что называют радиусом окружности
Радиус и диаметр окружности
Окружность — это фигура в геометрии, которая состоит
из множества точек, расположенных на одинаковом
расстоянии от заданной точки (центра окружности).
Радиус окружности — это отрезок, который соединяет
центр окружности с какой-либо точкой окружности.
Диаметр окружности — это отрезок, который соединяет
две любые точки окружности, причем сам отрезок
должен проходить через центр окружности
Eсли от центра окружности провести
отрезки ко всем точкам окружности, то они будут иметь
одинаковую длину, то есть равны. В математике
такие отрезки называют радиусами.
Все радиусы окружности, как и диаметры окружности,
равны между собой, имеют одинаковую длину.
На рисунке выше изображена окружность, с центром в точке O.
OA = OB = OC — радиусы окружности;
BC = CO + OB — диаметр окружности;
Радиус окружности принято обозначать маленькой либо большой буквой, r или R.
Диаметр окружности обозначают буквой D.
Диаметр окружности условно состоит из двух
радиусов и равен длинам этих радиусов.
Длину радиуса окружности можно найти через диаметр окружности.
Для этого достаточно разделить на два длину диаметра окружности,
получившееся число и будет радиусом.
Формула радиуса окружности через диаметр:
Формула диаметра окружности через радиус:
Также, окружность, может быть вписанной в фигуру, описанной
около фигуры; или вообще может быть не вписана и не описана.
Формула радиуса окружности зависит от того находится фигура
внутри окружности, или окружность находится около фигуры.
Существует радиус вписанной окружности
и радиус описанной окружности.
Формулы радиуса вписанной и радиуса описанной окружностей
зависят в первую очередь от геометрической фигуры.
Радиус вписанной окружности — это радиус окружности,
которая вписана в геометрическую фигуру.
Радиус описанной окружности — это радиус окружности,
которая описана около геометрической фигуры.
Всё про окружность и круг
Кругом называется часть плоскости, ограниченная окружностью и включающая ее центр.
Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, представляет собой диаметр. Диаметр окружности равен ее удвоенному радиусу: D = 2R.
Точка пересечения двух хорд делит каждую хорду на отрезки, произведение которых одинаково: a1a2 = b1b2
Касательная к окружности всегда перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны: AB = AC, центр окружности лежит на биссектрисе угла BAC.
Квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть
Дугой называется часть окружности, заключенная между двумя точками.
Мерой дуги (в градусах или радианах) является центральный угол, опирающийся на данную дугу.
Вписанный угол это угол, вершина которого лежит на окружности, а cтороны угла пересекают ее.
Вписанный угол равен половине центрального, если оба угла опираются на одну и ту же дугу окружности.
Внутренние углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
Сектором круга называется геометрическая фигура, ограниченная двумя радиусами и дугой, на которую опираются данные радиусы.
Периметр сектора: P = s + 2R.
Площадь сектора: S = Rs/2 = ПR 2 а/360°.
Сегментом круга называется геометрическая фигура, ограниченная хордой и стягиваемой ею дугой.
Математика. 5 класс
Конспект урока
Окружность и круг. Сфера и шар
— понятия «окружность», «круг», «сфера», «шар» и их элементы;
— изображение окружности на плоскости, сферы в пространстве.
Окружность – это плоская замкнутая кривая, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от некоторой точки – её центра.
Круг – плоская геометрическая фигура, являющаяся местом точек, расположенных на одинаковом расстоянии от некоторой точки (центра).
Центр окружности – это точка, равноудалённая от точек окружности.
Радиус окружности – это отрезок, соединяющий какую-нибудь точку этой окружности с её центром.
Хорда окружности – это отрезок, соединяющий какие-нибудь две точки окружности.
Диаметр окружности – это хорда, проходящая через центр окружности.
Шар – это геометрическое тело, совокупность всех точек пространства, находящихся от центра на расстоянии, не больше заданного.
Сфера – это замкнутая поверхность, геометрическое место точек в пространстве, равноудалённых от данной точки, которую называют центром сферы.
Никольский С. М. Математика. 5 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений.// С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017. – 272 с.
1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5 класс.// П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина. – М.: Просвещение, 2009. – 142 с.
2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 классы.// И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2014. – 95 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Ещё в глубокой древности люди изобрели колесо, придумали гончарный круг, сделали украшения в виде колец, то есть создали предметы, в основе которых лежит окружность или круг. В современных устройствах эти геометрические фигуры тоже встречаются очень часто. Сегодня мы поговорим не только о том, как они используются в наше время, но и выясним их отличие друг от друга.
Итак, что же такое окружность?
Окружность – это замкнутая плоская кривая, которая состоит из всех точек на плоскости, равноудалённых от заданной точки. Эта точка называется центром окружности.
