медианный представитель в статистике что такое
Медиана (статистика)
Из Википедии — свободной энциклопедии
Медиа́на (от лат. mediāna «середина») набора чисел — число, которое находится в середине этого набора, если его упорядочить по возрастанию, то есть такое число, что половина из элементов набора не меньше него, а другая половина не больше. Другое равносильное определение [1] : медиана набора чисел — это число, сумма расстояний (или, если более строго, модулей) от которого до всех чисел из набора минимальна. Это определение естественным образом обобщается на многомерные наборы данных и называется 1-медианой.
Например, медианой набора <11, 9, 3, 5, 5>является число 5, так как оно стоит в середине этого набора после его упорядочивания: <3, 5, 5, 9, 11>. Если в выборке чётное число элементов, медиана может быть не определена однозначно: тогда для числовых данных чаще всего используют полусумму двух соседних значений (то есть медиану набора <1, 3, 5, 7>принимают равной 4), подробнее см. ниже. В математической статистике медиана может использоваться как одна из характеристик выборки или совокупности чисел.
Также определяется медиана случайной величины: в этом случае оно определяется как число, которое делит пополам распределение. Грубо говоря, медианой случайной величины является такое число, что вероятность получить значение случайной величины справа от него равна вероятности получить значение слева от него (и они обе равны 1/2), — более точное определение дано ниже.
Можно также сказать, что медиана является 50-м персентилем, 0,5-квантилем или вторым квартилем выборки или распределения.
Медиана в статистике
Центральную тенденцию данных можно рассматривать не только, как значение с нулевым суммарным отклонением (среднее арифметическое) или максимальную частоту (мода), но и как некоторую отметку (значение в совокупности), делящую ранжированные данные (отсортированные по возрастанию или убыванию) на две равные части. Половина исходных данных меньше этой отметки, а половина – больше. Это и есть медиана.
Итак, медиана в статистике – это уровень показателя, который делит набор данных на две равные половины. Значения в одной половине меньше, а в другой больше медианы. В качестве примера обратимся к набору нормально распределенных случайных чисел.
Очевидно, что при симметричном распределении середина, делящая совокупность пополам, будет находиться в самом центре – там же, где средняя арифметическая (и мода). Это, так сказать, идеальная ситуация, когда мода, медиана и средняя арифметическая совпадают и все их свойства приходятся на одну точку – максимальная частота, деление пополам, нулевая сумма отклонений – все в одном месте. Однако, жизнь не так симметрична, как нормальное распределение.
Допустим, мы имеем дело с техническими замерами отклонений от ожидаемой величины чего-нибудь (содержания элементов, расстояния, уровня, массы и т.д. и т.п.). Если все ОК, то отклонения, скорее всего, будут распределены по закону, близкому к нормальному, примерно, как на рисунке выше. Но если в процессе присутствует важный и неконтролируемый фактор, то могут появиться аномальные значения, которые в значительной мере повлияют на среднюю арифметическую, но при этом почти не затронут медиану.
Медиана выборки – это альтернатива средней арифметической, т.к. она устойчива к аномальным отклонениям (выбросам).
Математическим свойством медианы является то, что сумма абсолютных (по модулю) отклонений от медианного значения дает минимально возможное значение, если сравнивать с отклонениями от любой другой величины. Даже меньше, чем от средней арифметической, о как! Данный факт находит свое применение, например, при решении транспортных задач, когда нужно рассчитать место строительства объектов около дороги таким образом, чтобы суммарная длина рейсов до него из разных мест была минимальной (остановки, заправки, склады и т.д. и т.п.).
Формула медианы
Формула медианы в статистике для дискретных данных чем-то напоминает формулу моды. А именно тем, что формулы как таковой нет. Медианное значение выбирают из имеющихся данных и только, если это невозможно, проводят несложный расчет.
Первым делом данные ранжируют (сортируют по убыванию). Далее есть два варианта. Если количество значений нечетно, то медиана будет соответствовать центральному значению ряда, номер которого можно определить по формуле:
№Me – номер значения, соответствующего медиане,
N – количество значений в совокупности данных.
Тогда медиана обозначается, как
Это первый вариант, когда в данных есть одно центральное значение. Второй вариант наступает тогда, когда количество данных четно, то есть вместо одного есть два центральных значения. Выход прост: берется средняя арифметическая из двух центральных значений:
В интервальных данных выбрать конкретное значение не представляется возможным. Медиану рассчитывают по определенному правилу.
