Уравнение метода начальных параметров

ПроСопромат.ру

Технический портал, посвященный Сопромату и истории его создания

Определение перемещений. Метод начальных параметров

Метод начальных параметров (или по универсальным формулам прогибов и углов поворота сечений)

где у₀ и φ₀ – начальные параметры, то есть прогиб и угол поворота в начале координат, которые определяются из условий закрепления балки:

Порядок определения перемещений по универсальным формулам:

При использовании универсальных формул необходимо выполнять следующие требования:

а) В универсальные формулы включать только те внешние силы, которые действуют между началом координат (т.0) и сечением, в котором определяются перемещения. Следует помнить, что опорные реакции – тоже внешние силы.

б) Каждая внешняя сила (М_i, F_i, q_i) вводится со знаком изгибающего момента, который эта сила вызывает в сечении, где определяется перемещение.

Задача

Найти прогиб конца консоли.

откуда А = q·2 + F = 10·2 + 20 = 40кН,

Реализуем эти условия с помощью универсальных формул:

при z = 4м

Знак «плюс» результата говорит о том, что прогиб конца консоли происходит в положительном направлении оси у, то есть вверх.

Для получения численного значения прогиба результат следует разделить на изгибную жёсткость балки ЕI, то есть

Источник

iSopromat.ru

Пример решения задачи по расчету методом начальных параметров (МНП) линейных вертикальных (прогиб) и угловых (угол наклона) перемещений сечений двухопорной, статически определимой балки, при её деформации под действием заданной системы внешних нагрузок.

Для заданной стальной двухопорной балки (рис. 1), нагруженной изгибающим моментом m, сосредоточенной силой F и равномерно распределенной нагрузкой q, требуется методом начальных параметров, определить вертикальное перемещение (прогиб) сечений балки в точках B и D, и угловые перемещения сечений на опорах (в точках A и C).

Предыдущие этапы решения задачи:

Покажем найденные ранее реакции опор:

Методом начальных параметров можно рассчитывать только прямые балки постоянного сечения, выполненные по всей длине из одного материала.

Для расчета перемещений нам потребуется составить два уравнения метода начальных параметров (МНП).

Первое уравнение — для расчета угла наклона θ (тета) сечений балки, второе — для определения их вертикального перемещения (по оси y).

Уравнения МНП

Составление уравнений метода начальных параметров для балки в нашем видеоуроке:

Уравнения составляются по следующим шаблонам:

θ_z и y_z — это соответственно поворот и прогиб рассматриваемого сечения балки расположенного на расстоянии z от начала координат;

θ₀ и y₀ — это угловое и вертикальное перемещения сечения балки в начале координат.
Собственно, это и есть начальные параметры;

В знаменателе перед скобкой — изгибная жесткость поперечного сечения балки, которая определяется произведением модуля Юнга и осевого момента инерции профиля;

Далее, m, F и q — это нагрузки, приложенные к балке, включая опорные реакции и компенсирующую распределенную нагрузку (если она есть);

Буквами a и b обозначаются расстояния от начала координат до соответствующих изгибающих моментов и сосредоточенных сил;

«c» — расстояние от начала координат до сечения, где начинает действовать распределенная нагрузка.

z — положение рассматриваемого сечения балки.

Подготовка к расчету

Перед составлением уравнений МНП для заданной балки неоюходимо выполнить два действия:

За начало координат выбирается крайнее левое или крайнее правое сечение балки.

При этом хорошо, если это сечение располагается на опоре.

В этом случае, прогиб балки в начале координат у₀ будет равен нулю.

В данном примере, на опоре располагается левый конец балки.

Поэтому за начало координат выберем точку A.

2. В случае, когда действие распределенной нагрузки обрывается, не доходя до конца балки, её действие необходимо продлить до конца, и на этом же участке добавляется компенсирующая нагрузка той же величины, но обратного направления.

Это делается потому, что значение «c» в уравнениях МНП учитывает только начало действия нагрузки.

