Что является оценкой математического ожидания
Оценки для математического ожидания и дисперсии
Не уменьшая общности рассуждений, будем считать эти значения случайной величины различными. Будем рассматривать значения x1,x2, xnкак независимые, одинаково распределенные случайные величины X1,X2, Xn.
Простейший метод статистического оценивания – метод подстановки и аналогии – состоит в том, что в качестве оценки той или иной числовой характеристики (среднего, дисперсии и др.) генеральной совокупности берут соответствующую характеристику распределения выборки – выборочную характеристику.
По методу подстановки в качестве оценки 
математического ожидания а надо взять математическое ожидание распределения выборки – выборочное среднее. Таким образом, получаем
.
Чтобы проверить несмещенность и состоятельность выборочного среднего как оценки а, рассмотрим эту статистику как функцию выбранного вектора (X1,X2, Xn). Приняв во внимание, что каждая из величин X1,X2, Xn имеет тот же закон распределения, что и величина X, заключаем, что и числовые характеристики этих величин и величины X одинаковые: M(Xi) = M(X) = a, D(Xi) = D(X) = 
, i = 1, 2, n, причем Xi – независимые в совокупности случайные величины.
,
.
Отсюда по определению получаем, что 
– несмещенная оценка а, и так как D( )®0 при n®¥, то в силу теоремы предыдущего параграфа является состоятельной оценкой математического ожидания а генеральной совокупности.
Эффективность или неэффективность оценки зависит от вида закона распределения случайной величины X. Можно доказать, что если величина X распределена по нормальному закону, то оценка 
является эффективной. Для других законов распределения это может быть не так.
Несмещенной оценкой генеральной дисперсии служит исправленная выборочная дисперсия
,
так как 
, где 
– генеральная дисперсия. Действительно, 
Оценка s 2 для генеральной дисперсии является также и состоятельной, но не является эффективной. Однако в случае нормального распределения она является «асимптотически эффективной», то есть при увеличении n отношение ее дисперсии к минимально возможной неограниченно приближается к единице.
Итак, если дана выборка из распределения F(x) случайной величины X с неизвестным математическим ожиданием а и дисперсией , то для вычисления значений этих параметров мы имеем право пользоваться следующими приближенными формулами:
a 
,
.
Здесь xi – варианта выборки, ni – частота варианты xi, 
— объем выборки.
Для вычисления исправленной выборочной дисперсии более удобна формула
.
Для упрощения расчета целесообразно перейти к условным вариантам 
(в качестве с выгодно брать первоначальную варианту, расположенную в середине интервального вариационного ряда). Тогда
, 
.
Интервальное оценивание
Выше мы рассмотрели вопрос об оценке неизвестного параметра а одним числом. Такие оценки мы назвали точечными. Они имеют тот недостаток, что при малом объеме выборки могут значительно отличаться от оцениваемых параметров. Поэтому, чтобы получить представление о близости между параметром и его оценкой, в математической статистике вводятся, так называемые, интервальные оценки.
.
Видоизменив это равенство, получим:
Вероятность g называется надежностью (доверительной вероятностью) интервальной оценки.
Число e называется точностью оценки.
Оказывается, что по данным выборки можно построить случайную величину
,
которая имеет распределение Стьюдента (или t-распределение) с n = n –1 степенями свободы.
Воспользуемся таблицей П.1.3 и найдем для заданных вероятности g и числа n число tg такое, при котором вероятность
P(|t(n)| 120) tg можно получить по таблице П.1.2 из уравнения Ф(tg) = g/2.
Для оценки среднего квадратического отклонения s нормально распределенного количественного признака Х с надежностью g по исправленному выборочному среднему квадратическому отклонению s служат доверительные интервалы:
где q находят по таблице П.1.4 по заданным n и g.
Задача 14.1. Найти доверительные интервалы для оценки математического ожидания а и среднего квадратического отклонения s диаметра деревьев сосны по результатам вычислений из §13.4. Надежность g = 0,95.