Для начала (после ранжирования данных) находят медианный интервал. Это такой интервал, через который проходит искомое медианное значение. Определяется с помощью накопленной доли ранжированных интервалов. Где накопленная доля впервые перевалила через 50% всех значений, там и медианный интервал.
Не знаю, кто придумал формулу медианы, но исходили явно из того предположения, что распределение данных внутри медианного интервала равномерное (т.е. 30% ширины интервала – это 30% значений, 80% ширины – 80% значений и т.д.). Отсюда, зная количество значений от начала медианного интервала до 50% всех значений совокупности (разница между половиной количества всех значений и накопленной частотой предмедианного интервала), можно найти, какую долю они занимают во всем медианном интервале. Вот эта доля аккурат переносится на ширину медианного интервала, указывая на конкретное значение, именуемое впоследствии медианой.
Обратимся к наглядной схеме.
Немного громоздко получилось, но теперь, надеюсь, все наглядно и понятно. Чтобы при расчете каждый раз не рисовать такой график, можно воспользоваться готовой формулой. Формула медианы имеет следующий вид:
где xMe — нижняя граница медианного интервала;
iMe — ширина медианного интервала;
∑f/2 — количество всех значений, деленное на 2 (два);
S(Me-1)— суммарное количество наблюдений, которое было накоплено до начала медианного интервала, т.е. накопленная частота предмедианного интервала;
fMe — число наблюдений в медианном интервале.
Как нетрудно заметить, формула медианы состоит из двух слагаемых: 1 – значение начала медианного интервала и 2 – та самая часть, которая пропорциональна недостающей накопленной доли до 50%.
Для примера рассчитаем медиану по следующим данным.
Требуется найти медианную цену, то есть ту цену, дешевле и дороже которой по половине количества товаров. Для начала произведем вспомогательные расчеты накопленной частоты, накопленной доли, общего количества товаров.
По последней колонке «Накопленная доля» определяем медианный интервал – 300-400 руб (накопленная доля впервые более 50%). Ширина интервала – 100 руб. Теперь остается подставить данные в приведенную выше формулу и рассчитать медиану.
То есть у одной половины товаров цена ниже, чем 350 руб., у другой половины – выше. Все просто. Средняя арифметическая, рассчитанная по этим же данным, равна 355 руб. Отличие не значительное, но оно есть.
Расчет медианы в Excel
Медиану для числовых данных легко найти, используя функцию Excel, которая так и называется — МЕДИАНА. Другое дело интервальные данные. Соответствующей функции в Excel нет. Поэтому нужно задействовать приведенную выше формулу. Что поделаешь? Но это не очень трагично, так как расчет медианы по интервальным данным – редкий случай. Можно и на калькуляторе разок посчитать.
Напоследок предлагаю задачку. Имеется набор данных. 15, 5, 20, 5, 10. Каково среднее значение? Четыре варианта:
Мода, медиана и среднее значение выборки – это разный способ определить центральную тенденцию в выборке.
Ниже видеоролик о том, как рассчитать медиану в Excel.
Урок по теории вероятностей и статистике «Медиана» (7-й класс)
Разделы: Математика
Класс: 7
Цель урока: сформировать у учащихся представление о медиане набора чисел и умение вычислять ее для несложных числовых наборов, закрепление понятия среднего арифметического набора чисел.
Тип урока: объяснение нового материала.
Оборудование: доска, учебник под ред. Ю.Н Тюрина “Теория вероятностей и статистика”, компьютер с проектором.
Ход урока
1. Организационный момент.
Сообщить тему урока и сформулировать его цели.
2. Актуализация прежних знаний.
Проверка домашнего задания с помощью проектора (Приложение 1):
3. Изучение нового материала.
На предыдущем уроке мы познакомились с такой статистической характеристикой как среднее арифметическое набора чисел. Сегодня мы посвятим урок еще одной статистической характеристике – медиане.
Не только среднее арифметическое показывает, где на числовой прямой располагаются числа какого-либо набора и где их центр. Другим показателем является медиана.
Медианой набора чисел называется такое число, которое разделяет набор на две равные по численности части. Вместо “медиана” можно было бы сказать “середина”.
Сначала на примерах разберем, как найти медиану, а затем дадим строгое определение.
Рассмотрим следующий устный пример с применением проектора (Приложение 2)
В конце учебного года 11 учеников 7-го класса сдали норматив по бегу на 100 метров. Были зафиксированы следующие результаты:
Результат в секундах
После того как ребята пробежали дистанцию, к преподавателю подошел Петя и спросил, кокой у него результат.