В данной схеме, распределенная нагрузка q, начинаясь в точке A, продолжается только до сечения C, поэтому продляем её действие до конца балки (точки D)

и, чтобы вернуться к исходной схеме нагружения, на этой же длине (CD) добавляем компенсирующую нагрузку q, направленную вверх.

Теперь можно переходить к составлению уравнений метода начальных параметров.

Составление уравнений МНП для балки

Уравнения МНП записываются последовательно по каждому силовому участку от начала координат.

Нагрузки в уравнения записываются с учетом их знака по правилу знаков для изгибающих моментов:

Нагрузки, сжимающие верхние слои балки записываются положительными, а сжимающие нижние слои — отрицательными.

Составим уравнение угловых перемещений θ_z:

Переписываем часть уравнения до скобки без изменений и открываем скобку.

Здесь будут записаны нагрузки по участкам, начиная с первого от начала координат.

Для удобства можно мысленно провести сечение участка.

Смотрим в сторону начала балки, и видим опорную реакцию R_A и распределенную нагрузку q.

R_A стремится сжать верхние слои балки, поэтому записывается положительной, нагрузка q отрицательна, т.к. сжимает нижние слои балки.

b и c — расстояния от начала координат до соответственно реакции опоры и начала нагрузки, здесь равны нулю.

Обратите внимание: записав в уравнение МНП распределенную нагрузку на этом участке, мы записали всю верхнюю нагрузку целиком. По каждому участку ее записывать не нужно.

Так как слева от сечения нагрузок больше нет, отделяем эту часть уравнения и показываем, что она будет справедлива для всех сечений балки от точки A до точки B включительно.

Переходим на второй силовой участок балки от начала координат.

Здесь так же, можно провести мысленное сечение между точками B и C и глядя в сторону начала балки, видим, что добавляется изгибающий момент m, который стремится сжать нижние слои балки.

Записываем его с минусом в следующем виде.

Получилось уравнение для расчета угловых перемещений для всех точек второго силового участка балки.

Переходим на третий.

Проводим сечение, и смотрим в сторону начала координат.

Добавляем вторую реакцию R_C и компенсирующую (нижнюю) распределенную нагрузку q.

По правилу знаков, они будут положительными.

Получаем уравнение для третьего участка и закрываем скобку.

Силу F, приложенную в точке D не записываем.

Сосредоточенные силы и моменты, приложенные к концу балки, в уравнениях не участвуют.
В данном методе, они оказывают влияние на деформацию балки через опорные реакции.

Уравнение прогибов балки составляется аналогично.

В полученные уравнения подставляем все имеющиеся данные и значения.

Общую для всех нагрузок, кратную приставку «кило» выносим за скобки, и можно еще немного сократить выражения.

Переменную z мы будем задавать сами, поэтому в уравнениях для заданной балки остаются неизвестными только начальные параметры θ₀ и y₀.

Нахождение начальных параметров

Начальные параметры определяются из граничных условий, по способу закрепления балки в опорах.

Рассматривая двухопорную балку, мы точно знаем, что при ее деформации, сечения расположенные на шарнирных опорах, по вертикали не перемещаются.

Другими словами, прогибы балки в точках A и C равны нулю.

Из первого условия следует, что рационально выбрав начало координат, мы сразу получили значение y₀. Здесь оно равно нулю, т.к. нулевое сечение находится на опоре.

Второе условие используем для нахождения второго начального параметра θ₀.

Запишем уравнение прогибов для точки C, приравняв его к нулю и подставив соответствующее значение z.

Откуда находим значение поворота сечения в начале координат.

Поворот сечения получаем в радианах, вертикальное перемещение — в метрах.

Для консольных балок, начало координат однозначно следует выбирать в заделке. В этом случае нулю будут равны оба начальных параметра.

Теперь, когда известны все данные, можно рассчитать искомые перемещения сечений, выбирая соответствующую часть уравнений и подставляя координату z рассматриваемой точки.

Расчет перемещений сечений балки

Для нахождения прогиба в точке B берем часть уравнения метода начальных параметров для первого участка и z равную 2 метра.

