Уравнения системы уравнений и задачи с параметром
Урок по теме «Методы решения задач с параметрами»
Разделы: Математика
Цель данной работы – изучение различных способов решения задач с параметрами. Возможность и умение решать задачи с параметрами демонстрируют владение методами решения уравнений и неравенств, осмысленное понимание теоретических сведений, уровень логического мышления, стимулируют познавательную деятельность. Для развития этих навыков необходимы длительнее усилия, именно поэтому в профильных 10-11 классах с углубленным изучением точных наук введен курс: “Математический практикум”, частью которого является решение уравнений и неравенств с параметрами. Курс входит в число дисциплин, включенных в компонент учебного плана школы.
Успешному изучению методов решения задач с параметрами могут помочь элективный или факультативный курсы, или компонент за сеткой по теме: “Задачи с параметрами”.
Рассмотрим четыре больших класса задач с параметрами:
Методы решений задач с параметрами.
1. Аналитический метод.
Это способ прямого решения, повторяющий стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра.
Пример 1. Найдите все значения параметра a, при которых уравнение:
(2a – 1)x 2 + ax + (2a – 3) =0 имеет не более одного корня.
При 2a – 1 = 0 данное уравнение квадратным не является, поэтому случай a =1/2 разбираем отдельно.
Если a = 1/2, то уравнение принимает вид 1/2x – 2 = 0, оно имеет один корень.
Чтобы записать окончательный ответ, необходимо понять,
2. Графический метод.
В зависимости от задачи (с переменной x и параметром a) рассматриваются графики в координатной плоскости (x;y) или в плоскости (x;a).
Пример 2. Для каждого значения параметра a определите количество решений уравнения 
.
Заметим, что количество решений уравнения равно количеству точек пересечения графиков функций 
и y = a.
График функции 
показан на рис.1.
y = a – это горизонтальная прямая. По графику несложно установить количество точек пересечения в зависимости от a (например, при a = 11 – две точки пересечения; при a = 2 – восемь точек пересечения).
Ответ: при a 25/4 – два решения.
3. Метод решения относительно параметра.
При решении этим способом переменные х и а принимаются равноправными, и выбирается та переменная, относительно которой аналитическое решение становится более простым. После упрощений нужно вернуться к исходному смыслу переменных х и а и закончить решение.
1) Если а = 0, то уравнение имеет единственное решение t = 2.
Решение некоторых типов уравнений и неравенств с параметрами.
Задачи с параметрами помогают в формировании логического мышления, в приобретении навыков исследовательской деятельности.
Решение каждой задачи своеобразно и требует к себе индивидуального, нестандартного подхода, поскольку не существует единого способа решения таких задач.
Задача № 1. При каких значениях параметра b уравнение 
не имеет корней?
Задача №2. Найти все значения параметра a, при которых множество решений неравенства:
содержит число 6, а также содержит два отрезка длиной 6, не имеющие общих точек.
Преобразуем обе части неравенства.
Для того, чтобы множество решений неравенства содержало число 6, необходимо и достаточно выполнение условия: 
Рис.4
При a > 6 множество решений неравенства: 
.
Интервал (0;5) не может содержать ни одного отрезка длины 6. Значит, два непересекающихся отрезка длины 6 должны содержаться в интервале (5; a).
Это 
Задача № 3. В области определения функции 
взяли все целые положительные числа и сложили их. Найти все значения, при которых такая сумма будет больше 5, но меньше 10.
1) Графиком дробно-линейной функции 
является гипербола. По условию x > 0. При неограниченном возрастании х дробь 
монотонно убывает и приближается к нулю, а значения функции z возрастают и приближаются к 5. Кроме того, z(0) = 1.
2) По определению степени область определения D(y) состоит из решений неравенства 
. При a = 1 получаем неравенство, у которого решений нет. Поэтому функция у нигде не определена.
Решение иррациональных уравнений и неравенств, а также уравнений, неравенств и систем, содержащих модули рассмотрены в Приложении 1.
Задачи с параметрами являются сложными потому, что не существует единого алгоритма их решения. Спецификой подобных задач является то, что наряду с неизвестными величинами в них фигурируют параметры, численные значения которых не указаны конкретно, но считаются известными и заданными на некотором числовом множестве. При этом значения параметров существенно влияют на логический и технический ход решения задачи и форму ответа.
