Что такое правильные числа
Виды чисел.
У нас есть числа натуральные, целые, рациональные и иррациональные, а также вещественные или действительные и еще есть другие, но в школьной программе в основном используют эти числа.
Натуральные числа ( N ) − это числа, используемые для счета предметов. Нуль не является натуральным числом.
Например: 1; 2; 3; 132; 168; 326; 548; 10050…
Целые числа ( Z ) — множество чисел, получающееся в результате арифметических операций сложения (+) и вычитания (−) натуральных чисел.
Например: …−3; −2; 1; 0; 548; 10050…
Рациональные числа ( Q ) – это положительные и отрицательные числа можно представить в виде обыкновенной несократимой дроби вида: 
где m−целое число (числитель), n – натуральное число (знаменатель).
Например: 
Иррациональные числа ( I ) − числа, которые не представимыми в виде дроби вида
Например: √2; √5; π; e
Вещественные (действительные) числа ( R ).
Рациональные числа и иррациональные числа образуют множество действительных чисел.
Изобразим это множество чисел в виде рисунка: 
Видно их вложенность друг в друга.
Подписывайтесь на канал на YOUTUBE и смотрите видео, подготавливайтесь к экзаменам по математике и геометрии с нами.
Правильные числа
Младшие школьники любят сказки, их героев, с удовольствием путешествуют по страницам детских книг, переживают за своих любимцев. Марина ПАВЛЕНКО, учитель школы № 1 из п. Пролетарский Белгородской области, использовала это на уроке математики, пригласив в гости героев сказок «Гуси-лебеди», «Волк и семеро козлят» и др.
1-й класс
Тема. «Задачи на увеличение и уменьшение числа на несколько единиц».
Цели. Формировать навыки составления и решения задач; развивать внимание, логическое мышление; воспитывать любовь к сказкам, доброту, сострадание, взаимопомощь.
Оборудование. Иллюстрации к сказкам «Гуси-Лебеди», «Маша и медведь», «Волк и семеро козлят», «Заюшкина избушка»; домики для состава числа; рисунок с изображением различных сказочных героев (на одном листе); индивидуальные доски (блокноты); задание на логическое мышление с геометрическими фигурами. Учительница одета в русский костюм.
I. Организационный момент
Учитель. Здравствуйте, ребята! Садитесь. Я, добрая сказочница, на урок к вам спешила, любимые сказки с собой пригласила. Ребята, а вы любите сказки?
У. Сказки мы любим за то,
Что в них побеждает добро,
Что звери лесные, болотные
Оказываются очень добрые,
Что лягушка царевною станет,
Лиса заюшку хоть и обманет,
Петушок всем на помощь придет.
Сивка-Бурка Ванюшку спасет.
Только вдруг приключилась беда,
Все перепутала Баба Яга.
В сказки зло напустила она
И сказала: «Так будет всегда».
Только мы сможем сказкам помочь,
Разогнать колдовство ее прочь.
Вы на доску скорей посмотрите!
Что же это за сказка, скажите?
II. Устный счет
На доске иллюстрация к сказке «Волк и семеро козлят».
У. Ребята, что за иллюстрация на доске?
Д. К сказке «Волк и семеро козлят».
У. Серый волк очень любит козлят,
Пересчитывать бедных ребят.
Только вечно он путает счет
И совсем ничего не поймет.
То ли 9 ему надо съесть, то ли 7.
Ох, запутался волк наш совсем.
Вы козленка спасете, ребятки,
Если считать будете по порядку.
Первый ряд, посчитайте от 10 до 15 вслух, второй – от 15 до 20, третий – от 20 до 10.
Дети выполняют задание.
– Вы, ребята, молодцы.
Козленка одного спасли.
Учитель переставляет одного козленка от волка к козе.
– Скажите быстрей без подсказки,
Какое число в названии сказки?
У. Это 7 – кочерга, у нее одна нога.
