математика и прикладная математика в чем разница
О математике прикладной и чистой
Здесь также можно найти биографические сведения о некоторых цитируемых ученых:
(Д. И. Фонвизин «Недоросль», 1783)
Академик А. Н. Крылов (1863–1945):
«Это может служить отличным пояснением разницы между математикой чистой и прикладной, только здесь не шесть недель, например, теория конических сечений была «существительной», а две тысячи лет, пока Кеплер воспользовался ею для создания точной теории движения небесных тел, а от этой теории Ньютон затем создал механику, служащую основой всей физики и техники.»
(Крылов А. Н. Прикладная математика и техника // Воспоминания и очерки. М.: АН СССР, 1956)
Дж. У. Гиббс (1839–1903):
Математик может говорить, что ему хочется, но физик должен, хотя бы в какой-то мере, быть в здравом рассудке.
Из рассказов академика В. И. Смирнова (1887–1974):
«А знаете у кого я слушал курс теории вероятностей? У самого Андрея Андреевича Маркова (старшего). О, это был человек крутого нрава! Он начал свою первую лекцию так: «Господа! Некто Гильберт недавно выдвинул перед математиками всего мира 23 задачи, объявив их почему-то наиболее важными. И среди них имелось предложение переделать теорию вероятностей на аксиоматической основе. К сожалению, наше математическое общество сочло возможным согласиться с господином Гильбертом и рекомендовало вниманию своих членов все без исключения придуманные им задачи. В знак протеста я немедленно вышел из этого общества!» Здесь Андрей Андреевич медленно обвел глазами аудиторию и, немного помолчав, сказал:»А теперь приступим к делу.».
А знаете у кого я слушал лекции по теории чисел? У самого Успенского! А начал он первую лекцию так: «В последнее время многие математики уделяют серьезное внимание точному определению понятия целого числа. Но, господа, не будем же мы здесь тратить свое время на рассмотрение вопроса, ясного всякой рыночной торговке? И при этом без каких-либо шансов добавить что-либо существенное к тому, что она уже отлично знает!»
(В.В.Новожилов «Воспоминания. В.И.Смирнов» В кн. «Вопросы механики сплошной среды», Л.: Судостроение, 1989. С. 384–385)
Из отзыва академика Л. Д. Ландау (1908–1968) на программу по математике, составленную для одного из физических факультетов:
«При всей важности математики для физиков физика, как известно, нуждается в считающей аналитической математике; математики же, по не понятной мне причине, подсовывают нам в качестве принудительного ассортимента логические упражнения. Мне кажется, что давно пора обучать физиков тому, что они сами считают нужным для себя, а не спасать их души вопреки их собственному желанию. Мне не хочется дискутировать с достойной средневековой схоластики мыслью, что путем изучения ненужных им вещей люди будто бы научаются логически мыслить. Я категорически считаю, что из математики, изучаемой физиками, должны быть полностью изгнаны всякие теоремы существования, слишком строгие доказательства и т.п. Поэтому я не буду отдельно останавливаться на многочисленных пунктах Вашей программы, резко противоречащих этой точке зрения».
Академик В. В. Новожилов (1910–1987):
«Расцвет аксиоматической математики в ХХ в. привел ко все большему углублению различий между мышлениями «чистых» и прикладных математиков, ввиду чего все труднее становится совмещать работу в обоих направлениях. В связи с этим возникли серьезные до сих пор не решенные проблемы в области обучения математике. Испокон веков профессиональных математиков готовят в университетах на соответствующих факультетах. В настоящее время многочисленные университеты страны ежегодно выпускают большую армию математиков, воспитанную, разумеется, в духе наиболее современных идей, т.е. идей стерильной строгости.
. В соответствии с обрисованным положением выпускники-математики в своем большинстве имеют смутные представления о круге интересов деятельности прикладных математиков, в лучшем случае считая, что в современных условиях она сводится к программированию на ЭВМ (руководствуясь при этом, разумеется, только строго обоснованными алгоритмами).
. Чтобы представить себе, насколько это опасно, рассмотрим следующий гипотетический пример. На одном (произвольно выбранном) автомобильном заводе в Детройте ежедневно записывается число машин, выпущенных начиная с первого числа текущего года, а в реке Москве в те же самые дни измеряется и записывается уровень воды. Получаются два ряда величин, между которыми по вполне определенному закону установлено однозначное соответствие, откуда следует, что уровень воды в реке Москве есть функция выпуска автомобилей в Детройте. Не торопитесь смеяться! С точки зрения современной математики преподаватель, который привел бы этот пример для пояснения понятия функции, был бы совершенно прав. С точки зрения прикладного математика (естествоиспытателя, инженера), всегда имеющего дело с причинными связями и подразумевающего под функцией зависимость одной переменной физической величины от другой, этот пример воспринимается как вопиющая нелепость.