Решение. В §13.4 были получены следующие точечные оценки а » =
= 30,77см, 
, где n = 90 – объем выборки. Следовательно, s » s = 6,83см.
По таблице П.1.3 при g =0,95 и n = 90 находим tg= 1,987. Вычисляем точность оценки 
, доверительные границы 
. Получаем доверительный интервал 29,3 kкр, где kкр – положительное число.
В частности, если критические точки симметричны относительно нуля, двусторонняя критическая область определяется неравенствами (в предположении, что kкр > 0):
или равносильным неравенством |K| > kкр.
Для отыскания, например, правосторонней критической области поступают следующим образом. Сначала задаются достаточно малой вероятностью – уровнем значимости a. Затем ищут критическую точку kкр, исходя из требования, чтобы при условии справедливости нулевой гипотезы, вероятность того, что критерий К примет значение, больше kкр., была равна принятому уровню значимости:
Порядок применения F–критерия следующий:
2. Получают две независимые выборки из совокупностей Х и Y объемом nx и ny соответственно.
Отметим, что в таблице П.1.7 приведены критические значения одностороннего F–критерия. Поэтому, если применяется двусторонний критерий (Н1: sх 2 ¹ sy 2 ), то правостороннюю критическую точку Fкр(a/2, n1, n2) ищут по уровню значимости a/2 (вдвое меньше заданного) и числам степеней свободы n1 и n2 (n1 – число степеней свободы большей дисперсии). Левостороннюю критическую точку можно и не отыскивать.
2–3. Найдем выборочные дисперсии. Для упрощения вычислений перейдем к условным вариантам:
Все вычисления оформим в виде следующих таблиц:
| ui | mi | miui | miui 2 | mi(ui+1) 2 | vi | ni | nivi | nivi 2 | ni(vi+1) 2 |
| -3 | -3 | -1 | -2 | ||||||
| å | — | ||||||||
| å | — |
Найдем исправленные выборочные дисперсии:
4. Сравним дисперсии. Найдем отношение большей исправленной дисперсии к меньшей:
.
Точечная оценка и ее свойства
Когда оценка определяется одним числом, она называется точечной оценкой. Точечная оценка, как функция от выборки, является случайной величиной и меняется от выборки к выборке при повторном эксперименте.
К точечным оценкам предъявляют требования, которым они должны удовлетворять, чтобы хоть в каком-то смысле быть «доброкачественными». Это несмещённость, эффективность и состоятельность.
Интервальные оценки определяются двумя числами – концами интервала, который накрывает оцениваемый параметр. В отличие от точечных оценок, которые не дают представления о том, как далеко от них может находиться оцениваемый параметр, интервальные оценки позволяют установить точность и надёжность оценок.
В качестве точечных оценок математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения используют выборочные характеристики соответственно выборочное среднее, выборочная дисперсия и выборочное среднее квадратическое отклонение.
Выборочное среднее арифметическое 
является несмещенной оценкой математического ожидания, а выборочная дисперсия — смещенная оценка генеральной дисперсии D. Несмещенной оценкой генеральной дисперсии является оценка
Это означает, что эффективная оценка обладает минимальным рассеиванием относительно истинного значения параметра. Заметим, что эффективная оценка существует не всегда, но из двух оценок обычно можно выбрать более эффективную, т.е. с меньшей дисперсией. Например, для неизвестного параметра a нормальной генеральной совокупности N(a,σ) в качестве несмещенной оценки можно взять и выборочное среднее арифметическое, и выборочную медиану. Но дисперсия выборочной медианы примерно в 1.6 раза больше, чем дисперсия среднего арифметического. Поэтому более эффективной оценкой является выборочное среднее арифметическое.
Оценки математического ожидания и дисперсии.
С понятием параметров распределения мы познакомились в теории вероятностей. Например, в нормальном законе распределения, задаваемом функцией плотности вероятности
параметрами служат а – математическое ожидание и а – среднее квадратическое отклонение. В распределении Пуассона параметром является число а = пр.