Назовите число, которое больше 7, но меньше 9.
У. Меньше 7, но больше 5.
У. Идут за числами 8, 6, 4.
У. Перед числами 5, 9, 7.
У. Молодцы! Справились и с этим заданием. Еще один козленок может бежать к маме.
Учитель переставляет второго козленка.
– Чтоб вернуть козлят в дома,
Нужно знать состав числа.
Дети заполняют числами домики. После выполнения работы три козленка бегут к маме.
– Серый волк решил проверить ваше внимание,
Приготовил для вас вот какое задание:
Я на секунду картинку вам покажу,
А потом у вас спрошу:
Каких сказочных героев вы успели запомнить?
Учитель показывает лист, на котором изображены различные сказочные герои. Дети, после того как лист убран, перечисляют их.
– Чтобы волка обхитрить,
Задачи нужно нам решить.
Ученики пишут только решение на индивидуальных досках-блокнотах.
– Вышла козочка гулять,
С козлятами поиграть.
Три бежали впереди,
Две остались позади.
Беспокоится их мать
И не может сосчитать.
Сосчитайте-ка, ребята,
Сколько было всех козлят?
Дети записывают ответ: пять.
– Коза на грядке
Капусту собирала.
Шесть сорвала,
Пока в дом донесла,
Две упало.
Коза капусту сосчитать не может,
Кто из вас, ребята, поможет?
Дети записывают решение и ответ: 6 – 2 = 4. Еще один козленок спасен.
– Серый волк очень вредной натуры
Перепутал геометрические фигуры.
Вы подумайте вначале,
А потом мне отвечайте.
Какой фигуры не хватает в строчках?
Д. Во втором ряду не хватает кружочка, а в третьем – треугольника.
Учитель переставляет последнего, седьмого, козленка к маме.
У. Вы отлично отвечали
И козлятам помогали.
Вас они благодарят,
Расслабляться не велят.
III. Тема урока. Составление и решение задач
На доске иллюстрация к сказке «Заюшкина избушка» – зайка плачет.
У. Кто может ответить на вопрос, какая еще сказка ждет помощи от нас?
Д. Сказка «Заюшкина избушка».
У. Стоял у лисы дом ледяной,
Который от солнца растаял весной.
Лисичка-сестричка хитрой была,
К зайке попросилась, его ж и выгнала.
Давайте поможем зайчишке. Вы согласны?
У. Чтобы справиться с лисой, мы должны научиться составлять и решать задачи. Откройте для этого книжки на с. 73.
Задач язык особый,
Разгадай, попробуй.
Из каких частей состоит задача?
У. Что такое условие задачи? Вопрос?
Д. Условие – это то, что известно, вопрос – то, что требуется узнать.
У. С какого слова начинается вопрос задачи?
У. Посмотрите на иллюстрацию в книге. Что нарисовано?
– Давайте составим задачу. «Было 6 конвертов. Стало на 2 меньше. Сколько стало конвертов?» Повторите условие, вопрос.
Д. Условие: было 6 конвертов, стало на 2 меньше.
– Вопрос: сколько стало конвертов?
У. Подумайте, как решить задачу. Каким действием узнаем, сколько же стало?
Дети на индивидуальных досках записывают решение: 6 – 2 = 4.
– Что значит число 6 в записи решения?
Д. Сколько конвертов было.
Д. На сколько стало меньше.
Д. Сколько стало конвертов.
У. Ответим на вопрос задачи.
Д. Стало 4 конверта.
Аналогично разбирается и вторая задача.
У. Послушайте, что я составила. «Алена любила собирать открытки. У нее было много разных открыток. Но больше всех ей нравились новогодние открытки, их было 6». Это задача?
Д. Не хватает данных в условии, нет вопроса.
У. Ах, хитрющая лиса,
Не коси на нас глаза.
Мы задачи все решили,
Домик для заюшки освободили.
Учитель убирает лису с рисунка.