Замкнутая в себе стерильная математика — это не только «роскошь», которую может себе позволить цивилизация, но и неизбежное следствие цивилизации. С этой точки зрения борьба с чрезмерным распространением математического формализма среди населения земного шара является проблемой экологической».
Академик В. И. Арнольд:
«Обычное (хотя обычно и скрываемое) мнение как чистых математиков, так и теоретических физиков об «индустриальной и прикладной» математике состоит в том, что это — мафия слабых мыслителей, неспособных произвести никакие важные научные результаты, а просто эксплуатирующих достижения чистых математиков прошлых поколений, что члены этой мафии более заинтересованы в деньгах, чем в науке и безнадежно испорчены.
«Они так скромны, — сказал однажды один чистый математик, — что не надеются добиться чего-либо честным путем; им приходится отделяться от математиков просто для того, чтобы избежать честного соревнования».
Я не думаю, чтобы эта характеристика прикладных математиков была полностью заслуженной. Достижения склонного к бизнесу Галилея вызывают не меньшее восхищение, чем результаты чистого философа Паскаля.
Разница между чистой и прикладной математикой не научная, а лишь социальная. Чистому математику платят за то, чтобы он открывал новые математические факты. Прикладному математику платят за решение вполне определенных задач.
ПРИМЕР. Колумб вначале действовал подобно прикладному ученому, стараясь найти путь в Индию, за что ему и платили. В конце его путешествие напоминало деятельность чистого математика. Заметим, что непосредственная, немедленная польза для испанской экономики от открытий Колумба была гораздо меньшей, чем от каботажных плаваний рядовых капитанов.
. Проблема Ферма тоже была бы прикладной, если бы за ее решение платили. Опасность разделения математики на части хорошо осознавали математики двадцатого века. Герман Вейль писал: «В наше время за душу каждой области математики борются ангел топологии и дьявол абстрактной алгебры».
В первой половине века дьявол побеждал. Вслед за Лагранжем, изгнавшим из математики чертежи, пришли алгебраисты и аксиоматизаторы — сперва Гильберт, затем Бурбаки.
. Гильберт провозгласил демократический принцип, по которому всякая система аксиом имеет равное право быть исследованной, а значение математического достижения определяется лишь его трудностью, как в альпинизме. Результатом явился развод «чистой» математики со всеми науками, преступная по отношению к обучаемым система обучения математике и образ математики в общественном мнении как опасной паразитической секты на теле науки и техники, состоящей из жрецов умирающей религии, вроде друидов.
. Мстя за унижения, перенесенные в школе, правители большинства стран, подобно свиньям под дубом, предпринимают теперь, после уменьшения военного противостояния, усилия для изничтожения математики, особенно «чистой». Правительство США недавно выяснило, что 85% имеющихся и обучающихся математиков стране не нужны. Без звездных войн не нужны ни суперколайдеры, ни математики. Обсуждаются различные проекты, как сократить число математиков в семь раз. Американские специалисты считают, что на это потребуется лет десять.
К сожалению, нельзя не признать, что «чистые» математики своими руками сделали все для того, чтобы создать описанное общественное мнение. Аксиоматически-дедуктивный метод, приведший к изгнанию всех примеров (а особенно мотивировок вводимых определений) в преподавание математики на всех уровнях прежде всего ответственен за это.»
(В. И. Арнольд. Топологические проблемы теории распространения волн // Успехи мат. наук. 1996. Т. 51, вып. 1 (307). С. 3-5)
Академик В. В. Новожилов:
«Достоинство теоретика состоит в умении, абстрагируясь от ряда деталей, создавать простые математические модели сложных явлений. Он должен выделить «чистый» закон из опыта, «загрязненного» побочными эффектами, как это сделал, например, Галилей, сформулировав закон инерции. Конструктор, наоборот, должен быть предельно конкретен, энциклопедичен в своих знаниях, должен хранить в них опыт, накопленный предыдущей инженерной практикой, опыт, который зачастую не может быть облечен в теоретическую форму. При проектировании сложных конструкций нет ничего второстепенного. В технике крупные неудачи чаще всего встречаются из-за упущений в мелочах.