По статистике многие из выпускников не приступают к решению задач с параметрами на ЕГЭ. По данным ФИПИ всего 10% выпускников приступают к решению таких задач, и процент их верного решения невысок: 2–3%, поэтому приобретение навыков решения трудных, нестандартных заданий, в том числе задач с параметрами, учащимися школ по-прежнему остается актуальным.
Урок по теме «Решение систем линейных уравнений, содержащих параметры»
Разделы: Математика
Если в задаче меньше трех переменных, это не задача; если больше восьми – она неразрешима. Энон.
Задачи с параметрами встречаются во всех вариантах ЕГЭ, поскольку при их решении наиболее ярко выявляется, насколько глубоки и неформальны знания выпускника. Трудности, возникающие у учащихся при выполнении подобных заданий, вызваны не только относительной их сложностью, но и тем, что в учебных пособиях им уделяется недостаточно внимания. В вариантах КИМов по математике встречается два типа заданий с параметрами. Первый: «для каждого значения параметра решить уравнение, неравенство или систему». Второй: «найти все значения параметра, при каждом из которых решения неравенства, уравнения или системы удовлетворяют заданным условиям». Соответственно и ответы в задачах этих двух типов различаются по существу. В первом случае в ответе перечисляются все возможные значения параметра и для каждого из этих значений записываются решения уравнения. Во втором – перечисляются все значения параметра, при которых выполнены условия задачи. Запись ответа является существенным этапом решения, очень важно не забыть отразить все этапы решения в ответе. На это необходимо обращать внимание учащихся.
В приложении к уроку приведен дополнительный материал по теме «Решение систем линейных уравнений с параметрами», который поможет при подготовке учащихся к итоговой аттестации.
Урок рассчитан на два учебных часа.
Ход урока
Сообщение темы, целей и задач урока.
Проверка домашней работы. В качестве домашнего задания учащимся было предложено решить каждую из трех систем линейных уравнений
а) 
б) в)
графически и аналитически; сделать вывод о количестве полученных решений для каждого случая
Ответы:
Заслушиваются и анализируются выводы, сделанные учащимися. Результаты работы под руководством учителя в краткой форме оформляются в тетрадях.
В общем виде систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными можно представить в виде: .
Решить данную систему уравнений графически – значит найти координаты точек пересечения графиков данных уравнений или доказать, что таковых нет. Графиком каждого уравнения этой системы на плоскости является некоторая прямая.
Возможны три случая взаимного расположения двух прямых на плоскости:
К каждому случаю полезно выполнить рисунок.
Сегодня на уроке мы научимся решать системы линейных уравнений, содержащие параметры. Параметром будем называть независимую переменную, значение которой в задаче считается заданным фиксированным или произвольным действительным числом, или числом, принадлежащим заранее оговоренному множеству. Решить систему уравнений с параметром – значит установить соответствие, позволяющее для любого значения параметра найти соответствующее множество решений системы.
Решение задачи с параметром зависит от вопроса, поставленного в ней. Если нужно просто решить систему уравнений при различных значениях параметра или исследовать ее, то необходимо дать обоснованный ответ для любого значения параметра или для значения параметра, принадлежащего заранее оговоренному в задаче множеству. Если же необходимо найти значения параметра, удовлетворяющие определенным условиям, то полного исследования не требуется, и решение системы ограничивается нахождением именно этих конкретных значений параметра.
Пример 1. Для каждого значения параметра решим систему уравнений
В этом случае имеем
Система несовместна, т.е. решений не имеет.
Очевидно, что в этом случае система имеет бесконечно много решений вида x = t; где t-любое действительное число.
Пример 2. При каких значениях параметра a система уравнений
Пример 3. Найдем сумму параметров a и b, при которых система
имеет бесчисленное множество решений.
Решение. Система имеет бесчисленное множество решений, если 
То есть если a = 12, b = 36; a + b = 12 + 36 =48.
а) не имеет решений; б) имеет бесконечно много решений.
Класс разбивается на группы по 4-5 человек. В каждую группу входят учащиеся с разным уровнем математической подготовки. Каждая группа получает карточку с заданием. Можно предложить всем группам решить одну систему уравнений, а решение оформить. Группа, первой верно выполнившая задание, представляет свое решение; остальные сдают решение учителю.