Построим окружность. Для этого поставим точку О. Возьмём циркуль и выставим с помощью линейки отрезок длиной 3 см. Поставим иголку циркуля в точку О и начертим окружность, вращая ножку циркуля с грифелем вокруг этой точки. Грифель описывает замкнутую линию, которую называют окружностью. Часть плоскости, которая лежит внутри окружности, вместе с самой окружностью, называют кругом, то есть окружность есть граница круга.
При построении окружности расстояние между ножками циркуля не меняется. Поэтому все точки окружности равно удалены от точки О. Точку O называют центром и окружности, и круга. Отметим на окружности любую точку – например, точку L. Построим отрезок, соединяющий точку L с центром окружности – точкой О.
Отрезок ОL называют радиусом окружности.
Отметим на окружности любые две точки. Например, C и D. Построим отрезок, соединяющий точки C и D.
Отрезок CD называют хордой окружности. Некоторые хорды окружности проходят через её центр. Например, хорда AB проходит через центр окружности. Такую хорду называют диаметром окружности. То есть АВ – диаметр окружности.
Концы диаметра делят окружность на две равные части. Длина диаметра окружности равна двум радиусам. Две точки делят окружность на две части, называемые дугами. Например, CD. Обычно рассматривается одна из дуг окружности, определяемая по смыслу задачи.
Окружность разбивает плоскость на две части – внутреннюю область и внешнюю.
Давайте представим себе яблоко и воздушный шарик.
Чем они отличаются друг от друга?
Они оба имеют форму шара. Однако воздушный шарик полый внутри. Для таких предметов в математике есть название – сфера. А яблоко, с точки зрения математиков, – это шар.
Шар–это геометрическое тело, совокупность всех точек пространства, находящихся от центра на расстоянии, не больше заданного.
Отрезок, соединяющий точку поверхности шара с его центром, называется радиусом шара.
Отрезок, соединяющий две точки поверхности шара и проходящий через центр шара, называют диаметром шара.
Поверхность шара называется сферой.
Сфера – это замкнутая поверхность, геометрическое место точек в пространстве, равноудалённых от данной точки, которую называют центром сферы.
Окружность и круг являются плоскими фигурами, то есть такими, которые располагаются в пределах одной плоскости. Такие фигуры – это не что иное, как рисунки на листе бумаги. Рассмотренные на уроке сфера и шар относятся к пространственным телам. Между сферой, шаром, окружностью и кругом есть взаимосвязь. Сфера и шар образуются вращением вокруг оси окружности и круга соответственно.
В жизни для построений мы используем различные инструменты. Так, для того чтобы нарисовать окружность, необходим циркуль. Но как появился циркуль? Обратимся к мифам Древней Греции.
В далёкие времена в Афинах жил юноша, которого звали Талос. Он с детства был очень талантлив. В 12 лет он изобрёл гончарный круг для изготовления посуды. Также он придумал первую пилу, обратив в живой природе внимание на то, что скелет рыбы напоминает острые зубья. И наконец, Талос изобрёл устройство для построения окружностей, так называемый циркуль – инструмент в виде двух одинаковых стержней, соединённых шарниром. Так гласит легенда, а как было на самом деле, история умалчивает: известно лишь то, что на древних памятниках искусства фигуры и орнаменты из окружностей, умело выполненные древними мастерами, почти идеальны.
№ 1. Подпишите соответствующие элементы окружности.
Вспомним определения радиуса (это отрезок, соединяющий какую-нибудь точку этой окружности с её центром), хорды (это отрезок, соединяющий какие-нибудь две точки окружности), диаметра (это хорда, проходящая через центр окружности) и ценрта окружности (это точка, равноудалённая от точек окружности).
О – центр окружности.
№ 2. Выберите правильный ответ.
Рассмотрим отрезок АК, длина которого равна 8см. Построено две окружности: первая – с центром в точке A, а вторая – с центром в точке К. Их радиусы, соответственно, равны 4 см и 6 см. Сколько общих точек имеют окружности?
Решение: чтобы ответить на вопрос, изобразим отрезок и окружности.
Ответ: общих точек будет две. Они будут лежать на пересечении двух окружностей.
Окружность
Окружность — это геометрическая фигура, которая состоит из
всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии
от данной точки.
Для решения задач, связанных с окружность, нужно знать её свойства.
Свойства окружности, как и любой другой фигуры зависят от
формы, размеров и так далее. В этой статье мы расскажем вам о
свойства окружности и об основных терминах,
таких как: хорда, радиус, дуга и так далее.
На рисунке 1 изображена окружность, где O — центр окружности,
PK — хорда, AO — радиус, АС — диаметр, DEF — дуга.