Другим примером, показывающим, что склонность к абстрагированию не может привести ни к чему хорошему, является деятельность хирургов. Один опытный хирург говорил мне, что, хотя операция аппендицита и считается простой, пока не прооперируешь сто больных, не увидишь случая, похожего на один из предыдущих. Всякий раз приходится приспосабливаться к случайной обстановке, быть готовым к неожиданностям.
Таким образом, конструкторы и хирурги по складу своего мышления ближе, чем, скажем, конструкторы и современные математики-алгебраисты, являющиеся на сегодня наиболее яркими представителями абстрактного, формально-логического мышления. И если бы конструктору предоставили на выбор право взять себе в подручные хирурга или алгебраиста, я бы на его месте выбрал первого: благодаря одинаковому складу мышления им гораздо легче достигнуть взаимопонимания.
Разумеется, деление людей на «абстрактных» и «конкретных» — само по себе абстрактно. Каждый индивидуум наделен способностью и к конкретному и к абстрактному мышлению. Можно говорить о преобладании у разных людей той или иной его формы.
Существует предание, что один из учеников великого математика нашего века Гильберта к общему удивлению вдруг стал писателем.
«Но это же очень просто, — заметил по этому поводу Гильберт, — для математика у него не хватало воображения, в то время как его хватило на романы»
Реплику Гильберта иногда расценивают как чуть ли не доказательство интеллектуального превосходства математической деятельности. Жаль, однако, что Гильберт не попытался написать хотя бы один рассказ. Он тогда бы убедился, что если у его ученика не хватало того вида воображения, который нужен для математика, то у него самого полностью отсутствует вид воображения, который нужен писателю.
. Гаусс называл математику «царицей наук», а ее раздел «Теория чисел» «царицей математики». Но ведь прикладная ценность большинства результатов теории чисел незначительна! Что бы выиграла техника, если бы наконец была доказана теорема Ферма, являющаяся перчаткой, брошенной в лицо математикам триста лет назад? Да ровно ничего! Но нельзя оспаривать, что это было бы одной из великих побед ума, а вместе с тем и всей культуры. Поэтому инженеры и физики не вправе вмешиваться в дела математиков, учить их, что для них важно, а что нет, и как им подготавливать свою научную смену. В этом мы не компетентны. Но мы вправе ожидать и от них должного понимания наших интересов в области преподавания математики инженерам и здесь, несомненно, имеем право решающего голоса.»
(В.В.Новожилов. О принципах преподавания математики школьникам и инженерам // Вопросы механики сплошной среды. Л.: Судостроение, 1989)
Аристотель (384-322 до н.э.)
А математической точности нужно требовать не для всех предметов, а лишь для нематериальных. Вот почему этот способ не подходит для рассуждающего о природе, ибо вся природа, можно сказать, материальна.
(Аристотель «Метафизика») Писатель В.Конецкий (1929–2002):
«Бывший министр просвещения и науки Англии профессор Бертрам Боуден заметил, что если закон, которому подчиняется рост числа ученых в наше время, будет действовать в течение еще двух столетий, то все мужчины, женщины и дети, все собаки, лошади и коровы будут учеными. К тому же времени у человечества не станет денег на поиск все новой и новой информации. Вот тогда-то в цену и войдет не талант искателя новизны, а способность из гор старых знаний, путем ассоциаций и неожиданных состыкований их, высекать искры постижений. И появится профессия «ассоциантов». Людей дилетантского знания из множества областей. И это неизбежно. И уже сегодня надо отбирать таких людей и давать им свободу шататься с факультета на факультет, продлив им студенческую стипендию до самой смерти.
О, это будут люди самой странной профессии во Вселенной. Им будет разрешено глухой ночью бродить по Эрмитажу или Лувру. И они будут слушать мраморное дыхание античных богинь в тишине раннего утра. И у них будет допуск в жилище молодых зверят во все зоопарки. Их будут приглашать в запретные уголки ботанических садов в моменты, когда раскрываются самые чудесные цветы самых чудесных кактусов. И они будут летать первыми на другие планеты без всяких специальных целей — только ради радости возвращения на Землю. С ними будут кокетничать и лукавить самые обворожительные девушки. И даже самые застенчивые музыканты будут разрешать им сидеть в пустом репетиционном зале, когда нежная музыка еще только в бутонах и непосвященным нельзя глядеть на нее».
(В.Конецкий «На околонаучной параболе»)
Математика – это фундаментальная наука, которая занимается изучением разных структур, их отношений и порядков. Математика, как наука, появилась очень давно, наверное, с возникновением человечества. Уже в раннем палеолите люди были знакомы с основами счета. У людей всегда была необходимость что-то подсчитать или пересчитать. Известно, что для счета люди пользовались и пальцами, и камнями, и палками и различными метками. Историю развития математики отсчитывают именно с того момента, как люди научились считать.
