных чисел определена операция деления (обратная к умножению).

Частным двух чисел и называется комплексное число

Операции сложения и умножения комплексных чисел связаны законом дистрибутивности:

Таким образом, множество комплексных чисел является полем.

Решение. По определению операций получаем

Сопряженные числа в поле комплексных чисел

Из определения следует, что сумма и произведение сопряженных чисел — есть числа действительные:

Используя правила арифметических операций для комплексных чисел, можно установить справедливость свойств операции комплексного сопряжения:

Решение. Пусть — корень уравнения. Тогда

Приравнивая нулю действительную и мнимую части, получаем

3. Из свойств операции комплексного сопряжения следует, что

Источник

Введение в комлексные числа

Выяснив, что многие знакомые программисты не помнят комплексные числа или помнят их очень плохо, я решил сделать небольшую шпаргалку по формулам.

А школьники могут что-то новое узнать 😉
// Всех кого заинтересовал прошу под кат.

Итак, комплексные числа эта такие числа, которые можно записать как

Где x, y вещественные числа(т.е привычные всем числа), а i — число, для которого
выполняется равенство

x называется действительной частью, y — мнимой.

Это алгебраическая форма записи комплексного числа.

Существует также тригонометрическая форма записи комплексного числа z:

С введением, пожалуй, все.

Переходим к самому интересному — операциям над комплексными числами!
Для начала рассмотрим сложение.

У нас есть два таких комплексных числа:

Как же их сложить?
Очень просто: сложить действительную и мнимую части.
Получим число:

Все просто, не так ли?
Вычитание выполняется аналогично сложению.
Нужно просто вычесть из действительной части 1 числа действительную часть 2 числа,
а потом проделать тоже с мнимой частью.
Получим число

Умножение выполняется вот так:

Напомню, x это действительная часть, y — мнимая.
Деление выполняется вот так:

Кстати, поддержка комплексных чисел есть в стандартной библиотеке Python:

Вместо i используется j.
Кстати, это потому что Python принял конвенцию инженеров-электриков, у которых
буква i обозначает электрический ток.
Задавайте свой вопросы, если они есть, в комментариях.
Надеюсь, вы узнали для себя что-то новое.

UPD: В комментариях просили рассказать о практическом применении.
Так вот комплексные числа нашли широкое практическое применение в авиации
(подъемная сила крыла) и в электричестве.
Как видете, очень нужная вещь 😉

Источник

Поле комплексных чисел

Теорема 1. Множество комплексных чисел С с операциями сложения и умножения образует поле. Свойства сложения

1) Коммутативность:(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i=(c+di)+(a+bi).

2) Ассоциативность :[(a+bi)+(c+di)]+(e+fi)=(a+c+e)+(b+d+f)i=(a+bi)+[(c+di)+(e+fi)].

3) Существование нейтрального элемента:(a+bi)+(0+0i)=(a+bi). Число 0+0i будем называть нулём и обозначать 0.

4) Существование противоположного элемента: (a+bi)+(–a–bi)=0+0i=0.

5) Коммутативность умножения: (a+bi)(c+di)=(ac–bd)+(bc+ad)i=(c+di)(a+bi).

6) Ассоциативность умножения:если z₁=a+bi, z₂=c+di, z₃=e+fi, то (z₁z₂)z₃ =z₁(z₂z₃).

7) Дистрибутивность: если z₁=a+bi, z₂=c+di, z₃=e+fi, то z₁(z₂+z₃)=z₁z₂+z₁z₃.

8) Нейтральный элемент для умножения:(a+bi)(1+0i)=(a·1–b·0)+(a·0+b·1)i=a+bi.

9) Число 1+0i=1 – единица.

Если b=0, то z=a+ 0i=a– действительное число. Поэтому множество действительных чисел Rявляется частью множества комплексных чисел C: R Í C.

Заметим: i 2 =(0+1i)(0+1i)=–1+0i=–1. Используя это свойство числа i, а также свойства операций, доказанные в теореме 1, можно выполнять действия с комплексными числами по обычным правилам, заменяя i 2 на –1.

2 Тригонометрическая форма записи.

Запись z = a+bi называется алгебраической формой записи комплексного числа. Рассмотрим плоскость с выбранной декартовой системой координат. Будем изображать число z точкой с координатами (a, b). Тогда действительные числа a=a+0i будут изображаться точками оси OX – она называется действительной осью. Ось OY называется мнимой осью, её точки соответствуют числам вида bi, которые иногда называют чисто мнимыми. Вся плоскость называется комплексной плоскостью.Число называется модулем числа z: ,

Полярный угол j называется аргументом числа z: j=argz.