“Самый средний результат: 16,9 секунды”, – ответил учитель
“Почему?” – удивился Петя. – Ведь среднее арифметическое всех результатов – примерно 18,3 секунды, а я пробежал на секунду с лишним лучше. И вообще, результат Кати (18,4) гораздо ближе к среднему, чем мой”.
“Твой результат средний, так как пять человек пробежали лучше, чем ты, и пять – хуже. То есть ты как раз посередине”, – сказал учитель. [ 2 ]
Далее предложить учащимся самостоятельно рассмотреть по учебнику примеры 1,2,3 и сформулировать алгоритм нахождения медианы набора чисел.
Предложить учащимся самостоятельно сформулировать определение медианы набора чисел, затем прочитать в учебнике два определения медианы ( стр. 50), далее разобрать примеры 4 и 5 учебника (стр.50-52)
Обратить внимание учащихся на важное обстоятельство: медиана практически не чувствительна к значительным отклонениям отдельных крайних значений наборов чисел. В статистике это свойство называется устойчивостью. Устойчивость статистического показателя – очень важное свойство, оно страхует нас от случайных ошибок и отдельных недостоверных данных.
4. Закрепление изученного материала.
Решение номеров из учебника к п.11 “Медиана”.
=( 1+3+5+7+9):5=25:5=5
= Ме
Набор чисел: 1,3,5,7,14.
=( 1+3+5+7+14):5=30:5=6
> Ме
а) Набор чисел: 3,4,11,17,21
б) Набор чисел: 17,18,19,25,28
в) Набор чисел:25, 25, 27, 28, 29, 40, 50
Вывод : медиана набора чисел, состоящего из нечетного числа членов равна числу, стоящему посередине.
а) Набор чисел:2, 4, 8, 9.
Медиана набора чисел, содержащего четное число членов равна полусумме двух чисел, стоящих посередине.
Ученик получил в течении четверти следующие оценки по алгебре:
5, 4, 2, 5, 5, 4, 4, 5, 5, 5.
= ( 5+4+2+5+5+4+4+5+5+5): 10=44:10 = 4,4
Упорядочим набор чисел: 2,4,4,4,5,5,5,5,5,5
Всего 10 чисел, чтобы найти медиану надо взять два средних числа и найти их полусумму.
Вопрос к учащимся: Если бы вы были учителем, какую бы вы поставили оценку за четверть этому ученику? Ответ обоснуйте.
Президент компании получает зарплату 300000 руб. три его заместителя получают по 150000 руб., сорок служащих – по 50000 руб. и зарплата уборщицы составляет 10000 руб. Найдите среднее арифметическое и медиану зарплат в компании. Какую из этих характеристик выгоднее использовать президенту в рекламных целях?
= ( 300000+3·150000+40·50000+10000):(1+3+40+1) = 2760000:45
61333,33 (руб.)
В рекламных целях выгоднее использовать среднее арифметическое зарплат, т.к. она выше.
Задача 3. (Предложить учащимся решить самостоятельно, задачу спроецировать с помощью проектора)
В таблице показан примерный объем воды крупнейших озер и водохранилищ России в куб. км. (Приложение 3) [ 4 ]
Объем воды в куб. км
А) Найдите средний объем воды в данных водоемах (среднее арифметическое);
Б) Найдите объем воды в среднем по величине водоеме (медиану данных);
В) По вашему мнению, какая из этих характеристик – среднее арифметическое или медиана – лучше описывает объем типичного крупного водоема России? Ответ объясните.
в) Медиана, т.к. данные содержат значения сильно отличающиеся от всех прочих.
А) Сколько чисел в наборе, если его медианой служит ее девятый член?
Б) Сколько чисел в наборе, если его медианой служит среднее арифметическое 7-го и 8-го членов?
Г) Каждое из чисел набора увеличили на 3. Что произойдет со средним арифметическим и медианой?
Конфеты в магазине продают на вес. Чтобы узнать, сколько конфет содержится в одном килограмме, Маша решила найти вес одной конфеты. Она взвесила несколько конфет и получила следующие результаты:
12, 13, 14, 12, 15, 16, 14, 13, 11.
= 13,33
Для оценки веса одной конфеты пригодны обе характеристики, т.к. они не сильно отличаются друг от друга.
Медиана (статистика)
Также медиану можно определить для случайных величин: в этом случае она делит пополам распределение. Грубо говоря, медианой случайной величины является такое число, что вероятность получить значение случайной величины справа от него равна вероятности получить значение слева от него (и они обе равны 1/2); более точное определение см. ниже.