Центром окружности называется точка откуда берет начало радиус.
Расположена эта точка в центре окружности. Если внутри окружности
точка расположена на равном расстоянии от всех точек плоскости,
значит это центр окружности. O — центр окружности.
Отрезком соединяющим центр окружности и любую из точек плоскости
называют радиусом. Если отрезок внутри окружности соединяет центр
окружности с любой из точек плоскости, значит этот отрезок — радиус.
CO — радиус.
Отрезок, который соединяет две точки окружности, называется хордой.
Если отрезок внутри окружности соединяет любые две точки окружности,
значит этот отрезок — хорда. PK — хорда.
Отрезок, соединяющий две любые точки окружности и проходящий через
центр окружности, называется диаметром. Если отрезок внутри окружности
соединяет любые две точки окружности и проходит через центр окружности,
значит этот отрезок диаметр. Диаметр в два раза больше радиуса. AC — диаметр.
У диаметра есть середина, которая является центром окружности. Две любые
точки окружности делят окружность на две части. Каждая из частей называется
дугой окружности.
Если две любые точки окружности, делят её на две части,
значит эти части — дуги. DEF — дуга.
Для того, чтобы изобразить окружность на чертеже используют циркуль.
Чтобы провести окружность на местности, можно воспользоваться веревкой.
Кругом называется часть плоскости, которая ограничена окружностью.
Если часть плоскости ограничивает окружность, значит эта часть плоскости — круг.
Сумма углов окружности равна 360°.
Геометрия. Урок 5. Окружность
Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.
Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!
Содержание страницы:
Определение окружности
Окружность – геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки.
Отрезки в окружности
Радиус окружности R – отрезок, соединяющий центр окружности с точкой на окружности.
Хорда a – отрезок, соединяющий две точки на окружности.
Диаметр d – хорда, проходящая через центр окружности, он равен двум радиусам окружности ( d = 2 R ).
O A – радиус, D E – хорда, B C – диаметр.
Теорема 1:
Радиус, перпендикулярный хорде, делит пополам эту хорду и дугу, которую она стягивает.
Касательная к окружности – прямая, имеющая с окружностью одну общую точку.
Из одной точки, лежащей вне окружности, можно провести две касательные к данной окружности.
Теорема 2:
Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны ( A C = B C ).
Теорема 3:
Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания.
Дуга в окружности
Теорема 4:
Равные хорды стягивают равные дуги.
Углы в окружности
В окружности существует два типа углов: центральные и вписанные.
Центральный угол – угол, вершина которого лежит в центре окружности.
∠ A O B – центральный.
Если провести диаметр, то он разобьёт окружность на две полуокружности. Градусная мера каждой полуокружности будет равна градусной мере развернутого угла, который на неё опирается.
Вписанный угол – угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.
∠ M A N = ∠ M B N = ∠ M C N = ∪ M N 2 = α 2
∠ M A N = ∠ M B N = ∪ M N 2 = 180 ° 2 = 90 °
Длина окружности, длина дуги
Но невооуруженным глазом видно, что длины дуг разные. Если градусная мера дуги окружности зависит только от величины центрального угла, который на неё опирается, то длина дуги окружности зависит ещё и от радиуса самой окружноси.
Длина окружности находится по формуле:
Площадь круга и его частей
Теперь поговорим про площадь круга, площадь сектора и площадь сегмента.
Круг – часть пространства, которая находится внутри окружности.
Иными словами, окружность – это граница, а круг – это то, что внутри.
Примеры окружности в реальной жизни: велосипедное колесо, обруч, кольцо.
Примеры круга в реальной жизни: пицца, крышка от канализационного люка, плоская тарелка.
Площадь круга находится по формуле: S = π R 2
Сектор – это часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.
Примеры сектора в реальной жизни: кусок пиццы, веер.
Площадь кругового сектора, ограниченного центральным углом α находится по формуле: S α = π R 2 360 ° ⋅ α
Сегмент – это часть круга, ограниченная дугой и хордой, стягивающей эту дугу.
Примеры сегмента в реальной жизни: мармелад “лимонная долька”, лук для стрельбы.
Чтобы найти площадь сегмента, нужно сперва вычислить площадь кругового сектора, который данный сегмент содержит, а потом вычесть площадь треугольника, который образован центральным углом и хордой.
S = π R 2 360 ° ⋅ α − 1 2 R 2 sin α
Теорема синусов
Если вокруг произвольного треугольника описана окружность, то её радиус можно найти при помощи теоремы синусов:
a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C = 2 R Достаточно знать одну из сторон треугольника и синус угла, который напротив неё лежит. Из этих данных можно найти радиус описанной окружности.
Примеры решений заданий из ОГЭ
Модуль геометрия: задания, связанные с окружностями.