Аргумент определяется с точностью до слагаемого 2kp; значение, для которого –p

Источник

Комплексные числа

Формы

Так сложилось в математике, что у данных чисел несколько форм. Число одно и тоже, но записать его можно по-разному:

Далее с примерами решений вы узнаете как переводить комплексные числа из одной формы в другую путем несложных действий в обе стороны.

Изображение

Изучение выше мы начали с алгебраической формы. Так как она является основополагающей. Чтобы было понятно в этой же форме изобразим комплексное число на плоскости:

Вычислить сумму и разность заданных комплексных чисел:

Сначала выполним сложение. Для этого просуммируем соответствующие мнимые и вещественные части комплексных чисел:

Аналогично выполним вычитание чисел:

Выполнить умножение и деление комплексных чисел:

Так, теперь разделим первое число на второе:

Суть деления в том, чтобы избавиться от комплексного числа в знаменателе. Для этого нужно домножить числитель и знаменатель дроби на комплексно-сопряженное число к знаменателю и затем раскрываем все скобки:

Разделим числитель на 29, чтобы записать дробь в виде алгебраической формы:

Для возведения в квадрат достаточно умножить число само на себя:

Пользуемся формулой для умножения, раскрываем скобки и приводим подобные:

В этом случае не всё так просто как в предыдущем случае, когда было возведение в квадрат. Конечно, можно прибегнуть к способу озвученному ранее и умножить число само на себя 7 раз, но это будет очень долгое и длинное решение. Гораздо проще будет воспользоваться формулой Муавра. Но она работает с числами в тригонометрической форме, а число задано в алгебраической. Значит, прежде переведем из одной формы в другую.

Вычисляем значение модуля:

Найдем чем равен аргумент:

$$ \varphi = arctg \frac<3> <3>= arctg(1) = \frac<\pi> <4>$$

Записываем в тригонометрическом виде:

Преобразуем в алгебраическую форму для наглядности:

Представим число в тригонометрической форме. Найдем модуль и аргумент:

Используем знакомую формулу Муавра для вычисления корней любой степени:

Источник

Глава 5. Поле комплексных чисел С

Непустое множество К с бинарными операциями сложения и умножения называется полем(числовым полем), если выполнены следующие аксиомы:

0) Бинарные операции сложения и умножения являются замкнутыми.

1) Бинарные операции сложения и умножения являются коммутативными

2) Бинарные операции являются ассоциативными:

3) Имеет место закон дистрибутивности умножения относительно сложения.

4) Каждый ненулевой элемент имеет себе обратный, и каждый элемент имеет себе противоположный.

5) Общая группа аксиом связанных с другими свойствами элементов.

Рассмотрим поле действительных чисел R и на его основе рассмотрим множество всевозможных, упорядоченных пар вида (а,0) для которых выполняются законы:

1)

2)

3) Роль единичного элемента играет пара вида , а нулевого

Получается множество, состоящее из объектов отличных от действительных чисел, для которых выполнены все законы действительных чисел (включая законы 1-3 выше)

Таким образом поле действительных чисел R и новое множество являются изоморфными.

Теперь рассмотри множество всех упорядоченных пар вида

Возникает вопрос, будет ли данное множество изоморфно множеству чисел R.

Такое множество найти МОЖНО. (Он сам велел дофига знаков поставить)

Нужно лишь для пар определить законы:

1)

2)

3)

4) Роль единичного элемента играет пара вида , а нулевого

5) Особую роль единичного элемента играет пара вида (0;1)

Перемножим

То есть квадрат элемента (0;1) равен отрицательному числу..(. )

Поэтому пара (0;1) обозначается I и называется «мнимой единицей» для которой имеет место

Множество всех упорядоченных пар образуют множество (с учетом законов 1-5), изоморфное множеству действительных чисел. Получившееся новое множество называется поле комплексных чисел С.

Алгебраическая форма комплексного числа

Модули комплексного числа z называется величина

Комплексное число называется комплексно сопряженным числу z

Теорема об отношениях сравнения на поле комплексных чисел С:

Поле комплексных чисел не является упорядоченным, то есть сравнивать 2 комплексных числа с помощью бинарного отношения типа сравнения (

Источник