Что такое поток векторного поля
Поток векторного поля
В математике поток векторного поля используется для двух различных понятий:
Поток векторного поля через поверхность
Поток векторного поля через поверхность — поверхностный интеграл первого рода по поверхности 
. По определению
где 
— векторное поле (вектор-функция векторного аргумента — точки пространства), 
— единичный вектор положительной нормали к поверхности (положительное направление выбирается для ориентируемой поверхности условно, но одинаково для всех точек — то есть для дифференцируемой поверхности — так, чтобы было непрерывно; для неориентируемой поверхности это не важно, так как поток через неё всегда ноль), 
— элемент поверхности.
Иногда, особенно в физике, применяется обозначение
тогда поток записывается в виде
.
Физическая интерпретация
Пусть движение несжимаемой жидкости единичной плотности в пространстве задано векторным полем скорости течения 
. Тогда объем жидкости, который протечёт за единицу времени через поверхность , будет равен потоку векторного поля 
через поверхность .
См. также
Полезное
Смотреть что такое «Поток векторного поля» в других словарях:
Ротор векторного поля — Ротор, или вихрь векторный дифференциальный оператор над векторным полем. Показывает, насколько и в каком направлении закручено поле в каждой точке. Ротор поля F обозначается символом rot F (в русскоязычной литературе) или curl F (в англоязычной… … Википедия
ЛИНИИ ТОКА ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ — линии, в каждой точке которых касательная имеет направление вектора поля в этой точке. Л. т. в. п. в гидродинамике это линия, в каждой точке которой касательная совпадает по направлению со скоростью частицы жидкости в данный момент времени.… … Словарь по гидрогеологии и инженерной геологии
Поток вектора — В математике поток векторного поля используется для двух различных понятий: 1. Поток векторного поля через гиперповерхность (см. ниже), 2. Поток векторного поля однопараметрическое семейство диффеоморфизмов Γt определямых дифференциальным… … Википедия
Поля теория — математическая теория, изучающая свойства скалярных, векторных (в общем случае тензорных) полей, т. е. областей пространства (или плоскости), каждой точке М которых поставлено в соответствие число u (М) (например, температура, давление,… … Большая советская энциклопедия
Поток — Поток: В Викисловаре есть статья «поток» Поток постоянное перемещение масс жидкости или газа в определённом направлении … Википедия
ПОТОК — векторного поля одно из понятий теории векторного поля. П. векторного поля а через поверхность дV выражается с точностью до знака поверхностным интегралом где п единичный вектор нормали к поверхности дV (предполагается, что изменение вектора ппо… … Математическая энциклопедия
Поток — векторного поля, одно из понятий теории поля. П. векторного поля через поверхность ∑ выражается с точностью до знака поверхностным интегралом где а =
Ротор поля — Ротор, или вихрь векторный дифференциальный оператор над векторным полем. Показывает, насколько и в каком направлении закручено поле в каждой точке. Ротор поля F обозначается символом rot F (в русскоязычной литературе) или curl F (в англоязычной… … Википедия
Оптический поток — Эту статью следует викифицировать. Пожалуйста, оформите её согласно правилам оформления статей. Оптический поток это изображение видимого движения объектов, поверхностей или краев сцены, получаемое в результате перемещения н … Википедия
Векторный потенциал электромагнитного поля — Классическая электродинамика … Википедия
Поток векторного поля: теория и примеры
Понятие потока векторного поля и его вычисление как поверхностного интеграла
Своим названием поток векторного поля обязан задачам гидродинамики о потоке жидкости. Поток векторного поля может быть вычислен в виде поверхностного интеграла, который выражает общее количество жидкости, протекающей в единицу времени через некоторую поверхность в направлении вектора скорости течения жидкости в данной точке. Понятие потока векторного поля обобщается также на магнетический поток, поток электричества, поток тепла через заданную поверхность и другие. Поток векторного поля может быть вычислен в виде поверхностного интеграла как первого, так и второго рода и далее мы дадим его вывод через эти интегралы.
Пусть в некоторой области пространства задано векторное поле
Определение потока векторного поля. Потоком W поля вектора 
через поверхность σ называется поверхностный интеграл
.
Обозначим как a n проекцию вектора на на единичный вектор 
. Тогда поток можем записать как поверхностный интеграл первого рода
.
.
поток векторного поля можно вычислить и как поверхностный интеграл второго рода
.
Направление и интенсивность потока векторного поля
Поток векторного поля зависит от местоположения поверхности σ. Если поверхность размещена так, что во всех её точках вектор поля образует с вектором нормали поверхности острый угол, то проекции вектора a n положительны и, таким образом поток W также положителен (рисунок ниже). Если же поверхность размещена так, что во всех её точках вектор образует с вектором нормали поверхности тупой угол, то поток W отрицателен.
Вычисление потока векторного поля: примеры
Пример 1. Вычислить поток векторного поля 
через верхнюю сторону треугольника, образованного пересечением плоскости 
с координатными плоскостями. Решить задачу двумя способами: 1) через поверхностный интеграл первого рода; 2) через поверхностный интеграл второго рода.
Координатами вектора нормали данной поверхности являются коэффициенты при переменных в уравнении плоскости:
.
Длина вектора нормали:
.
Единичный вектор нормали:
.
Из выражения единичного вектора нормали следует, что направляющий косинус 
. Тогда 
.
Теперь можем выразить поток векторного поля в виде поверхностного интеграла первого рода и начать решать его:
Выразим переменную «зет»:
Продолжаем вычислять интеграл и, таким образом, поток векторного поля:
Получили ответ: поток векторного поля равен 64.
2) Выражая поток векторного поля через поверхностный интеграл второго рода, получаем
.
Осталось только сложить все три интеграла:
.
Получили ответ: поток векторного поля равен 64. Как видим, он совпадает с ответом, полученным в первом случае.
Пример 2. Вычислить поток векторного поля 
через верхнюю сторону треугольника, образованного пересечением плоскости 
с координатными плоскостями. Решить задачу двумя способами: 1) через поверхностный интеграл первого рода; 2) через поверхностный интеграл второго рода.
.
Длина этого вектора:
,
единичный вектор нормали (орт):
.
Скалярное произведение векторного поля и единичного нормального вектора:
Поток векторного поля, таким образом, представим в виде поверхностного интеграла первого рода
.
Выразим «зет» и продифференцируем то, что уже можно продифференцировать:
2) Представим поток векторного поля в виде поверхностного интеграла второго рода:
.
Первый и второй интегралы берём со знаком «минус», так как вектор нормали поверхности образует с осями Ox и Oy тупой угол.
Вычисляем первый интеграл:
Вычисляем второй интеграл:
Вычисляем третий интеграл:
Складываем три интеграла и получаем тот же самый результат:
.
Поток векторного поля представим в виде поверхностного интеграла второго рода:
Второй интеграл берём со знаком минус, так как нормальный вектор поверхности образует с осью Oz тупой угол. Вычисляем первый интеграл:
Вычисляем второй интеграл:
В сумме получаем искомый поток векторного поля:
.