Что является высотой ромба

Высота ромба онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора ромба можно найти высоту ромба по известным элементам. Для нахождения высоты ромба введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть смотрите ниже.

1. Высота ромба через сторону и площадь

Пусть задан ромб (Рис.1).

Формула площади ромба через сторону и высоту имеет следующий вид:

Откуда легко вывести формулу высоты ромба через сторону и площадь:

2. Высота ромба через сторону и угол

Рассмотрим ромб со стороной a и углом α между сторонами (Рис.2). Выведем формулу вычисления высоты ромба через сторону и угол.

Проведем высоту AH. Для прямоугольного треугольника AHB применим теорему синусов:

Откуда получим формулу вычисления высоты ромба через сторону и угол между сторонами:

Заметим, что формула (2) справедлива для любого угла ромба, как для острого, так и для тупого угла. Действительно. Из четвертого свойста ромба (см. статью Ромб) следует, что сумма соседних углов ромба равна 180°. Тогда для угла C можно записать: \(\small \angle C=180°-\alpha.\) Следовательно \(\small \sin \angle C=\sin(180°-\alpha)=\sin \alpha.\) Получили, что синусы углов ромба равны. Поэтому в качестве угла между сторонами ромба можно выбрать любой угол ромба.

3. Высота ромба через диагонали

Выведем формулу вычисления высоты ромба через диагонали. Плошадь ромба через диагонали вычисляется формулой (см. статью Площадь ромба):

а через сторону и высоту, формулой

Из формул (3) и (4) следует:

Выразим сторону a ромба через диагонали. Поскольку диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам точкой их пересечения (свойства 5 и 6 ромба), то диагонали делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника (Рис.3).

Применим к прямоугольному треугольнику AOB теорему Пифагора:

Подставим (7) в (5) и найдем h:

4. Высота ромба через угол и противолежащую диагональ

Пусть известны один из углов α=∠ABC ромба и противолежащая диагональ d=AC (Рис.4). Выведем формулу вычисления высоты ромба.

Проведем другой диагональ BD. Как было отмечено выше, диагонали ромба разделяют его на четыре равных прямоугольных треугольников. Применим теорему синусов для прямоугольного треугольника AOB:

С другой стороны (см. параграф 2):

Применяя формулу двойного угла для \(\small \sin \alpha, \) имеем: \(\small \sin \alpha=2 \cdot \sin \frac<\alpha> <2>\cdot \cos \frac<\alpha> <2>. \) Подставляя это равенство в формулу (11), получим формулу высоты ромба через угол и противолежащую диагональ:

5. Высота ромба через угол и диагональ из данного угла

Пусть известны один из углов α=∠ABC ромба и диагональ из данного угла d=BD (Рис.5). Выведем формулу вычисления высоты ромба.

Проведем другой диагональ AC. Как было отмечено в выше, диагонали ромба разделяют его на четыре равных прямоугольных треугольников. Для прямоугольного треугольника AOB, имеем:

Учитывая, что \( \small BO=\frac<\large d><\large 2>\) и \( \small \angle ABO=\frac<\large \alpha><\large 2>\), формулу (13) можно записать так:

или, учитывая что \(\small \sin \alpha=2 \cdot \sin \frac<\alpha> <2>\cdot \cos \frac<\alpha> <2>, \) получим:

6. Высота ромба через радиус вписанной в ромб окружности

Покажем, что высота ромба через радиус вписанной окружности вычисляется по формуле:

В статье Площадь ромба показали, что площадь ромба через сторону и высоту вычисляется формулой

а площадь ромба через сторону и радиус вписанной окружности − формулой:

Источник

Сторона и высота ромба

Свойства

Ромб – это геометрическая фигура, у которой все стороны равны, поэтому ее периметр, как и периметр квадрата равен стороне, умноженной на 4. Площадь ромба зависит не только от его стороны, но и высоты, так как ромб является параллелограммом, эта формула заимствована от него. Чтобы вычислить площадь ромба необходимо умножить высоту на его сторону. P=4a S=ah

Углы ромба также связаны с высотой, так как она образует внутри ромба прямоугольный треугольник. Синус угла α в ромбе равен отношению высоты, как катета, к стороне ромба, как гипотенузе. Угол β можно найти через разность 180 градусов и угла α. (рис.115.1) sin⁡α=h/a β=180°-α

Зная любой угол ромба, можно найти его диагонали. Поскольку диагонали ромба пересекаются под прямым углом, они делят ромб на четыре конгруэнтных прямоугольных треугольника, катетами которых являются половины диагоналей и гипотенузой – сторона ромба. Соответственно в каждом таком треугольнике, углы равны половинам углов ромба. Вычислить диагонали через угол α можно, приравняв их к стороне ромба умноженной на синус или косинус α соответственно. (рис.115.2) d_1=a sin⁡〖α/2〗 d_1=a cos⁡〖α/2〗