Карточка. Решите систему линейных уравнений
при всех значениях параметра а.
Если класс сильный, группам могут быть предложены разные системы уравнений, перечень которых находится в Приложении1. Тогда каждая группа представляет классу свое решение.
Отчет группы, первой верно выполнившей задание
Участники озвучивают и поясняют свой вариант решения и отвечают на вопросы, возникшие у представителей остальных групп.
Решение систем линейных уравнений с параметрами можно сравнить с исследованием, которое включает в себя три основных условия. Учитель предлагает учащимся их сформулировать.
При решении следует помнить:
Учитель оценивает работу на уроке класса в целом и выставляет отметки за урок отдельным учащимся. После проверки самостоятельной работы оценку за урок получит каждый ученик.
При каких значениях параметра b система уравнений 
Графики функций y = 4x + b и y = kx + 6 симметричны относительно оси ординат.
Решите систему уравнений 
при всех значениях m и n.
Решите систему линейных уравнений при всех значениях параметра а (любую на выбор).
Урок по математике на тему «Системы уравнений с параметрами» (9-10) класс
Новые аудиокурсы повышения квалификации для педагогов
Слушайте учебный материал в удобное для Вас время в любом месте
откроется в новом окне
Выдаем Удостоверение установленного образца:
Выбранный для просмотра документ Элективный курс. Конспект открытого урока..doc
«Задачи с параметрами»
9 «Д» класс МОУ СОШ № 65
Учитель: Алиско Т. Р.
Элективный курс «Задачи с параметрами»
« Системы уравнений с параметрами»
— обобщить и систематизировать знания учащихся об исследовании линейных и квадратных уравнений при решении задач с параметрами,
— формирование навыков решения задач с параметрами различными способами.
— формирование умений систематизировать полученные знания и применять их при решении задач с параметрами.
— развитие исследовательской и познавательной деятельности учащихся;
— развитее абстрактного мышления (развитие умений выделять общие и существенные признаки, отличать несущественные признаки и отвлекаться от них)
— формирование коммуникативных навыков, умение работать в парах и группах.
— обеспечение условий для самостоятельной, творческой работы учащихся, для их самореализации
В качестве домашнего задания вам было предложено решить систему уравнений.
Проверим ваше решение.
С помощью документ – камеры демонстрируется решение системы, разбираются различные методы ее решения.
Наш элективный курс посвящен решению одних из самых сложных задач математики – задачам с параметрами. Необходимость изучения этой темы обусловлена в первую очередь общими подходами к исследованиям тех или иных математических функций, которые в свою очередь, мы с вами часто об этом говорили, являются математической моделью жизненных процессов и явлений.
Мы с вами уже рассмотрели некоторые уравнения с параметрами и особенности их решения. Повторим ранее изученный материал.
Вам предлагается проанализировать решение одного уравнения с параметрами и прокомментировать его.
При каких значениях параметра а уравнение ( а +6) х 2 +2 ах +1=0 имеет единственное решение?
Уравнение имеет единственное решение, если дискриминант равен нулю.
Повторим схему исследования уравнений с параметрами:
— Как вы думаете, какие задания мы сегодня с вами усложним за счет параметра?
— Верно, сегодня мы рассмотрим решения систем уравнений с параметрами.
Я вам предлагаю систему двух уравнений с двумя неизвестными.
— Кто планирует решать эту систему аналитически? А кто предпочитает графический способ? Объединитесь, пожалуйста в группы по выбранному способу решения.
Ребята меняются местами о объединяются в группы, согласно выбранному способу решения.
Вам дается минут 5-7 на решение.
После проверяются и анализируются решения, предложенные ребятами.
Теперь предлагаю вам еще одну систему уравнений. В чем вы заметили отличие?
— Кто сейчас выбирает группу аналитиков? А кто предпочитает графический способ? Объединитесь, пожалуйста в группы по выбранному способу решения.
— идет, возможно, переформирование групп.
В течении 10 минут ребята обсуждают решение. После чего снова оба решения проверяются.
Мы сегодня рассмотрели разные методы решения заданий с параметрами. Какой метод вам ближе? Почему?