IV. Физкультминутка
Нас ждет другая сказка впереди,
Но чтобы справиться с заданьем,
Отдохнуть мы все должны.
Девочки и мальчики,
Представьте, что вы зайчики.
Раз, два, три, четыре, пять, –
Начал заинька скакать.
Лапки вверх и лапки вниз,
На носочках подтянись,
Влево-вправо повернись,
Наклонись и поднимись.
Зайке холодно сидеть,
Надо лапочки погреть.
Зайке холодно стоять,
Надо зайке поскакать.
Кто-то зайку испугал,
Зайка прыг – и ускакал.
V. Решение примеров
На доске иллюстрация к сказке «Маша и медведь».
У. Ответьте мне, ребята, сами:
Что за сказка перед вами?
Д. Сказка «Маша и медведь».
У. Машенька в лес за грибами пошла,
От подружек отстала, заблудилась она.
Михайло Потапыч бедняжку нашел,
Пожалел, приютил, пустил ее в дом.
Маша печку топила, пекла пироги,
Но очень скучала от дома вдали.
По дедушке-бабушке тосковала,
Сбежать от медведя втайне мечтала.
Вы, ребята, помогите,
Тропку Маше укажите,
И примеры все решите.
5 + 3 =
7 + 3 =
5 – 3 =
4 + 3 – 1 =
7 – 2 =
6 – 3 =
8 + 1 =
6 – 3 – 2 =
Дети записывают ответы на индивидуальных карточках.
– А тропинка ведет от большего числа к меньшему. Назовите-ка ответы в порядке убывания.
Д. 10, 9, 8, 6, 5, 3, 2, 1.
У. Вы, ребята, молодцы,
Машу к дому привели.
VI. Самостоятельная работа в тетради
У. Но помощи ждет еще сказка одна,
В которой всем навредила Баба Яга.
Что это за сказка?
На доске иллюстрация к сказке «Гуси-лебеди».
Д. Сказка «Гуси-лебеди».
У. – Гуси-гуси?!
– Га-га-га!
– А летите вы куда?
Вы Иванушку украли,
Злой Бабе Яге отдали?!
Чтоб Аленушке помочь
Братца милого найти,
Вам в тетрадках ваших нужно
Все в порядок привести.
Дети выполняют упражнение с с. 6.
– Цифру 5 вы уже умеете писать.
Я же буду проверять.
Дети пишут цифру 5 внизу на свободных клеточках.
– А теперь решим примеры,
Они очень трудные на самом деле.
4 + 2 – 1
8 – 3 + 4
9 – 2 + 1
6 – 3 + 2
3 + 3 – 1
4 + 3 – 2
7 – 3 + 1
8 – 2 + 3
5 + 3 – 2
После выполнения задания следует проверка.
– Повторим последний раз
Мы решение задач.
Дети составляют задачу по рисунку в тетради и решают ее.
Д. У белочки было 7 яблок, 2 она отдала зайчонку. Сколько яблок осталось у белочки?
У. Вы отлично написали,
Аленушке помогали:
Гусей-лебедей прогнали долой.
Аленушку с братцем вернули домой.
Учитель убирает гусей с иллюстрации.
VII. Итог урока
У. Скоро мы услышим звонок,
Пора заканчивать нам урок.
Оцените свою работу: кому на уроке все понравилось, кто не испытывал затруднений, хорошо отвечал? А кто испытывал трудности, чувствовал себя неуверенно?
Дети показывают карточки с изображением улыбающегося человека или грустного.
– За отличную работу сказки всех благодарят
И в подарок всему классу книжку подарить велят.
Вы эту книжку читайте,
О добре, уме, дружбе, смекалке, честности
Никогда не забывайте.
Что такое Рациональные числа?
Определение рациональных чисел
Рациональное число — это число, которое можно представить в виде положительной или отрицательной обыкновенной дроби или числа ноль. Если число можно получить делением двух целых чисел, то это число рациональное.