Обозначим через θ – оцениваемый параметр, а через θ* – его статистическую оценку. Величину |θ*–θ| называют точностью оценки. Чем меньше |θ*–θ|, тем лучше, точнее определен неизвестный параметр.
Чтобы оценка θ* имела практическое значение, она не должна содержать систематической ошибки и вместе с тем иметь возможно меньшую дисперсию. Кроме того, при увеличении объема выборки вероятность сколь угодно малых отклонений |θ*–θ| должна быть близка к 1.
Сформулируем следующие определения.
1. Оценка параметра называется несмещенной, если ее математическое ожидание М(θ*) равно оцениваемому параметру θ, т. е.
2. Оценка θ* называется состоятельной, если при любом δ > 0
(3)
Равенство (3) читается так: оценка θ* сходится по вероятности к θ.
3. Оценка θ* называется эффективной, если при заданном п она имеет наименьшую дисперсию.
Теорема 1.Выборочная средняя ХВ является несмещенной и состоятельной оценкой математического ожидания.
Так как каждая из величин Х1, Х2, Х3, …, Хп имеет распределение, совпадающее с распределением генеральной совокупности, то М(Х) = а. Поэтому
Далее, на основании закона больших чисел имеем
откуда следует, что 
– состоятельная оценка М(Х).
Используя правило исследования на экстремум, можно доказать, что является и эффективной оценкой М(Х).
В качестве оценки дисперсии изучаемого признака в генеральной совокупности D(Х)принимается исправленная дисперсия.
Теорема 2.Исправленная выборочная дисперсия 
является несмещенной и состоятельной оценкой дисперсии D(Х).
Дата добавления: 2015-09-21 ; просмотров: 1082 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ
Содержание:
Числовые характеристики случайных величин:
Как мы уже выяснили, закон распределения полностью характеризует случайную величину, так как позволяет вычислить вероятности любых событий, связанных с этой случайной величиной. Однако, во-первых, закон распределения не всегда известен, а, во-вторых, для решения многих практических задач совсем необязательно знать закон распределения. Достаточно знать отдельные числовые характеристики, которые в сжатой, компактной форме выражают наиболее существенные черты распределения.
Например, можно составить законы распределения двух случайных величин – числа очков, выбиваемых двумя стрелками, – и выяснить, какой из двух стрелков стреляет лучше. Однако, даже не зная законов распределения, можно сказать, что лучше стреляет тот, кто в с р е д н е м выбивает большее количество очков. Таким средним значением случайной величины является математическое ожидание.
Математическое ожидание случайной величины
Определение: Математическим ожиданием, или средним значением, M(X) д и с к р е т н о й случайной величины X называется сумма произведений всех ее значений на соответствующие им вероятности: 
Заменим в формуле для дискретной случайной величины знак суммирования по всем ее значениям знаком интеграла с бесконечными пределами, дискретный аргумент xi – непрерывно меняющимся 
Рассмотрим свойства математического ожидания.
Пример:
Найти математическое ожидание случайной величины Z = 8X – – 5Y + 7, если известно, что M(X) = 3, M(Y) = 2.
Решение:
Используя свойства 1, 2, 3 математического ожидания, находим 
Итак, мы установили, что математическое ожидание является важной числовой характеристикой случайной величины. Однако одно лишь математическое ожидание не может в достаточной степени характеризовать случайную величину. Вернемся к задаче о стрелках. При равенстве средних значений числа выбиваемых очков, вопрос о том, какой из стрелков стреляет лучше, остается открытым. Однако в этом случае можно сделать предположение, что лучше стреляет тот стрелок, у которого отклонения числа выбитых очков от среднего значения меньше.
Мерой рассеяния значений случайной величины вокруг ее математического ожидания служит дисперсия (слово дисперсия означает «рассеяние).
Дисперсия случайной величины
Определение: Дисперсией D(X) случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от математического ожидания: 
Для дискретной случайной величины X эта формула принимает вид: 
Для непрерывной случайной величины: 
На практике для вычисления дисперсии часто удобно пользоваться следующей теоремой.