Так как ромб является равносторонним многоугольником, следовательно, в него можно вписать окружность. Радиус вписанной окружности соединяет ее центр в точке пересечения диагоналей и сторону ромба перпендикулярным ей отрезком. Поскольку единственным перпендикуляром в ромбе является высота, то в совокупности с вышеописанным свойствами можно сделать вывод, что радиус равен половине высоты ромба. (рис.115.3) r=h/2

Источник

Ромб. Свойства и признаки ромба

Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Если у ромба – прямые углы, то он называется квадратом.

Свойства ромба

1. Поскольку ромб – это параллелограмм, то все свойства параллелограмма верны для ромба.

Помимо этого:

2. Диагонали ромба перпендикулярны.

3. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

4. Сумма квадратов диагоналей равна квадрату стороны, умноженному на 4.

Признаки ромба

Чтобы параллелограмм оказался ромбом, необходимо выполнение одного из следующих условий:

1. Все стороны параллелограмма равны между собой ().

2. Диагонали пересекаются под прямым углом ().

3. Диагонали параллелограмма являются биссектрисами его углов.

Площадь ромба

Смотрите также таблицу-шпаргалку «Площади простейших фигур» здесь.

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Источник

Формулы ромба

Для расчёта всех основных параметров ромба воспользуйтесь калькулятором.

Свойства ромба

Признаки ромба

Формулы стороны ромба

Длина стороны ромба через площадь (S) и высоту (AE)

Длина стороны ромба через площадь (S) и синус угла

Длина стороны ромба через диагонали

Длина стороны ромба через диагональ и угол

Длина стороны ромба через периметр

Формулы диагоналей ромба

Длина большой диагонали ромба через сторону и косинус острого угла(∠CDA) или косинус тупого угла(∠DAB)

Длина малой диагонали ромба через сторону и косинус острого угла(∠CDA) или косинус тупого угла(∠DAB)

Длина диагонали ромба через сторону и другую диагональ

Длина диагонали ромба через площадь и другую диагональ

Длина диагонали ромба через тангенс острого tg(∠CDA) или тупого tg(∠DAB) угла и другую диагональ

Формулы площади ромба

Площадь ромба через высоту (AE) и сторону

Площадь ромба через сторону и синус любого угла

Площадь ромба через две диагонали

Площадь ромба через большую диагональ и тангенс острого угла(∠CDA) или малую диагональ и тангенс тупого угла(∠DAB)

Формулы радиуса круга вписанного в ромб

Радиус вписанного круга в ромб через высоту ромба (AE)

Радиус вписанного круга в ромб через площадь и сторону ромба

Радиус вписанного круга в ромб через сторону и синус любого угла

Радиус вписанного круга в ромб через диагональ и синус угла

Радиус вписанного круга в ромб через две диагонали

Источник

Основные сведения о ромбах — формула нахождения ромба

Что такое ромб

Ромб — четырехугольник (параллелограмм), у которого все стороны равны.

Одним из видов ромба является квадрат.

Признаки ромба

Параллелограмм можно назвать ромбом, если выполняется хотя бы одно из следующих условий:

Основные свойства ромба

Ромб — параллелограмм, следовательно, все свойства параллелограмма присущи и ромбу. Но можно выделить свойства, которые справедливы только для ромба.

2. Диагонали ромба являются его биссектрисами.

3. Сумма квадратов диагоналей равен четырем квадратом стороны.

A C 2 + B D 2 = 4 A B 2

Площадь ромба

2. Площадь ромба равна произведению квадрата одной из сторон и синуса угла.

3. Площадь ромба равна произведению длины стороны ромба на высоту, опущенную к ней.

Примеры решения задач

Решение: Составим уравнение исходя из третьего свойства ромба.
A C 2 + B D 2 = 4 A B 2

Ответ: длина стороны AB=6.5

Дано: A B C D — р о м б ; ∠ A + ∠ C = 120 ° ; P A B C D = 68

1 способ — P = 68 = > A B = 68 : 4 = 17 = > A B = B C = D C = A D = 17 ;

2 способ — ∠A=∠D (по свойствам ромба) ; ∠ A = ∠ C = 120 : 2 = 60 °

▵ A B O — прямоугольный (т.к. диагонали в ромбе пересекаются под прямым углом)

Ответ: длина стороны BD=17

Задания для самостоятельной работы

Сумма двух углов ромба равна 120°, а его меньшая диагональ равна 15. Найдите периметр ромба.

Найдите площадь ромба, если его высота равна 2, а острый угол 30°.

Источник