В качестве домашнего задания я предлагаю вам достаточно сложную систему, аналогичное задание было в этом году на ЕГЭ.
При каких значения параметра система имеет единственное решение
Попробуйте решить ее разными способами.
Выбранный для просмотра документ комментарии к уроку.docx
Программа предпрофильного класса рассчитана на 6 часов: 3 часа – алгебра, 2 часа – геометрия и 1 час- элективный курс
Необходимость более глубокого изучения материала обуславливается тем, что у детей достаточно неплохой уровень математической подготовки, высокая мотивация, они все настраиваются на высокий результат на единых государственных экзаменах. На этих занятиях им подбирается более сложные задания, которые требуют глубокого понимания математики.
В течение 9 класса предполагается два элективных курса:
« Задачи с параметрами»
«Уравнения и неравенства, содержащие переменную под знаком модуля.»
На данном этапе мы рассматриваем задачи с параметрами.
Все программы, по которым мы работаем, прошли конкурс элективных курсов в 2005 году.
Данное занятие это шестое занятие в данном курсе. Цели на этот урок я ставила следующие:
— обобщить и систематизировать знания учащихся об исследовании линейных и квадратных уравнений при решении задач с параметрами,
— формирование навыков решения задач с параметрами различными способами.
— формирование умений систематизировать полученные знания и применять их при решении задач с параметрами.
— развитие исследовательской и познавательной деятельности учащихся;
— развитее абстрактного мышления (развитие умений выделять общие и существенные признаки, отличать несущественные признаки и отвлекаться от них)
— формирование коммуникативных навыков, умение работать в парах и группах.
— обеспечение условий для самостоятельной, творческой работы учащихся, для их самореализации.
На занятии предполагается групповая работа. Первоначально группы определяются произвольным образом, в процессе урока группы переформируются в зависимости от выбранного учащимися способа решения задания
( аналитический или графический метод решения).
Выбранный для просмотра документ раздаточный материал.docx
Проверить и оценить решение задания:
При каких значениях параметра а уравнение ( а +6) х 2 +2 ах +1=0 имеет единственное решение?
Квадратное уравнение имеет единственное решение, если дискриминант равен нулю.
( для тех, кто выбрал графический способ решения)
имеет единственное решение?
( для тех, кто выбрал графический способ решения)
При каких отрицательных значениях параметра а система уравнений имеет единственное решение?
Выбранный для просмотра документ системы уравнений с параметрами..ppt
Описание презентации по отдельным слайдам:
Элективный курс « Задачи с параметрами.» Тема занятия: «Системы уравнений с параметрами.» Учитель математики МАОУ СОШ № 65 г. Тюмени Алиско Татьяна Рудольфовна
Устно: При каких значениях параметрa a уравнение (a2-1)x2-( a2-2a-3)x+a+1=0 будет иметь не менее трех различных корней? При каких значениях параметра m квадратный трехчлен x2+m(m-1)x+36=0 является полным квадратом?
II. Выявление места и причины затруднения. Постановка проблемы, формулирование темы занятия, целей урока.
III. Построение проекта выхода из затруднения. При каких значения а система уравнений имеет единственное решение.
IV. Реализация построенного проекта
V. Этап первичного закрепления, систематизации, применения новых знаний, умений При каких отрицательных значениях параметра а система уравнений имеет единственное решение? Сравните, в чем отличие с предыдущим заданием. При каких значения а система уравнений имеет единственное решение.
VI. Включение в систему знаний и повторений. Домашнее задание: При каких значениях параметра а система уравнений имеет единственной решение? Рассмотрите разные способы решения.
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Номер материала: ДБ-1087661
Не нашли то что искали?
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Студент устроил стрельбу в Пермском государственном университете
Время чтения: 1 минута
Школы организуют экскурсии и спортивные игры в день выборов
Время чтения: 1 минута
Какие навыки ценят в педагоге работодатели
Время чтения: 2 минуты
Штаб по выборам в Москве попросит уменьшить число участков в школах
Время чтения: 1 минута
В пяти регионах России протестируют новую систему оплаты труда педагогов
Время чтения: 2 минуты
ВПР начались в колледжах с 15 сентября
Время чтения: 4 минуты
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.