Можно также сказать, что медиана является 50-м персентилем, 0,5-квантилем или вторым квартилем выборки или распределения.
Связанные понятия
Для определения средних или наиболее типичных значений совокупности используются показатели центра распределения. Основные из них — математическое ожидание, среднее арифметическое, среднее геометрическое, среднее гармоническое, среднее степенное, взвешенные средние, центр сгиба, медиана, мода.
Упоминания в литературе
Связанные понятия (продолжение)
Центра́льные преде́льные теоре́мы (Ц. П. Т.) — класс теорем в теории вероятностей, утверждающих, что сумма достаточно большого количества слабо зависимых случайных величин, имеющих примерно одинаковые масштабы (ни одно из слагаемых не доминирует, не вносит в сумму определяющего вклада), имеет распределение, близкое к нормальному.
Т-критерий Вилкоксона — (также используются названия Т-критерий Уилкоксона, критерий Вилкоксона, критерий знаковых рангов Уилкоксона, критерий суммы рангов Уилкоксона) непараметрический статистический тест (критерий), используемый для проверки различий между двумя выборками парных или независимых измерений по уровню какого-либо количественного признака, измеренного в непрерывной или в порядковой шкале.. Впервые предложен Фрэнком Уилкоксоном. Другие названия — W-критерий Вилкоксона, критерий знаковых.
Глава 8. Статистика и вероятность (стр. 2 )
 | Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3 4 |
Решение. Получившаяся концентрация 12% — это среднее арифметичеекое концентраций обоих раетворов. Примем объем второго раствора за т литров. Тогда
6 1O+m 15 12
Средняя спорость (среднее гармоничеспое)
іЭта задача вызывает много трудностей. Большинство старшекласеников дают ответ 50 км/ч, хотя в учебниках шестого или седьмого класса такие задачи разбираютея подробно. Забыли?
Решение. Обозначим вееь путь N км. Время, затраченное на
путъ в деревню, равно 
Значит, средняя екороеть равна
Как видим, расстояние роли не играет. Но ведь получилось не среднее арифметическое. Число 2 или, что то же
называется средним гармоническим чисел о и
6. Заметим, что ви о, ни b не должвы равняться нулю.
Средний банповсний процент
Задача 203. В какой банк выгоднее поместить вклад сроком
Решение. Узваем, чему равна средняя ставка в банке А. Первый год вклад умножится на b, = 1,09, а во второй год
на # = 1,11. Значит, за два года вклад вырастет в b-,
= 1,09- 1,11 = 1,2099 раз. іЭто то же самое, как если бы банк А каждый год умножал вклад на 1,23009 = 1,09995, то есть
Медиана
и медианный представитель
Задача 204. Найти медиану набора 1; 2; 4; 5; 7; 8; 8.
Задаяа 205. Найти медиану набора чиеел —0,3; —2; 1; 0; 0,3;
Решение. Сначала чиела нужно упорядочить:
—1; —2; —0,3; —0,2; 0; 0,1; 0,3; 1; 1,2; 1,2.
Beero чиеел 10. Одного чиела, етоящего посередине, нет. Не беда — возьмем два. ІЗто числа 0 и 0,1 Медианой будет любое из них, а также любое чиело, раеположенвое между ними. Таким образом, медиан может быть мвого. Обычно в качестве медианы берут среднее арифметическое двух ce-
рединных чиеел: 0+0,1 = 0,05.
Но, повторим, можно взять и 0, или 0,1 или 0,03 и т. п.
Медиана выгодно отличается от среднего арифметичеекого тем, что определяетея ередними по величине чиелами в наборе и не зависит от еамых больших и сампіх малпіх. Говорят, что i38
а) Найдите среднее арифметическое данных.
6) Найдите медиану данных.
г) Какое из этих найденных средних лучше описывает средний расход крупной реки?
Решение. в) Сложим все данные о расходе и разделим на
13. Получим приблизительно 37 646, 15 куб. м/с.
Считается средний объем воды, проходящий за секунду через устье реки в течение периода наблюдений.
6) Упорядочим даннъіе:
13600, 13600, 16000, 16200, ITIOO, 18600, 19200,
Медианой является 7-е по счету значение в этом ряду:
Ответ: в) 37 646,15; 6) 19 200; в) fiрахмалутра; г) Медиана.
После:
Рис. Meduoпнoя фклsтрация восстановияа фото кота