Для того чтобы понять, чем отличается прикладная математика от математики, нужно рассмотреть основные понятия, которыми оперирует одна и вторая наука.
Математика
Если посмотреть определение математики в различных словарях и энциклопедиях, то можно заметить, что единого точного определения математики не существует. Однако мы все интуитивно понимаем, что такое математика. Наилучшее определение было дано, наверное, Бурбаки.
Бурбаки – это псевдоним группы математиков, которые написали серию книг по математике. По определению Бурбаки, математика изучает отношения между какими-то объектами. Каждый объект описывается с точки зрения его количественных характеристик. Сущностью математики является описание некоторого набора абстрактных структур.
Из этого определения становится понятно, чем занимается теоретическая математика. Она должна описать отношения различных структур данных.
Математика делится на элементарную и высшую части. Элементарную математику изучают в школе.
Элементарная математика включает в себя такие разделы, как:
Геометрия
Высшая математика состоит из:
В теоретической математике разработан математический аппарат, основу которого составляют обозначения, аксиомы, утверждения. А на базе уже этого аппарата развивается дальнейшая теория, доказываются теоремы и выводятся определенные правила.
Наука математика
Например, в математическом анализе используются такие понятия, как бесконечно малая величина, дифференциал, функция. Алгебра оперирует понятиями множество, группа, кольцо и т.д. Дифференциальные уравнения работают с производной и интегралом. Таким образом, видно, что теоретическая математика разрабатывает некий понятийный аппарат. Английский математик Годфри Харди говорил, что чистая математика не приносит никакой практической пользы.
Прикладная математика
Прикладная математика является частью математики. Если говорить обычным языком, прикладная математика – это математика, которая используется на практике. Прикладная математика изучает и разрабатывает способы применения теоретической математики в других дисциплинах. Если вернуться к словам математика Харди, то в отличие от чистой математики, прикладная математика приносит практическую польз
Разделы прикладной математики
Предметом исследования прикладной математики является применение теоретических математических методов чистой математики в других науках. Например, строятся экономические модели и с помощью методов теории оптимального управления вырабатываются наилучшие управленческие решения.
Использование прикладной математики
В физике или химии для проведения каких-либо экспериментов или опытов, не всегда представляется возможным провести испытания на реальном объекте. Поэтому строится его модель. Модель – это уменьшенная или увеличенная копия реального объекта, которая имеет точно такие же свойства.
Модели бывают математическими. Модель может быть создана и на компьютере с помощью графических редакторов. Моделирование разных физических или химических процессов заканчивается решением с использованием численных методов.
Криптография – это наука, которая занимается шифрованием. В шифровании используются различные математические методы и алгоритмы.
Таким образом, из вышеприведенного понятно, что и чистая математика, и прикладная математика использует одни и те же методы. Но чистая математика использует эти методы для дальнейшего развития теории, а прикладная математика использует математические методы и теорию чистой математики для того, чтобы можно было решать реальные задачи в физике, химии, биологии, статистике, экономике и в других науках.
Чем отличается математика от прикладной математики
Математика – это фундаментальная наука, которая занимается изучением разных структур, их отношений и порядков. Математика, как наука, появилась очень давно, наверное, с возникновением человечества. Уже в раннем палеолите люди были знакомы с основами счета. У людей всегда была необходимость что-то подсчитать или пересчитать. Известно, что для счета люди пользовались и пальцами, и камнями, и палками и различными метками. Историю развития математики отсчитывают именно с того момента, как люди научились считать.
Для того чтобы понять, чем отличается прикладная математика от математики, нужно рассмотреть основные понятия, которыми оперирует одна и вторая наука.
Математика
Если посмотреть определение математики в различных словарях и энциклопедиях, то можно заметить, что единого точного определения математики не существует. Однако мы все интуитивно понимаем, что такое математика. Наилучшее определение было дано, наверное, Бурбаки.
Бурбаки – это псевдоним группы математиков, которые написали серию книг по математике. По определению Бурбаки, математика изучает отношения между какими-то объектами. Каждый объект описывается с точки зрения его количественных характеристик. Сущностью математики является описание некоторого набора абстрактных структур.
Из этого определения становится понятно, чем занимается теоретическая математика. Она должна описать отношения различных структур данных.
Математика делится на элементарную и высшую части. Элементарную математику изучают в школе.