Рациональные числа — это те, которые можно представить в виде
где числитель m — целое число, а знаменатель n — натуральное число.
Рациональные числа – это все натуральные, целые числа, обыкновенные дроби, бесконечные периодические дроби и конечные десятичные дроби.
Множество рациональных чисел принято обозначать латинской буквой Q.
Примеры рациональных чисел:
Свойства рациональных чисел
У рациональных чисел есть определенные законы и ряд свойств — рассмотрим каждый их них. Пусть а, b и c — любые рациональные числа.
Кроме основных перечисленных есть еще ряд свойств:
Мы знаем, что 0 = d + (-d) для любого рационального d, значит a * 0 = a * (d + (-d)).
Распределительный закон позволяет переписать выражение:
Так получилась сумма двух противоположных чисел, которая в результате дает нуль, что доказывает равенство a * 0 = 0.
Определение иррационального числа
Иррациональное число — это действительное число, которое невозможно выразить в форме деления двух целых чисел, то есть в рациональной дроби
Оно может быть выражено в форме бесконечной непериодической десятичной дроби.
Бесконечная периодическая десятичная дробь — это такая дробь, десятичные знаки которой повторяются в виде группы цифр или одного и того же числа.
Обозначение множества иррациональных чисел: латинская буква I.
Действительные или вещественные числа — это все рациональные и иррациональные числа: положительные, отрицательные и нуль.
Свойства иррациональных чисел:
Различие между целыми, натуральными и рациональными числами
Натуральные числа — это числа, которые мы используем, чтобы посчитать что-то конкретное, осязаемое: один банан, две тетрадки, десять стульев.
А вот, что точно не является натуральным числом:
Целые числа — это натуральные числа, противоположные им и нуль.
Какие числа называются рациональными мы уже знаем из первой части статьи. Повторим еще раз.
Рациональные числа — это конечные дроби и бесконечные периодические дроби.
Например: 
Любое рациональное число можно представить в виде дроби, у которой числитель принадлежит целым числам, а знаменатель — натуральным. Поэтому во множество рациональных чисел входит множество целых и натуральных чисел.
Но не все числа можно назвать рациональными. Например, бесконечные непериодические дроби не принадлежат множеству рациональных чисел. Так √3 или 𝜋 (число пи) нельзя назвать рациональными числами.
Рациональные числа: определения, примеры
Данная статья посвящена изучению темы «Рациональные числа». Ниже приведены определения рациональных чисел, даны примеры, рассказано о том, как определить, является ли число рациональным, или нет.
Рациональные числа. Определения
Прежде чем дать дефиницию рациональных чисел вспомним, какие еще есть множества чисел, и как они связаны между собой.
Натуральные числа, в совокупности с противоположными им и числом ноль образуют множество целых чисел. В свою очередь, совокупность целых дробных чисел образует множество рациональных чисел.
Определение 1. Рациональные числа
Таким образом, можно оставить ряд свойств рациональных чисел:
Приведенное выше определение рациональных чисел можно сформулировать более кратко. Еще раз ответим на вопрос, что такое рациональное число.
Определение 2. Рациональные числа
Можно показать, что данное определение равносильно предыдущему определению рациональных чисел. Чтобы сделать это, вспомним, что черта дроби равносильна знаку деления. С учетом правил и свойств деления целых чисел, можно записать следующие справедливые неравенства:
Таким образом, можно записать:
Приведем еще одну эквивалентную форму определения рациональных чисел.
Определение 3. Рациональные числа
Данное определение напрямую следует из самого первого определения этого пункта.
Подведем итог и сформулируем резюме по данному пункту:
Какое из чисел является рациональным?
Как мы уже выяснили, любое натуральное число, целое число, правильная и неправильная обыкновенная дробь, периодическая и конечная десятичная дробь являются рациональными числами. Вооружившись этими знаниями можно без труда определить, является ли какое-то число рациональным.