Для точки D записываем уравнение целиком и подставляем вместо z всю длину балки.

Аналогично, используя первое уравнение, определяем углы наклона сечений на опорах.

Угловое перемещение сечения на левой опоре уже найдено при расчете начальных параметров

Наклон сечения на правой опоре, в т. C

По этим данным строим линию изогнутой оси балки или эпюру перемещений.

Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах

Источник

Метод начальных параметров

1. Все основные величины, используемые при расчете строительных конструкций, в частности балок постоянного сечения, связаны между собой следующими дифференциальными зависимостями:

tgθ_х = (y)’ = dy/dx (537.3)

1.4. При этом прогиб f рассматривается, как координата у в рассматриваемой точке или как кривизна нейтральной оси балки в данной точке:

Рисунок 537.1. Радиус кривизны и тангенс угла поворота для однопролетной балки на шарнирных опорах при действии симметричной нагрузки.

f_х = k_x = y»/((1 + (dy/dx) 2 ) 3/2 (537.4)

так как при деформации в пределах упругости кривизна нейтральной оси в рассматриваемой точке составляет:

При малых значениях угла поворота, а как правило эти углы при деформациях балок не превышают 0.3-0.6°, значением квадрата первой производной на значение прогиба можно пренебречь. Например tg0.6° = 0.01, а (tg0.6°) 2 = 0.00011. Это позволяет определять прогиб по упрощенной формуле:

f_х = y» = d 2 y/dx 2 (537.4.2)

Примечание

Изложенный выше подход, когда кривизна балки в некоторой точке рассматривается как прогиб или координата у в этой точке на эпюре прогибов, т.е. k_х = y_х = f_х, часто встречается в учебниках и справочниках по теории сопротивления материалов, а также в нормативных документах, например в СП 52-101-2003, СНиП 2.03.01-84 и других.

Между тем такой подход кажется мне не правильным по двум причинам:

2. При больших значениях угла поворота k ≠ f и в этом достаточно легко можно убедиться.

Например, если у нас нейтральная линия балки соответствует дуге m с радиусом 3, как показано на рисунке 537.2 (что конечно же маловероятно, но теоретически возможно):

Рисунок 537.2. Дуга, соответствующая положению нейтральной линии балки.

Кроме того, так как углы поворота поперечных сечений достаточно малы, то предполагается, что:

И хотя это не так, в чем мы убедились, определив тангенс угла 0.6°, тем не менее такое допущение, а также упрощенное определение прогиба позволяют значительно упростить запись уравнения зависимости между всеми указанными величинами:

EIθ_x =∫dx∫dx∫f(x)dx + Cx 2 /2 + Dx + В = ∫M_xdx + θ₀EI + M₀x + Qx 2 /2 (537.9)

EIw_x = ∫dx∫dx∫dx∫f(x)dx + Сx3/6 + Dx 2 /2 + Bx + A =

А если хотя бы один начальный параметр известен, то решая уравнения (537.7)-(537.10), мы можем определить не только остальные начальные параметры, но и все остальные требуемые значения, например, прогиб или угол поворота.

Доступ к полной версии этой статьи и всех остальных статей на данном сайте стоит всего 30 рублей. После успешного завершения перевода откроется страница с благодарностью, адресом электронной почты и продолжением статьи. Если вы хотите задать вопрос по расчету конструкций, пожалуйста, воспользуйтесь этим адресом. Зараннее большое спасибо.)). Если страница не открылась, то скорее всего вы осуществили перевод с другого Яндекс-кошелька, но в любом случае волноваться не надо. Главное, при оформлении перевода точно указать свой e-mail и я обязательно с вами свяжусь. К тому же вы всегда можете добавить свой комментарий. Больше подробностей в статье «Записаться на прием к доктору»

Для терминалов номер Яндекс Кошелька 410012390761783

Номер карты Ymoney 4048 4150 0452 9638 SERGEI GUTOV

Примечание: Возможно ваш вопрос, особенно если он касается расчета конструкций, так и не появится в общем списке или останется без ответа, даже если вы задатите его 20 раз подряд. Почему, достаточно подробно объясняется в статье «Записаться на прием к доктору» (ссылка в шапке сайта).