Она включает в себя такие разделы, как:
Высшая математика состоит из:
В теоретической математике разработан математический аппарат, основу которого составляют обозначения, аксиомы, утверждения. А на базе уже этого аппарата развивается дальнейшая теория, доказываются теоремы и выводятся определенные правила.
Прикладная математика
Прикладная математика является частью математики. Если говорить обычным языком, прикладная математика – это математика, которая используется на практике. Прикладная математика изучает и разрабатывает способы применения теоретической математики в других дисциплинах. Если вернуться к словам математика Харди, то в отличие от чистой математики, прикладная математика приносит практическую пользу.
Разделы прикладной математики
Предметом исследования прикладной математики является применение теоретических математических методов чистой математики в других науках. Например, строятся экономические модели и с помощью методов теории оптимального управления вырабатываются наилучшие управленческие решения.
В физике или химии для проведения каких-либо экспериментов или опытов, не всегда представляется возможным провести испытания на реальном объекте. Поэтому строится его модель. Модель – это уменьшенная или увеличенная копия реального объекта, которая имеет точно такие же свойства.
Криптография – это наука, которая занимается шифрованием. В шифровании используются различные математические методы и алгоритмы.
Таким образом, из вышеприведенного понятно, что и чистая математика, и прикладная математика использует одни и те же методы. Но чистая математика использует эти методы для дальнейшего развития теории, а прикладная математика использует математические методы и теорию чистой математики для того, чтобы можно было решать реальные задачи в физике, химии, биологии, статистике, экономике и в других науках.
2. Что такое прикладная математика?
2.1. О «чистой» и «прикладной» математике
Трудно указать предмет, который вызвал бы в последние годы столь ожесточенные споры среди людей, имеющих отношение к математике. Пока идут эти споры, во всех промышленно развитых странах развернулась широкая подготовка специалистов в области прикладной математики; в частности, и в наших институтах специальность «прикладная математика» превращается в одну из наиболее популярных. В то же время многие выдающиеся специалисты утверждают, что никакой прикладной математики вообще нет.
Что же это за область, «которой нет»? И чем занимаются специалисты в этой (еще неизвестно, существующей ли) области?
Математика начала применяться еще до того, как стала наукой. Простые арифметические и геометрические понятия и закономерности проникали во все области человеческой деятельности. Во времена же расцвета античного мира произошло оформление математики как науки с ее характерным дедуктивным методом, согласно которому все ее утверждения выводятся по строгим логическим правилам из немногочисленных исходных положений, принимаемых без доказательства, как аксиомы. С этого периода началось построение грандиозного здания математики.
Однако до последних десятилетий сравнительно сложные разделы математики применялись все же лишь в небольшом числе традиционных областей науки и техники; да и там сложные задачи часто не удавалось довести до практически приемлемого решения.
Применяться могут самые разнообразные разделы математики, и огромное число математических понятий и методов являются как «чистыми», так и «прикладными» (или «преимущественно чистыми», «преимущественно прикладными» и т. п.), т. е. могут входить как в чисто математические, так и в прикладные исследования. Поэтому более правильно говорить о чистой и прикладной математике не как о разделах математики, а как о ее аспектах, подходах к ней, отвечающих, соответственно, тезисам «математика как цель» и «математика как средство». И оказывается, что многие понятия, методы, утверждения в этих двух подходах не только играют существенно различную роль, но порой наполняются и различным содержанием (см. 2.2).
* ( Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей.- М.: ГТТИ, 1934.)
Пока дисциплин, основанных на систематическом применении математики, было немного, а сами методы этого применения были не слишком сложны, потребности в большом числе специалистов по прикладной математике не было. С легкими математическими задачами справлялись сами представители этих дисциплин, а более трудные и принципиально новые задачи изучали такие великие ученые, как Б. Риман, А. Пуанкаре, А. М. Ляпунов и другие (которые были одновременно специалистами как по чистой, так и по прикладной математике!). Однако в период всеобщей математизации, когда прикладные математические задачи становятся все более сложными и разнообразными, такого сочетания усилий недостаточно: великих ученых не хватает на все задачи! В то же время существенный вклад в решение таких задач из самых разнообразных областей человеческой деятельности сейчас могут внести лишь специалисты с широким математическим образованием, владеющие методами применения математики и обладающие соответствующими интересами и навыками. Это и есть «прикладные» математики. В зависимости от темперамента и обстоятельств они могут специализироваться либо в какой-то определенной области приложения математики, например, использовать математические методы в задачах спорта, либо же, будучи в первую очередь математиками, переходить от одной области к другой; могут работать в составе групп или же самостоятельно.