Теорема. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом ее математического ожидания: 
Для дискретной случайной величины X эта формула принимает вид: 
Для непрерывной случайной величины: 
Рассмотрим свойства дисперсии.
Пример №1
Найти дисперсию случайной величины Z = 8X – 5Y + 7, если известно, что D(X) = 1, D(Y) = 2.
Решение:
Используя свойства дисперсии, находим 
Среднее квадратическое отклонение случайной величины
Дисперсия D(X) имеет размерность квадрата случайной величины, что не всегда удобно. Поэтому в качестве показателя рассеяния используют также величину
Определение: Средним квадратическим отклонением (или стандартным отклонением) σ(Х) случайной величины Х называют значение квадратного корня из ее дисперсии: 
Свойства среднего квадратического отклонения вытекают из свойств дисперсии.
Мода и медиана. Квантили
Кроме математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения, в теории вероятностей применяется еще ряд числовых характеристик, отражающих те или иные особенности распределения.
Определение: Модой Мо(Х) случайной величины Х называется ее наиболее вероятное значение (для которого вероятность pi или плотность вероятности f(x) достигает максимума).
Если вероятность или плотность вероятности достигает максимума не в одной, а в нескольких точках, распределение называется полимодальным.
Определение: Медианой Ме(Х) непрерывной случайной величины Х называется такое ее значение, для которого 
т. е. вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньшее медианы или большее ее, одна и та же и равна 1/2. Геометрически вертикальная прямая х = Ме(Х), проходящая через точку с абсциссой, равной Ме(Х), делит площадь фигуры под кривой распределения на две равные части. Очевидно, что в точке х = Ме(Х) функция распределения равна 1/2.
Пример №2
Найти моду, медиану случайной величины Х с плотностью вероятности 
Решение:
Кривая распределения представлена на рис. 5.1 Очевидно, что плотность вероятности максимальна при х= Мо(Х) = 1. Медиану Ме(Х) = найдем из условия 
или 
откуда 
Наряду с модой и медианой для описания случайной величины используется понятие квантиля.
Определение: Квантилем уровня q (или q-квантилем) называется такое значение хq случайной величины, при котором функция ее распределения принимает значение, равное q, т. е. 
Пример №3
По данным примера 5.3 найти квантиль 
Решение:
Находим функцию распределения 
Моменты случайных величин. Асимметрия и эксцесс
Среди числовых характеристик случайной величины особое место занимают моменты – начальные и центральные.
Определение: Начальным моментом k-го порядка случайной величины Х называется математическое ожидание k-ой степени этой величины: 
Для дискретной случайной величины формула начального момента имеет вид: 
Для непрерывной случайной величины: 
Определение: Центральным моментом k-го порядка случайной величины Х называется математическое ожидание k-ой степени отклонения случайной величины Х от ее математического ожидания: 
Для дискретной случайной величины формула центрального момента имеет вид:
Для непрерывной случайной величины: 
Нетрудно заметить, что при k = 1 первый начальный момент случайной величины Х есть ее математическое ожидание
при k = 2 второй центральный момент – дисперсия 
Т.е. первый начальный момент характеризует среднее значение распределения случайной величины Х; второй центральный момент – степень рассеяния распределения Х относительно математического ожидания. Для более подробного описания распределения служат моменты высших порядков.
Третий центральный момент μ3 служит для характеристики ассиметрии (т.е. скошенности ) распределения. Он имеет размерность куба случайной величины. Чтобы получить безразмерную величину, ее делят на 
, где σ – среднее квадратическое отклонение случайной величины Х.
Полученная величина А называется коэффициентом асимметрии случайной величины: 
Если распределение симметрично относительно математического ожидания, то коэффициент асимметрии равен нулю А = 0.
На рис. 5.2 показаны две кривые распределения 1 и 2. Кривая 1 имеет положительную (правостороннюю) асимметрию (А > 0), а кривая 2 – отрицательную (левостороннюю) асимметрию (А
При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org
Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи
Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей
Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.
Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.