Источник

Определение прогибов и углов поворота в балках методом начальных параметров

Определение прогибов и углов поворота в балках методом начальных параметров

Если балка постоянной жесткости EJ и имеет несколько участков, то удобнее прогибы и углы поворота определять по методу начальных параметров. Возьмем приближенное дифференциальное уравнение
d2V Мх

Учтем, что производная от прогиба равна углу поворота

Поэтому уравнение (178) можно записать в следующем виде

Проинтегрируем левую и правую части уравнения

В уравнении (183) перенесем в правую часть

Далее выразим угол поворота через прогибы

Проинтегрируем левую и правую части уравнения

Перенесем в правую часть уравнения (188) и получим

Получена интегральная форма функции прогибов балки (189).

Здесь и — начальные параметры. На основе полученной зависимости строится метод начальных параметров.

Для взятия интеграла в уравнении (189) от отдельных наиболее часто встречающихся видов нагрузок рассмотрим балку, загруженную одним сосредоточенным моментом, одной сосредоточенной силой и одной равномерно распределенной нагрузкой (рис.64). Обозначим координаты точек приложения сосредоточенного момента и сосредоточенной силой,

соответственно, и Координата начала участка приложения равномерно распределенной нагрузки обозначим .

-от сосредоточенного момента

-от сосредоточенной силы

-от распределенной нагрузки

Суммируя интегралы от всех видов нагрузок и полагая, что к балке могут быть приложены несколько нагрузок одного и того же вида, получим универсальное уравнение упругой оси балки.

Преимущества метода начальных параметров заключается в том, что нам приходится находить только две постоянные интегрирования. Особенно это преимущество заметно, если на балке несколько участков. Однако, метод начальных параметров имеет и недостатки — балка должна быть постоянной жесткости на всей ее длине; слагаемые в универсальном

уравнении упругой оси балки могут отличаться на порядки (193). Поэтому при использовании метода начальных параметров предъявляются определенные требования.

Правила и требования:

1) Начало координат всегда выбирать в левой крайней точке балки.

2) Начальные параметры равны соответственно прогибу и углу поворота сечения на левом конце балки.

3) При вычислении прогибов или углов поворота сечения балки учитывать только слагаемые, содержащие силовые факторы, приложенные левее рассматриваемого сечения.

4) Знак перед слагаемым совпадает со знаком изгибающего момента в рассматриваемом сечении, вызванного силовым фактором, содержащимся в этом слагаемом.

5) Где-то начавшаяся равномерно распределенная нагрузка не должна заканчиваться до правого конца балки.

Уравнения углов поворота получается взятием производной от уравнения для прогибов (200).

Правило знаков:

Прогиб вверх и поворот против хода часовой стрелки считаются положительными.

Пример:

Определение прогибов в балке методом начальных параметров (рис.65, а).

Подготовим балку согласно требованиям метода начаоьных параметров: начало координат поместить в левой крайней точке балки; продольную ось направить вправо; ось V направить вверх; пронумеровать участки балки слева направо; дополнить нагрузку q и приложить компенсирующую нагрузку q снизу вверх (рис. 65, б).

Вычислим реакции опор

Составим универсальное уравнение упругой оси балки

По условию закрепления определим начальные параметры

1) На опоре A z = 2 м, участок I V=0.

2) На опоре В z = 8 м, участок III V=0.
12-(8-О)4

Выполним вычисления и получим два уравнения с двумя неизвестными и .

Решим систему и получим начальные параметры

Вычислим прогиб в точке S (z = 0, участок I)

Подставляя данные в выражение (203) вычислим прогиб в точке D (z = 6 м, участок III)

Эта теория взята со страницы подробного решения задач по предмету «Сопротивление материалов»:

Дополнительные страницы которые вам будут полезны:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Источник