Однако на практике часто приходится иметь дело не с числами, а с числовыми выражениями, которые содержат корни, степени и логарифмы. В некоторых случаях ответ на вопрос «рационально ли число?» является далеко не очевидным. Рассмотрим методы ответа на этот вопрос.
Таким образом, упрощение сложного числового выражения позволяет определить, рационально ли заданное им число.
Теперь разберемся со знаком корня.
5 = 2 log 2 5 = 2 m n 5 n = 2 m
Очевидно, последнее равенство невозможно так как в левой и правой частях находятся соответственно нечетное и четное числа. Следовательно, сделанное предположение неверно, и число log 2 5 не является рациональным числом.
Числа: натуральные, целые, рациональные, иррациональные, действительные
Натуральные числа
Натуральные числа определение – это целые положительные числа. Натуральные числа используют для счета предметов и многих иных целей. Вот эти числа:
Это натуральный ряд чисел.
Ноль натуральное число? Нет, ноль не является натуральным числом.
Сколько натуральных чисел существует? Существует бесконечное множество натуральных чисел.
Каково наименьшее натуральное число? Единица — это наименьшее натуральное число.
Каково наибольшее натуральное число? Его невозможно указать, ведь существует бесконечное множество натуральных чисел.
Сумма натуральных чисел есть натуральное число. Итак, сложение натуральных чисел a и b:
с — это всегда натуральное число.
Произведение натуральных чисел есть натуральное число. Итак, произведение натуральных чисел a и b:
с — это всегда натуральное число.
Разность натуральных чисел Не всегда есть натуральное число. Если уменьшаемое больше вычитаемого, то разность натуральных чисел есть натуральное число, иначе — нет.
Частное натуральных чисел Не всегда есть натуральное число. Если для натуральных чисел a и b
где с — натуральное число, то это значит, что a делится на b нацело. В этом примере a — делимое, b — делитель, c — частное.
Делитель натурального числа — это натуральное число, на которое первое число делится нацело.
Каждое натуральное число делится на единицу и на себя.
Простые натуральные числа делятся только на единицу и на себя. Здесь имеется ввиду делятся нацело. Пример, числа 2; 3; 5; 7 делятся только на единицу и на себя. Это простые натуральные числа.
Единицу не считают простым числом.
Числа, которые больше единицы и которые не являются простыми, называют составными. Примеры составных чисел:
Единицу не считают составным числом.
Множество натуральных чисел составляют единица, простые числа и составные числа.
Множество натуральных чисел обозначается латинской буквой N.
Свойства сложения и умножения натуральных чисел:
переместительное свойство сложения
сочетательное свойство сложения
переместительное свойство умножения
сочетательное свойство умножения
распределительное свойство умножения
Целые числа
Целые числа — это натуральные числа, ноль и числа, противоположные натуральным.
Числа, противоположные натуральным — это целые отрицательные числа, например:
Множество целых чисел обозначается латинской буквой Z.
Рациональные числа
Рациональные числа — это целые числа и дроби.
Любое рациональное число может быть представлено в виде периодической дроби. Примеры:
Из примеров видно, что любое целое число есть периодическая дробь с периодом ноль.
Любое рациональное число может быть представлено в виде дроби m/n, где m целое число,n натуральное число. Представим в виде такой дроби число 3,(6) из предыдущего примера:
Другой пример: рациональное число 9 может быть представлено в виде простой дроби как 18/2 или как 36/4.
Множество рациональных чисел обозначается латинской буквой Q.
Подробнее о рациональных числах в разделе Рациональные числа.
Иррациональные числа
Иррациональные числа — это бесконечные непериодические десятичные дроби. Примеры:
Подробнее об иррациональных числах в разделе Иррациональные числа.
Действительные числа
Действительные числа – это все рациональные и все иррациональные числа.
Множество действительных чисел обозначается латинской буквой R.